中立性DEA交叉效率评价方法

今天推出中立性DEA模型的计算工具

参考文献:《中立性DEA交叉效率评价方法》袁剑波,吴立辉,魏思

中立性DEA交叉效率评价方法

在数据包络分析(DEA)对决策单元效率评价的方法中,对抗性DEA交叉效率方法把所有决策单元均视为敌对方,而仁慈性DEA交叉效率方法把所有决策单元均视为盟友,这是不符合实际的。为解决对抗性和仁慈性DEA交叉效率方法的弊端,提出了一种中立性DEA交叉效率方法,既不把决策单元视为盟友,又不把决策单元视为敌对方,而是从中立性的原则去选择权重,进而得出效率评价结果。这种权重选择策略更加客观和公正,更能应用于实践当中。

现有DEA交叉效率方法综述

假设有 n n n个部门或单位(称为决策单元,Decision Making Units),这 n n n个决策单元都是具有可比性的。每个决策单元都有 m m m种类型的输入和 s s s种类型的输出。对于第 j j j个决策单元,记其第 i i i种投入为 x i j x_{ij} xij,第 r r r种产出为 y i j y_{ij} yij i = 1 , 2 , … , m ; j = 1 , 2 , … , n ; r = 1 , 2 , … , s i=1,2,\ldots,m; j=1,2,\ldots,n; r=1,2,\ldots,s i=1,2,,m;j=1,2,,n;r=1,2,,s)。

对于第 k k k k = 1 , 2 , … , n k=1,2,\ldots,n k=1,2,,n)个决策单元,其CCR效率 θ k k \theta_{kk} θkk计算公式为:
max ⁡ θ k k = ∑ r = 1 s u r k y r k ∑ i = 1 m v i k x i k . \max \theta_{kk} = \frac{\sum_{r=1}^{s} u_{rk} y_{rk}}{\sum_{i=1}^{m} v_{ik} x_{ik}}. maxθkk=i=1mvikxikr=1surkyrk.
s . t . θ j = ∑ r = 1 s u r k y r j ∑ i = 1 m v i k x i j ≤ 1 , j = 1 , 2 , … , n ; s.t. \quad \theta_{j} = \frac{\sum_{r=1}^{s} u_{rk} y_{rj}}{\sum_{i=1}^{m} v_{ik} x_{ij}} \leq 1, \quad j=1,2,\ldots,n; s.t.θj=i=1mvikxijr=1surkyrj1,j=1,2,,n;
u r k ≥ 0 , r = 1 , 2 , … , s ; u_{rk} \geq 0, \quad r=1,2,\ldots,s; urk0,r=1,2,,s;
v i k ≥ 0 , i = 1 , 2 , … , m . ( 1 ) v_{ik} \geq 0, \quad i=1,2,\ldots,m. \quad (1) vik0,i=1,2,,m.(1)

中立性交叉效率评价方法

模型(1)的最优目标值虽然唯一,但是最优解( u ∗ r k u_{*rk} urk v ∗ i k v_{*ik} vik)并不一定唯一,这就导致了交叉效率值可能不唯一。为了解决这一问题,作者提出中立性交叉效率评价方法,主要思想是:当决策单元决定它的输入输出权重时,最关注的只是该权重是否有利于此决策单元评价值的计算,它不会关注是应该使其他决策单元最大还是最小。此方法的目标函数是使决策单元的所有输出指标的效率值最大化,约束条件与前面两种方法的约束条件相同。基于此种观点,得到以下中立交叉效率评价模型:

