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【线段树】P11414 [EPXLQ2024 fall round] 神奇磁铁|普及+

news 2025/4/29 8:19:06

线段树

C++线段树

P11414 [EPXLQ2024 fall round] 神奇磁铁

题目背景

lzy 给了 Cute_QiQi 很多组神奇的磁铁。

注：想拿到快速 AK 变换奖请在代码注释部分写明本题代码正确性证明。

题目描述

一组神奇的磁铁由 $2 x$ 个磁铁排成一排组成，编号 $1,2,\dots,2x$ ，有激活和未激活两种状态。它们与普通的磁铁不同，不会简单地吸在一起。对于一组磁铁，当且仅当存在 $\in [1,x]$ ，使得不存在两个激活的磁铁满足两者之间的距离为 $y$ ，整组磁铁才会吸在一起。不同组的磁铁之间不相互影响。

对于编号为 $i, j$ 的两个磁铁，它们之间的距离为 $∣ i - j ∣$ 。具体地，当 $x = 2$ 时，磁铁组为 ${1,2,3,4\}$ 。当激活的磁铁为 ${1,2\}$ 时，整组磁铁可以吸在一起，因为对于 $y = 2$ ，不存在两个磁铁之间的距离为 $2$ 。而激活的磁铁为 ${1,2,3\}$ 时整组磁铁不能吸在一起。

lzy 给了 Cute_QiQi $n$ 组磁铁。现在，Cute_QiQi 希望把这 $n$ 组磁铁排成一排作为装饰，同组磁铁堆在一起。未被吸在一起的磁铁不便于摆放，因此，Cute_QiQi 希望所有的磁铁组内的磁铁都吸在一起。在此基础上，Cute_QiQi 希望激活尽可能多的磁铁。

另外，有时 lzy 会给 Cute_QiQi 一些额外的磁铁。

磁铁实在是太多了，以至于 Cute_QiQi 计算不出她最多能激活多少磁铁。因此，她希望你帮她写一个程序，支持下面两种操作：

1 l r x，表示 lzy 给 $[l, r]$ 内所有的磁铁组添加了 $2 x$ 个磁铁；
2 l r，表示 Cute_QiQi 想知道在激活最多磁铁的情况下， $[l, r]$ 内的磁铁组总共有多少个磁铁被激活。

输入格式

输入第一行为 $n, q$ ，其中 $q$ 表示操作的个数。

第二行为 $n$ 个整数 $a_1,a_2,.\dots,a_n$ ，表示每个磁铁组中初始的磁铁数量 $2a_i$ 。

以下 $q$ 行，每行一个操作，格式如下：

1 l r x，表示 lzy 给 $[l, r]$ 内所有的磁铁组添加了 $2 x$ 个磁铁；
2 l r，表示 Cute_QiQi 想知道在激活最多磁铁的情况下， $[l, r]$ 内的磁铁组总共有多少个磁铁被激活。

输出格式

对于每个 2 l r 操作，输出一行表示答案。

输入输出样例 #1

输入 #1

6 6
1 1 4 5 1 4
2 1 6
1 1 3 2
2 1 4
2 1 6
1 1 3 -2
2 1 6

输出 #1

说明/提示

样例解释

初始时对应的激活磁铁的最大数量依次为 $1, 1, 5, 6, 1, 5$ 。

进行修改操作后，对应的激活磁铁最大数量依次为 $4, 4, 8, 6, 1, 5$ 。

可以证明，不可能再激活更多的磁铁。

数据规模与约定

本题采用捆绑测试。

设 $v$ 表示任意时刻，磁铁数最多的磁铁组内磁铁的数量。

$\text{Subtask}$	$\le$	$\le$	$\le$	分值
$0$	$1000$	$1000$	$20$	$10$
$1$	$1000$	$1000$	$10^9$	$15$
$2$	$\times 10^5$	$\times 10^5$	$20$	$10$
$3$	$\times 10^5$	$\times 10^5$	$5000$	$25$
$4$	$\times 10^5$	$\times 10^5$	$10^9$	$40$

对于所有数据，保证 $\le n,q \le 5 \times 10^5, 1 \le l \le r \le n, 1 \le v,a_i \le 10^9, -10^9 \le x \le 10^9$ 。

