2022数学分析【南昌大学】

2022 数学分析

  1. 利用极限定义证明: lim ⁡ n → ∞ 4 n 3 + n − 2 2 n 3 − 10 = 2 \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{4{n^3} + n - 2}}{{2{n^3} - 10}} = 2 nlim2n3104n3+n2=2

    ∀ ε > 0 \forall \varepsilon>0 ε>0 要使不等式成立,限制 n > 18 n>18 n>18

    ∣ 4 n 3 + n − 2 2 n 3 − 10 − 2 ∣ = ∣ 4 n 3 + n − 2 2 n 3 − 10 − 2 ∣ = ∣ n + 18 2 n 3 − 10 ∣ ≤ ∣ 2 n 2 n 3 − 2 n ∣ = ∣ 1 n 2 − 1 ∣ < ε \begin{align*} \left| {\frac{{4{n^3} + n - 2}}{{2{n^3} - 10}} - 2} \right| &= \left| {\frac{{4{n^3} + n - 2}}{{2{n^3} - 10}} - 2} \right|\\ &= \left| {\frac{{n + 18}}{{2{n^3} - 10}}} \right|\\ &\le \left| {\frac{{2n}}{{2{n^3} - 2n}}} \right|\\ &= \left| {\frac{1}{{{n^2} - 1}}} \right|\\ &< \varepsilon \end{align*} 2n3104n3+n22 = 2n3104n3+n22 = 2n310n+18 2n32n2n = n211 <ε

    解得 n > 1 ε + 1 n>\sqrt{\frac{1}{\varepsilon}+1} n>ε1+1 ,取 N = max ⁡ { 18 , 1 ε + 1 } N=\max\{18,\sqrt{\frac{1}{\varepsilon}+1}\} N=max{18,ε1+1 }

    于是有, ∀ ε > 0 \forall \varepsilon>0 ε>0, ∃ N = max ⁡ { 18 , 1 ε + 1 } \exist N=\max\{18,\sqrt{\frac{1}{\varepsilon}+1}\} N=max{18,ε1+1 } , 当 n > N n>N n>N, 有 ∣ 4 n 3 + n − 2 2 n 3 − 10 − 2 ∣ < ε \left| {\frac{{4{n^3} + n - 2}}{{2{n^3} - 10}} - 2} \right| < \varepsilon 2n3104n3+n22 <ε。即 lim ⁡ n → ∞ 4 n 3 + n − 2 2 n 3 − 10 = 2 \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{4{n^3} + n - 2}}{{2{n^3} - 10}} = 2 nlim2n3104n3+n2=2

  2. 求下列极限。

    1. lim ⁡ n → ∞ ( 1 n + 1 + 1 n + 2 + ⋯ + 1 n + n ) ; \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + \cdots + \frac{1}{n + n} \right); nlim(n+11+n+21++n+n1);
    2. lim ⁡ x → 0 [ sin ⁡ x − sin ⁡ ( sin ⁡ x ) ] sin ⁡ x x 4 ; \lim_{x \to 0} \frac{[\sin x - \sin(\sin x)] \sin x}{x^4}; x0limx4[sinxsin(sinx)]sinx;
    3. lim ⁡ x → 0 + ∫ 0 2 x ∣ t − x ∣ sin ⁡ t   d t x 3 . \lim_{x \to 0^+} \frac{\int_0^{2x} \left|t - x\right| \sin t \, dt}{x^3}. x0+limx302xtxsintdt.