max ⁡ δ = min ⁡ r ∈ { 1 , 2 , … , s } u r o y r o ∑ i = 1 m v i o x i o . \max \delta = \min_{r \in \{1,2,\ldots,s\}} \frac{u_{ro} y_{ro}}{\sum_{i=1}^{m} v_{io} x_{io}}. maxδ=r{1,2,,s}mini=1mvioxiouroyro.
s . t . θ ∗ k k = ∑ r = 1 s u r o y r k ∑ i = 1 m v i o x i k . s.t. \quad \theta_{*kk} = \frac{\sum_{r=1}^{s} u_{ro} y_{rk}}{\sum_{i=1}^{m} v_{io} x_{ik}}. s.t.θkk=i=1mvioxikr=1suroyrk.
θ j = ∑ r = 1 s u r o y r j ∑ i = 1 m v i o x i j ≤ 1 , j = 1 , 2 , … , n ; j ≠ 0. \theta_{j} = \frac{\sum_{r=1}^{s} u_{ro} y_{rj}}{\sum_{i=1}^{m} v_{io} x_{ij}} \leq 1, \quad j=1,2,\ldots,n; j\neq 0. θj=i=1mvioxijr=1suroyrj1,j=1,2,,n;j=0.
u r o ≥ 0 , r = 1 , 2 , … , s . u_{ro} \geq 0, \quad r=1,2,\ldots,s. uro0,r=1,2,,s.
v i o ≥ 0 , i = 1 , 2 , … , m . ( 6 ) v_{io} \geq 0, \quad i=1,2,\ldots,m. \quad (6) vio0,i=1,2,,m.(6)

目标函数里的分式表示 D M U o DMUo DMUo o = 1 , 2 , … , n ; o ≠ k o=1,2,\ldots,n; o\neq k o=1,2,,n;o=k)中第 r r r r = 1 , 2 , … , s r=1,2,\ldots,s r=1,2,,s)个输出指标的效率值;目标函数是求第 r r r个输出指标效率值中最小的那个输出指标效率值的最大值;第一个约束条件表示权重 u r o u_{ro} uro v i o v_{io} vio应使得评价单元 k k k满足最大效率, θ ∗ k k \theta_{*kk} θkk为模型(1)中 θ k k \theta_{kk} θkk的最大值;第二个约束条件表示被评价单元 o o o的效率值应小于或等于1。

线性化版本

模型(6)可转化为如下线性规划:

max ⁡ δ \max \delta maxδ
s . t . ∑ i = 1 m v i o x i o = 1. s.t. \quad \sum_{i=1}^{m} v_{io} x_{io} = 1. s.t.i=1mvioxio=1.
∑ r = 1 s u r o y r k = θ ∗ k k ∑ i = 1 m v i o x i k . \sum_{r=1}^{s} u_{ro} y_{rk} = \theta_{*kk} \sum_{i=1}^{m} v_{io} x_{ik}. r=1suroyrk=θkki=1mvioxik.
∑ r = 1 s u r o y r j − ∑ i = 1 m v i o x i j ≤ 0 , j = 1 , 2 , … , n ; j ≠ 0. \sum_{r=1}^{s} u_{ro} y_{rj} - \sum_{i=1}^{m} v_{io} x_{ij} \leq 0, \quad j=1,2,\ldots,n; j\neq 0. r=1suroyrji=1mvioxij0,j=1,2,,n;j=0.
u r o y r o − δ ≥ 0. u_{ro} y_{ro} - \delta \geq 0. uroyroδ0.
u r o ≥ 0 , r = 1 , 2 , … , s . u_{ro} \geq 0, \quad r=1,2,\ldots,s. uro0,r=1,2,,s.
v i o ≥ 0 , i = 1 , 2 , … , m . v_{io} \geq 0, \quad i=1,2,\ldots,m. vio0,i=1,2,,m.
δ ≥ 0. ( 7 ) \delta \geq 0. \quad (7) δ0.(7)

然后利用模型(7)得出的最佳权重 u ∗ r o u_{*ro} uro v ∗ i o v_{*io} vio去计算其他 D M U o DMUo DMUo o = 1 , 2 , … , n ; o ≠ k o=1,2,\ldots,n; o\neq k o=1,2,,n;o=k)的效率值,得到交叉效率矩阵,此矩阵每列的平均值即为 D M U o DMUo DMUo的最终交叉效率值。

我们根据文献,开发了对应工具,计算该中立DEA模型,代码结果与论文结果对比如下:

https://github.com/gongju128/picx-images-hosting/raw/master/image.3rb8p978li.webp

不同求解器的最终交叉效率结果稍有差异,但是大体相同。

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