光学涡旋干涉仪

一、什么是涡旋干涉仪？

涡旋光束一般指电场含有螺旋相位因子exp(iℓθ)的光束，其中ℓ为拓扑荷数，θ为方位角，其波前为螺旋形，光束中心存在相位奇点，因此涡旋光束的光强轮廓是中心强度为零的圆环。早在1992年荷兰莱顿大学的Allen等就研究了电场复振幅中含有exp(iℓθ)的拉盖尔-高斯光束的特性，证明其每一个光子都携带有轨道角动量（OAM）ℓ，其中为约化普朗克常量。涡旋光束因携带有轨道角动量，体现出与传统高斯光束截然不同的特性，在超大容量光通信、旋转体探测、光镊、激光加工和光学干涉计量等领域显示出重要的应用价值。

将涡旋光束作为干涉仪中感知相位变化的载体，即形成光学涡旋干涉仪（Optical Vortex Interferometer，OVI）。基于经典的迈克尔逊、马赫-曾德尔和萨格奈克等干涉结构，通过涡旋光束与其共轭光束（拓扑荷数ℓ符号相反）或平面波光束的同轴相干叠加，光学涡旋干涉仪产生同心花瓣状或螺旋状的涡旋干涉条纹。与高斯光束作为载体的经典干涉仪相比，光学涡旋干涉仪具有以下优点：

• 光学涡旋干涉仪将轴向相位变化编码为涡旋干涉条纹的方位角旋转，且方位角具有天然的2π计量基准，因此相位解调可溯源；

• 光学涡旋干涉仪允许直接从单幅涡旋干涉条纹的方位角旋转量确定相位变化或位移变化，因此具备了天然的动态相位解调能力；

• 光学涡旋干涉仪的测量精度取决于方位角的测量精度，通过选取合适的拓扑荷数和面阵相机像素分辨率，位移测量精度可达皮米级。

由此可见，光学涡旋干涉仪的相位解调方法对实现高精度动态相位测量具有重要意义。下面我们将针对花瓣状和螺旋状两类常见的涡旋干涉条纹（图1），从强度、相位、频率三个方面对现有的相位解调方法进行归纳和总结，并介绍光学涡旋干涉仪的典型光路结构，及其在几何量和物理量测量方面的应用。

图1 涡旋干涉条纹将相移编码为方位旋转角。左图为花瓣状条纹，右图为螺旋条纹

二、光学涡旋干涉仪相位解调方法

（一）强度解调

1.花瓣质心识别法

花瓣质心识别法一般先用相机捕获花瓣状干涉图，转换为灰度图，再提取各个花瓣的质心，从而确定条纹的中心点。通过中心点和形状最规则的一个花瓣的质心计算方位旋转角。对于连续采集的每一帧干涉图（图2），分别计算该花瓣的方位旋转角，将其解码为相移或位移，通过识别花瓣旋转方向来区分相移或位移的方向。

图2 花瓣质心识别法

在花瓣质心识别法的基础上，可以连接条纹中心与花瓣质心构建网格，或连接任意两个花瓣的质心构建复杂网格，来确定方位旋转角，以提高测量分辨率（图3）。

图3 花瓣质心构建网格识别法

还可以用圆环拟合所有花瓣的质心（图4），并取圆环上的像素强度绘制方位角强度曲线，计算花瓣旋转前后强度曲线峰谷的相对方位角变化，通过平均整个相对方位角变化来确定方位旋转角。

图4 花瓣质心圆环拟合识别法

2.圆环互相关法

圆环互相关法（图5）是在花瓣状干涉条纹中选择一个特定直径的圆，提取花瓣旋转前后圆上的强度曲线，并计算它们的相关函数，通过相关函数的最大值得到花瓣旋转角度，将其转化为相移或位移的大小。也可选取多组不同半径圆的方位强度曲线，计算花瓣旋转角度的平均值以进一步提高测量准确性，实现亚纳米级位移测量。

图5 圆环互相关法

3.反相关像素对差分法

花瓣状干涉图在方位角上有等间距的像素，显示出相同的强度（图6）。选取花瓣两侧各两个像素，构建相位正交反相关像素对。像素对的强度差可以消除来自激光源的共模噪声和直流漂移，同时使输入信号的幅度增加一倍。另外，将像素对的差分信号进行平均，可以实时地将热、声、气流波动等统计噪声以及探测器噪声大幅降低。

图6 反相关像素对差分法

4.主成分分析法

图7所示，若将光学涡旋干涉仪中的一路涡旋光束替换为高斯光束，涡旋光束与高斯光束的同轴相干叠加产生螺旋干涉条纹。与花瓣状干涉条纹在方位角上呈现的明暗周期性不同，螺旋干涉条纹在相移作用下呈现出沿方位角旋转的连续螺旋条纹。制备由N个不同相移的螺旋干涉图组成的训练集，计算训练集协方差矩阵的特征值和特征向量。将具有两个最大特征值的特征向量用于表征两个主特征模式，并基于这两个主特征模式构造一个新的二维空间，将具有任意相移的螺旋干涉条纹投影到该空间实现相移测量，实现了更精细的相移分辨率。

