1. 泰勒公式是什么

• 泰勒公式（Taylor’s formula）是数学中用于近似计算函数值的一种方法。它将一个在某点可导的函数表示为该点附近的无穷级数。对于函数$f(x)$在点$a$处的泰勒展开，其一般形式为$f(x)=f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)+\frac{f^{\prime \prime }(a)}{2!}(x-a{)}^2+\frac{f^{\prime \prime \prime }(a)}{3!}(x-a{)}^3+\cdots +\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a{)}^n+R_n(x)$

  • $f(a)$是函数在$a$点的值
  • $f^{\prime }(a)$是函数在$a$点的一阶导数值
  • $f^{\prime \prime }(a)$是函数在$a$点的二阶导数值
  • $f^{\prime \prime \prime }(a)$是函数在$a$点的三阶导数值
  • $f^{(n)}(a)$是函数在$a$点的$n$阶导数值
  • $n!$是$n$的阶乘
  • $R_n(x)$是余项，表示$n$阶泰勒多项式与实际函数值之间的误差

• 泰勒公式的主要作用是对特别复杂的函数进行化简，具体来说就是通过近似函数来代替原函数，通过使用简单熟悉的多项式去代替复杂的原函数。

2、利用泰勒公式计算$\sqrt{10}$

• 要使用一阶、二阶和三阶泰勒展开式计算 $f(10)$ 的近似值，其中 $f(x)=\sqrt{x}$ 且 $f(9)=3$，遵循以下步骤进行计算。

第 1 步：泰勒级数展开

• $f(x)$ 在 $x=9$ 处的泰勒级数展开式：$f(x)\approx f(9)+f^{\prime }(9)(x-9)+\frac{f^{\prime \prime }(9)}{2!}(x-9{)}^2+\frac{f^{\prime \prime \prime }(9)}{3!}(x-9{)}^3$

第 2 步：计算各阶导数

1. 一阶导数：$f^{\prime }(x)=\frac{d}{dx}\sqrt{x}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$

2. 二阶导数：$f^{\prime \prime }(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}\right)=-\frac{1}{4}{x}^{-\frac{3}{2}}=-\frac{1}{4x^{3/2}}$

3. 三阶导数：$f^{\prime \prime \prime }(x)=\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{4x^{3/2}}\right)=-\frac{1}{4}\left(-\frac{3}{2}{x}^{-\frac{5}{2}}\right)=\frac{3}{8}{x}^{-\frac{5}{2}}=\frac{3}{8x^{5/2}}$

第 3 步：在 $x=9$ 处计算各阶导数

• $f(9)=\sqrt{9}=3$
• $f^{\prime }(9)=\frac{1}{2\sqrt{9}}=\frac{1}{6}$
• $f^{\prime \prime }(9)=-\frac{1}{4\cdot 9^{3/2}}=-\frac{1}{4\cdot 27}=-\frac{1}{108}$
• $f^{\prime \prime \prime }(9)=\frac{3}{8\cdot 9^{5/2}}=\frac{3}{8\cdot 243}=\frac{3}{1944}=\frac{1}{648}$

第 4 步：构建各阶泰勒展开式

• 使用这些值，我们可以构建 $f(x)$ 在 $x=9$ 处的一阶、二阶和三阶泰勒展开式。

  1. 一阶展开式：$f(x)\approx 3+\frac{1}{6}(x-9)$

  2. 二阶展开式：$f(x)\approx 3+\frac{1}{6}(x-9)-\frac{1}{2\cdot 108}(x-9{)}^2=3+\frac{1}{6}(x-9)-\frac{1}{216}(x-9{)}^2$

  3. 三阶展开式：$f(x)\approx 3+\frac{1}{6}(x-9)-\frac{1}{216}(x-9{)}^2+\frac{1}{6\cdot 648}(x-9{)}^3=3+\frac{1}{6}(x-9)-\frac{1}{216}(x-9{)}^2+\frac{1}{3888}(x-9{)}^3$

第 5 步：计算 $f(10)$ 的各阶近似值

• 现在，我们将 $x=10$ 代入每个展开式中。

5.1 一阶近似值

• $f(10)\approx 3+\frac{1}{6}(10-9)=3+\frac{1}{6}=3.1667$

5.2 二阶近似值

• $f(10)\approx 3+\frac{1}{6}(10-9)-\frac{1}{216}(10-9{)}^2=3+\frac{1}{6}-\frac{1}{216}=3+0.1667-0.0046=3.1621$

5.3 三阶近似值

• $f(10)\approx 3+\frac{1}{6}(10-9)-\frac{1}{216}(10-9{)}^2+\frac{1}{3888}(10-9{)}^3=3+\frac{1}{6}-\frac{1}{216}+\frac{1}{3888}=3+0.1667-0.0046+0.0003=3.1624$

3. 比较各阶近似值的误差

• 在IPython里计算各阶近似值的误差
  
• 可见，次项越高，代替的误差越小，精度也就越高。