P11414 线段树

性质一：一组2x块磁铁，y=1时，最多能激活x块。1,2一组；3,4一组；5,6一组， $\cdots$ 共x组。每组只能激活一个，故激活的磁铁不超过x。取1,3,5 $\cdots$ ，能激活x块磁铁。
性质二：类似性质一，一组2x+1块磁铁，y=1时，最多能激活x+1块。
性质三：y > 1，可以拆分成y组。第1组：1 ,y+1,2y+1 $\cdots$ ,第i组：i ,y+i,2y+I $\cdots$ 。各组的长度递减或相等，第一组的长度和最后一组相等或多一。各组相互无影响，分别用性质一或性质二计算。
性质四：每有2组奇数长度的磁铁，可以多激活1块磁铁。令奇数长度的磁铁组数量为c，则本组磁铁最多可以激活c/2+x。
令某组长度为2x,m = 2x%3，d=z/3。
如果0m， y=d。d组奇数长度。d一定偶数，故本磁铁组最多激活：x + 2x/3/2= x + x/3。
如果1m，y = d,一组4,其它组3。注意：2x不会是1。d-1组奇数长度。d一定是奇数。即：2x/3是奇数，故x/3是d-1。故本磁铁组最大激活数量为x+x/3。
如果2==m, y=d +1，1组2,其它全部3。d组奇数长度。d即2x/3是偶数，故x/3没有余数。故本磁铁组最大激活数量为x+x/3。
总结：长度为2x的磁体组，最多激活 x + x/3。

线段树

区间更新、静态开点线段树
TSave:i1,l1,i2,l2,i3,l3。int i1记录m为0的节点数量，long long l1记录m为0的节点的d之和；i2,l2记录1m,i3,l3记录2m。
int is[3]代替,i1,i2,i3;int ls代替 l1,l2,l3
TRecord:long long记录增加的量。
更新父节点、查询：直接相加。
更新缓存：直接相加。
ls[i]： ls[i]+(i+update)/3*len
isn[(i+update)%3] = is[i] lsn类似。
最终用isn替换is。

详细讲解及优化

令d1=x/3。
0x%3，则 2d13=2x=d3 $\rightarrow$ d1=d/2。
1x%3 ,即2d13+12=2x=d3+2 $\rightarrow$ d1=d/2。
2 ==x%3，即2d13+22=2x=d3+1 $\rightarrow$ 2d1*3=(d-1)3 $\rightarrow$ d1 = (d-1)/2。
已知[L,R]的x之和为sum，x%3为1的数量i1，x%3为2的数量i2，则激活的总磁铁数为：
sum + (sum-i1-2i1)/3
TRecord默认值：0
TSave默认值、查询默认值：i1=1,i2=0,i3=0,sum。初始化是单点更新所有。
查询默认值：is和ls全部是0。