    解答 1

    lim ⁡ n → ∞ ( 1 n + 1 + 1 n + 2 + ⋯ + 1 n + n ) = lim ⁡ n → ∞ 1 n ∑ k = 1 n 1 1 + k n = ∫ 0 1 1 1 + x d x = ln ⁡ ( 1 + x ) ∣ 0 1 = ln ⁡ 2 \begin{align*} \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {\frac{1}{{n + 1}} + \frac{1}{{n + 2}} + \cdots + \frac{1}{{n + n}}} \right) &= \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{n}\sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{{1 + \frac{k}{n}}}} \\ &= \int_0^1 {\frac{1}{{1 + x}}dx} \\ &= \ln \left( {1 + x} \right)|{}_0^1\\ &= \ln 2 \end{align*} nlim(n+11+n+21++n+n1)=nlimn1k=1n1+nk1=011+x1dx=ln(1+x)01=ln2

    解答 2

    lim ⁡ x → 0 [ sin ⁡ x − sin ⁡ ( sin ⁡ x ) ] sin ⁡ x x 4 = lim ⁡ x → 0 1 6 sin ⁡ 3 x sin ⁡ x x 4 = 1 6 \begin{align*} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{[\sin x - \sin (\sin x)]\sin x}}{{{x^4}}}& = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{1}{6}{{\sin }^3}x\sin x}}{{{x^4}}} \\ &= \frac{1}{6} \\ \end{align*} x0limx4[sinxsin(sinx)]sinx=x0limx461sin3xsinx=61

    解答 3

    lim ⁡ x → 0 + ∫ 0 2 x ∣ t − x ∣ sin ⁡ t   d t x 3 = lim ⁡ x → 0 + ∫ 0 x ( x − t ) sin ⁡ t   d t + ∫ x 2 x ( t − x ) sin ⁡ t   d t x 3 = lim ⁡ x → 0 + ∫ 0 x sin ⁡ t   d t + 2 x sin ⁡ 2 x + ∫ x 2 x − sin ⁡ t   d t 3 x 2 = lim ⁡ x → 0 + sin ⁡ x + 2 sin ⁡ 2 x + 4 x cos ⁡ 2 x − 2 sin ⁡ 2 x + sin ⁡ x 6 x = lim ⁡ x → 0 + 4 x cos ⁡ 2 x 6 x + lim ⁡ x → 0 + 2 sin ⁡ x 6 x = 1 \begin{align*} \lim_{x \to 0^+} \frac{\int_0^{2x} |t - x| \sin t \, dt}{x^3} &= \lim_{x \to 0^+} \frac{\int_0^x (x - t) \sin t \, dt + \int_x^{2x} (t - x) \sin t \, dt}{x^3} \\ &= \lim_{x \to 0^+} \frac{\int_0^x \sin t \, dt + 2x \sin 2x + \int_x^{2x} -\sin t \, dt}{3x^2} \\ &= \lim_{x \to 0^+} \frac{\sin x + 2 \sin 2x + 4x \cos 2x - 2 \sin 2x + \sin x}{6x} \\ &= \lim_{x \to 0^+} \frac{4x \cos 2x}{6x} + \lim_{x \to 0^+} \frac{2 \sin x}{6x} \\ &= 1 \end{align*} x0+limx302xtxsintdt=x0+limx30x(xt)sintdt+x2x(tx)sintdt=x0+lim3x20xsintdt+2xsin2x+x2xsintdt=x0+lim6xsinx+2sin2x+4xcos2x2sin2x+sinx=x0+lim6x4xcos2x+x0+lim6x2sinx=1

  3. 证明:函数 f ( x ) = x sin ⁡ x f(x) = x \sin x f(x)=xsinx ( − ∞ , + ∞ ) (-\infty, +\infty) (,+) 上不一致连续。

    证明:反证法

    f ( x ) = x sin ⁡ x f(x) = x \sin x f(x)=xsinx ( − ∞ , + ∞ ) (-\infty, +\infty) (,+) 上一致连续。则 ∀ ε > 0 \forall \varepsilon>0 ε>0 ∃ δ > 0 \exist\delta>0 δ>0 当, ∀ x 1 , x 2 : ∣ x 1 − x 2 ∣ < δ \forall x_1,x_2:\left|x_1-x_2\right|<\delta x1,x2:x<

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