图7 主成分分析法

（二）相位解调

1.莫尔指针图像法

图8所示，在光学涡旋干涉仪出口处放置偏振相机，通过空间移相技术获得4个相位差为90°的相移干涉图。先利用四步相移算法和Zernike多项式重建相位图，再利用余弦函数将重建相位图转换为虚拟干涉图，然后乘以偏振相机采集到的螺旋干涉图获得莫尔条纹图，最后经过傅里叶变换和低通滤波提取莫尔条纹的中心频谱，经过逆傅里叶变换得到莫尔指针图像。莫尔指针图像有2条暗线，其中一条暗线作为指针，用以确定螺旋条纹的方位旋转角，从而获得相移或位移。

该方法除了适用于整数的拓扑荷数，也可推广到分数的拓扑荷数。例如，拓扑荷数为1.5时，在指针图像中存在一个静态的指针，其余的旋转指针可以用来计算方位旋转角，而静态指针则可作为校准和计算旋转周期的参考。

图8 莫尔指针图像法

2.Radon变换法

Radon变换法（图9）是利用希尔伯特变换的线性性质和π/2相移算子，计算涡旋干涉图的相位图，并提取相位图中的错位线，再利用Radon变换将错位线上所有的点投影到另一个平面上的同一点上，此时与Radon变换谱的峰值相对应的投影角给出了错位线的角度。通过Radon变换谱的峰值的投影角度之差，可以得到错位线的角度差，从而得到干涉条纹的方位旋转角，进而获得相移或位移。

图9 Radon变换法

3.方位角复谱分析法

图10所示，选取花瓣强度峰值对应的半径，以此半径构建圆环，提取圆环上的像素强度得到方位角强度曲线。对方位角强度曲线进行傅里叶变换得到方位角复谱。方位角复谱中的振幅谱对相移不敏感，而相位谱对相移极其敏感。因此，可以利用方位角相位谱在基频处的相位差来反演相移，实现涡旋干涉图解调。

该方法还可进一步拓展到高径向阶数的涡旋干涉图解调中，通过对不同半径处的花瓣状干涉条纹进行方位角复谱分析，实现非均匀相移或位移的皮米级精度测量。

图10 方位角复谱分析法

（三）旋转频率解调

1.基于离轴针孔的多普勒频移法

基于强度和相位的涡旋干涉图解调方法的灵敏度均受到相机空间离散采样的像素分辨率的限制（图11）。为了解决这个问题，在光学涡旋干涉仪出口处放置一个旋转的离轴针孔，后接一个采集镜头和一个点探测器。针孔相对于静态螺旋条纹以一定角速度旋转，通过针孔的光聚焦在探测器上，并记录下随时间周期性变化的光强。对强度信号进行傅里叶变换，则在基频fc处产生一个谱峰。当螺旋条纹旋转方向与离轴针孔旋转方向相反时，在基频右侧出现多普勒频移fD。若螺旋条纹和离轴针孔沿旋转方向相同，则fD出现在fc的左侧。相移或位移的速度越大，多普勒频移到基频的距离越远，再通过速度对时间的积分来反推相移或位移。

该方法避免了相机的空间离散采样问题，将二维涡旋干涉图的相位解调转换为随时间变化的一维强度信号的多普勒频移。优点是位移测量效率高，且对位移速度的测量没有上限。

图11 基于离轴针孔的多普勒频移法

2.基于斩波器的多普勒频移法

因花瓣状条纹的离轴强度具有方位角周期性，频率解调也适用于花瓣状条纹。因此，可用旋转斩波器代替离轴针孔，经斩波器切割后的花瓣图经收集透镜聚焦在探测器上后再进行多普勒频移分析（图12）。

图12 基于斩波器的多普勒频移法

基于多普勒频移分析，还可以将匀速位移测量扩展到非匀速位移测量。但非匀速位移产生的一维强度信号为啁啾信号，此时的频率分析需要用到时-频变换技术（如：短时傅里叶变换、小波变换等），通过时-频谱确定任意时刻的多普勒频移（图13）。

图13 基于时-频分析的非匀速位移的多普勒频移法

（四）非均匀相移测量中涡旋干涉图的解调方法

1.强度解调：等高线/中心线提取法

非均匀形变产生的涡旋干涉图比均匀位移产生的涡旋干涉图显示出更复杂的条纹。对于螺旋干涉图（图14），可以直接提取其等高线或中心线来重构形变轮廓。

图14 螺旋卷曲方向相反的复杂螺旋干涉图

等高线由恒定强度的螺旋条纹形成（图15）。螺旋条纹顺时针和逆时针旋转会导致等高线在起点与终点之间显示出2π的不连续误差，该误差可以通过剪除不连续线段消除，由此得到平滑后的等高线，通过插值得到非均匀形变轮廓。

中心线由螺旋条纹的局部强度极值形成。具体地，可以通过从螺旋条纹的边缘逐步移除低强度的像素来构建，直到保留强度极值对应的骨架。与等高线相比，中心线避免了2π不连续性，相对误差更小。