代码

核心代码

#include <iostream>
#include <sstream>
#include <vector>
#include<map>
#include<unordered_map>
#include<set>
#include<unordered_set>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<functional>
#include<queue>
#include <stack>
#include<iomanip>
#include<numeric>
#include <math.h>
#include <climits>
#include<assert.h>
#include<cstring>
#include<list>#include <bitset>
using namespace std;template<class T1, class T2>
std::istream& operator >> (std::istream& in, pair<T1, T2>& pr) {in >> pr.first >> pr.second;return in;
}template<class T1, class T2, class T3 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3>& t) {in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t);return in;
}template<class T1, class T2, class T3, class T4 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3, T4>& t) {in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t) >> get<3>(t);return in;
}template<class T = int>
vector<T> Read() {int n;scanf("%d", &n);vector<T> ret(n);for (int i = 0; i < n; i++) {cin >> ret[i];}return ret;
}template<class T = int>
vector<T> Read(int n) {vector<T> ret(n);for (int i = 0; i < n; i++) {cin >> ret[i];}return ret;
}template<int N = 1'000'000>
class COutBuff
{
public:COutBuff() {m_p = puffer;}template<class T>void write(T x) {int num[28], sp = 0;if (x < 0)*m_p++ = '-', x = -x;if (!x)*m_p++ = 48;while (x)num[++sp] = x % 10, x /= 10;while (sp)*m_p++ = num[sp--] + 48;AuotToFile();}void writestr(const char* sz) {strcpy(m_p, sz);m_p += strlen(sz);AuotToFile();}inline void write(char ch){*m_p++ = ch;AuotToFile();}inline void ToFile() {fwrite(puffer, 1, m_p - puffer, stdout);m_p = puffer;}	~COutBuff() {ToFile();}
private:inline void AuotToFile() {if (m_p - puffer > N - 100) {ToFile();}}char  puffer[N], * m_p;
};template<int N = 1'000'000>
class CInBuff
{
public:inline CInBuff() {}inline int Read() {FileToBuf();int x(0), f(0);while (!isdigit(*S))f |= (*S++ == '-');while (isdigit(*S))x = (x << 1) + (x << 3) + (*S++ ^ 48);return f ? -x : x;}inline long long ReadLongLong() {FileToBuf();long long x(0);int f(0);while (!isdigit(*S))f |= (*S++ == '-');while (isdigit(*S))x = (x << 1) + (x << 3) + (*S++ ^ 48);return f ? -x : x;}
private:inline void FileToBuf() {const int canRead = m_iWritePos - (S - buffer);if (canRead >= 100) { return; }if (m_bFinish) { return; }if (0 != canRead){memcpy(buffer, S, canRead);			}m_iWritePos = canRead;buffer[m_iWritePos]  = 0;S = buffer;int readCnt = fread(buffer+ m_iWritePos, 1, N- m_iWritePos, stdin);if (readCnt <= 0) { m_bFinish = true; return; }m_iWritePos += readCnt;buffer[m_iWritePos]  = 0;S = buffer;}int m_iWritePos = 0; bool m_bFinish = false;char buffer[N+10] , * S = buffer;
};template<class TSave, class TRecord >
class CRangUpdateLineTree
{
protected:virtual void OnQuery(TSave& ans, const TSave& save, const int& iSaveLeft, const int& iSaveRight) = 0;virtual void OnUpdate(TSave& save, const int& iSaveLeft, const int& iSaveRight, const TRecord& update) = 0;virtual void OnUpdateParent(TSave& par, const TSave& left, const TSave& r, const int& iSaveLeft, const int& iSaveRight) = 0;virtual void OnUpdateRecord(TRecord& old, const TRecord& newRecord) = 0;
};template<class TSave, class TRecord >
class CVectorRangeUpdateLineTree : public CRangUpdateLineTree<TSave, TRecord>
{
public:CVectorRangeUpdateLineTree(int iEleSize, TSave tDefault, TRecord tRecordNull) :m_iEleSize(iEleSize), m_tDefault(tDefault), m_save(iEleSize * 4, tDefault), m_record(iEleSize * 4, tRecordNull) {m_recordNull = tRecordNull;}void Update(int iLeftIndex, int iRightIndex, TRecord value){Update(1, 0, m_iEleSize - 1, iLeftIndex, iRightIndex, value);}TSave Query(int leftIndex, int rightIndex) {return Query(leftIndex, rightIndex, m_tDefault);}TSave Query(int leftIndex, int rightIndex, const TSave& tDefault) {TSave ans = tDefault;Query(ans, 1, 0, m_iEleSize - 1, leftIndex, rightIndex);return ans;}//void Init() {//	Init(1, 0, m_iEleSize - 1);//}TSave QueryAll() {return m_save[1];}void swap(CVectorRangeUpdateLineTree<TSave, TRecord>& other) {m_save.swap(other.m_save);m_record.swap(other.m_record);std::swap(m_recordNull, other.m_recordNull);assert(m_iEleSize == other.m_iEleSize);}