图15 螺旋干涉图的等高线（左）和中心线（右）提取法

2.相位解调：逆螺旋变换法

逆螺旋变换法（图16）首先采用多步移相算法提取螺旋干涉图的包裹相位图，通过二维相位解包裹算法得到具有错位的螺旋相位图。再由滤波函数exp(iθ)的傅里叶变换得到反卷积核，它将具有错位的螺旋相位图转换为标准的闭合相位图。逆螺旋变换法类似于莫尔指针图像法，都需要先进行多步移相来获得相位图。区别在于，莫尔指针图像只适用于均匀相移或位移的测量，而逆螺旋变换法采用二维相位解包裹和螺旋反卷积，允许重建任意形变轮廓。

图16 逆螺旋变换法

3.相位解调：方位角复谱分析法

图17所示，在光学涡旋干涉仪中使用高径向阶数（p>>1）的拉盖尔-高斯光束，可将方位角复谱分析法从均匀位移测量扩展到非均匀形变测量。若位移是均匀的，则高阶花瓣状干涉条纹在不同半径处的花瓣具有相同的方位旋转角。若位移是非均匀且具有轴对称分布的，则不同半径处的花瓣具有不同的方位旋转角。

图17 由均匀位移和非均匀轴对称形变引起的高阶花瓣干涉图的相位编码

提取不同半径处的圆环上的像素强度，得到方位角强度曲线（图18）。再对形变前后的各个半径上的方位角强度曲线进行复谱分析，利用相位谱在基频处的相位差得到各半径处的相移，从而获得各半径处相应的位移，进而重构形变轮廓。该方法相当于利用高阶干涉条纹的花瓣阵列对非均匀形变进行空间离散采样。

图18 非均匀轴对称形变的方位角复谱分析法

4.旋转频率解调：多普勒频移分裂法

与前述多普勒频移法相似，对于匀速的非均匀轴对称形变，花瓣状干涉条纹在不同半径处的花瓣具有不同的旋转角，经斩波器调制后得到的一维强度信号表现出包络震荡的特点，表明该强度信号是由多频率分量组成，图19所示。经傅里叶变换后，频谱显示出相对于基频fc的多普勒频移，且分裂成多个谱峰fD(rj)，分别对应不同半径处的形变速度。通过定位多普勒频移的各个谱峰，可计算出各半径处的形变。对于非匀速的轴对称形变，一维光强信号为啁啾信号，需通过时-频分析获得在任意时刻的多普勒频移分裂谱峰，从而获得各半径处的瞬时形变。

图19 非均匀轴对称形变的多普勒频移分裂法

下图20，对涡旋干涉图解调方法从强度、相位和旋转频率三个方面进行了汇总，并给出了各种解调方法所适用的涡旋干涉条纹类型。

图20 涡旋干涉图解调方法汇总

三

涡旋干涉仪的典型光路结构及应用领域

与用于位移和形变测量的标准干涉仪相比，光学涡旋干涉仪原则上仅用单幅涡旋干涉图就可以将测量精度提高到亚纳米甚至皮米级。下图21展示了一些代表性的光学涡旋干涉仪的光路结构，包括迈克尔逊涡旋干涉仪（a-c）、马赫-曾德尔涡旋干涉仪（d-l）、共路涡旋干涉仪（m、n）和分波前涡旋干涉仪（o）。

图21 光学涡旋干涉仪的典型光路结构

除位移和形变测量外，光学涡旋干涉仪可通过测量花瓣状条纹在不同溶液流动池中的旋转角度来确定待测溶液折射率的变化。光学涡旋干涉仪在温度测量与应变测量中也具有广泛的应用，将温度变化或轴向应变作用于介质（如光纤），导致介质的折射率或光程变化，从而引起涡旋干涉仪的相移，通过识别涡旋干涉条纹的方位旋转角，实现高灵敏度测量。此外，涡旋干涉仪还成功应用于高灵敏度的磁场测量，激光诱导纳米级热透镜和热反镜的动态测量，以及旋转振动的检测等方面。下图22汇总了光学涡旋干涉仪的主要应用领域及其相应的光路结构。

图22 光学涡旋干涉仪主要应用领域及相应的典型光路结构汇总

对于光学涡旋干涉仪的应用，除了自由空间光学装置外，光纤装置在扩展测量范围、压缩硬件和提高稳健性方面显示出巨大的潜力。一些特殊光纤具有良好的旋涡引导模式和保偏的特性，在遥感和内窥镜的应用中具有很大的吸引力。总之，随着涡旋干涉图解调技术的不断发展，光学涡旋干涉仪也将在动态测量领域发挥更大的价值。

参考文章来源：J.T. Dong, E.X. Zhao, L.Y. Xie, Y.Y. Li, Z.P. Tian, and X.L. Xie, "Optical vortex interferometer: An overview of interferogram demodulation methods for dynamic phase measurement," Optics and Lasers in Engineering 175, 108044 (2024).