protected://void Init(int iNodeNO, int iSaveLeft, int iSaveRight)//{//	if (iSaveLeft == iSaveRight) {//		this->OnInit(m_save[iNodeNO], iSaveLeft);//		return;//	}//	const int mid = iSaveLeft + (iSaveRight - iSaveLeft) / 2;//	Init(iNodeNO * 2, iSaveLeft, mid);//	Init(iNodeNO * 2 + 1, mid + 1, iSaveRight);//	this->OnUpdateParent(m_save[iNodeNO], m_save[iNodeNO * 2], m_save[iNodeNO * 2 + 1], iSaveLeft, iSaveRight);//}void Query(TSave& ans, int iNodeNO, int iSaveLeft, int iSaveRight, int iQueryLeft, int iQueryRight) {if ((iSaveLeft >= iQueryLeft) && (iSaveRight <= iQueryRight)) {this->OnQuery(ans, m_save[iNodeNO], iSaveLeft, iSaveRight);return;}if (iSaveLeft == iSaveRight) {//没有子节点return;}Fresh(iNodeNO, iSaveLeft, iSaveRight);const int mid = iSaveLeft + (iSaveRight - iSaveLeft) / 2;if (mid >= iQueryLeft) {Query(ans, iNodeNO * 2, iSaveLeft, mid, iQueryLeft, iQueryRight);}if (mid + 1 <= iQueryRight) {Query(ans, iNodeNO * 2 + 1, mid + 1, iSaveRight, iQueryLeft, iQueryRight);}}void Update(int iNode, int iSaveLeft, int iSaveRight, int iOpeLeft, int iOpeRight, TRecord value){if ((iOpeLeft <= iSaveLeft) && (iOpeRight >= iSaveRight)){this->OnUpdate(m_save[iNode], iSaveLeft, iSaveRight, value);this->OnUpdateRecord(m_record[iNode], value);return;}if (iSaveLeft == iSaveRight) {return;//没有子节点}Fresh(iNode, iSaveLeft, iSaveRight);const int iMid = iSaveLeft + (iSaveRight - iSaveLeft) / 2;if (iMid >= iOpeLeft){Update(iNode * 2, iSaveLeft, iMid, iOpeLeft, iOpeRight, value);}if (iMid + 1 <= iOpeRight){Update(iNode * 2 + 1, iMid + 1, iSaveRight, iOpeLeft, iOpeRight, value);}// 如果有后代，至少两个后代this->OnUpdateParent(m_save[iNode], m_save[iNode * 2], m_save[iNode * 2 + 1], iSaveLeft, iSaveRight);}void Fresh(int iNode, int iDataLeft, int iDataRight){if (m_recordNull == m_record[iNode]){return;}const int iMid = iDataLeft + (iDataRight - iDataLeft) / 2;Update(iNode * 2, iDataLeft, iMid, iDataLeft, iMid, m_record[iNode]);Update(iNode * 2 + 1, iMid + 1, iDataRight, iMid + 1, iDataRight, m_record[iNode]);m_record[iNode] = m_recordNull;}vector<TSave> m_save;vector<TRecord> m_record;TRecord m_recordNull;TSave m_tDefault;const int m_iEleSize;
};typedef tuple<int, int, int, long long> TSave;
typedef long long  TRecord;
class  CMyLineTree : public  CVectorRangeUpdateLineTree<TSave, TRecord>
{
public:using CVectorRangeUpdateLineTree::CVectorRangeUpdateLineTree;
protected:virtual void OnQuery(TSave& ans, const TSave& save, const int& iSaveLeft, const int& iSaveRight) {get<0>(ans) += get<0>(save);get<1>(ans) += get<1>(save);get<2>(ans) += get<2>(save);get<3>(ans) += get<3>(save);}inline int Mod3(long long x, long long y) { return ((x + y) % 3 + 3) % 3; };virtual void OnUpdate(TSave& save, const int& iSaveLeft, const int& iSaveRight, const TRecord& update) override{int is[3] = { 0 };is[Mod3(0, update)] = get<0>(save);is[Mod3(1, update)] = get<1>(save);is[Mod3(2, update)] = get<2>(save);get<3>(save) += update * (iSaveRight - iSaveLeft + 1);get<0>(save) = is[0];get<1>(save) = is[1];get<2>(save) = is[2];}virtual void OnUpdateParent(TSave& par, const TSave& left, const TSave& r, const int& iSaveLeft, const int& iSaveRight)  override{par = left;OnQuery(par, r, 0, 0);}virtual void OnUpdateRecord(TRecord& old, const TRecord& newRecord) override{old += newRecord;}
};
class Solution {
public:vector<long long> Ans(const vector<int>& a, vector<tuple<int, int, int>>& ope) {const int N = a.size();CMyLineTree lineTree(N + 1, make_tuple(1, 0, 0, 0), 0);for (int i = 1; i <= N; i++) {lineTree.Update(i, i, a[i - 1]);}vector<long long> ans;for (const auto& [left, r, x] : ope) {if (INT_MIN == x) {auto res = lineTree.Query(left, r);ans.emplace_back(get<3>(res) + (get<3>(res) - get<1>(res) - 2 * get<2>(res)) / 3);}else {lineTree.Update(left, r, x);}}return ans;}
};
int main() {	
#ifdef _DEBUGfreopen("a.in", "r", stdin);
#endif // DEBUG	int n, q,kind;cin >> n >> q;auto a = Read<int>(n);vector<tuple<int, int, int>> ope(q, make_tuple( 0,0,INT_MIN ));for (int i = 0; i < q; i++) {cin >> kind >> get<0>(ope[i]) >> get<1>(ope[i]);if (1 == kind) {cin >> get<2>(ope[i]);}}	
#ifdef _DEBUG		/*printf("T=%d,", T);*/Out(a, "a=");Out(ope, "ope=");
#endif // DEBUG	auto res = Solution().Ans(a, ope);COutBuff ob;for (const auto& i : res) {ob.write(i); ob.write('\n');}return 0;
}

单元测试

vector<int> a;vector<tuple<int, int, int>> ope;TEST_METHOD(TestMethod11) {a = { 1,1,4,5,1,4 }, ope = { {1,6,INT_MIN},{1,3,2},{1,4,INT_MIN},{1,6,INT_MIN},{1,3,-2},{1,6,INT_MIN} };auto res = Solution().Ans(a, ope);AssertEx({ 19LL,22LL,28LL,19LL }, res);}

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子墨子言之：事无终始，无务多业。也就是我们常说的专业的人做专业的事。
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