一、知识点

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（一）知识结构

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（二）自变量趋于有限值时函数的极限

• 设函数$f(x)$在$x_0$的某一去心邻域内有定义。如果存在常数$A$，对于任意给定的正数$ϵ$（不论它多么小），总存在正数$\delta$，使得当$x$满足不等式$0<\left|\begin{array}{c}x-x_0\end{array}\right|<\delta$时，对应的函数值$f(x)$都满足不等式$\left|\begin{array}{c}f(x)-A\end{array}\right|<ϵ$，那么常数$A$就叫做函数$f(x)$当$x\to x_0$时的极限，记作${\lim }_{x\to x_0}f(x)=A$ 或 $f(x)\to A(当x\to x_0)$。

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（三）左极限和右极限

• 在${\lim }_{x\to x_0}f(x)=A$的定义中，把$0<\left|\begin{array}{c}x-x_0\end{array}\right|<\delta$改为$x_0-\delta <x<x_0$，那么$A$就叫做函数$f(x)$当$x\to x_0$时的左极限，记作${\lim }_{x\to x_0^{-}}f(x)=A$或$f(x_0^{-})=A$。
• 在${\lim }_{x\to x_0}f(x)=A$的定义中，把$0<\left|\begin{array}{c}x-x_0\end{array}\right|<\delta$ 改为 $x_0<x<x_0+\delta$，那么$A$就叫做函数$f(x)$当$x\to x_0$时的右极限，记作${\lim }_{x\to x_0^{+}}f(x)=A$或$f(x_0^{+})=A$。
• 左极限和右极限统称为单侧极限。
• 函数$f(x)$当$x\to x_0$时极限存在的充分必要条件是左极限和右极限各自存在且相等。

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（四）自变量趋于无穷大时函数的极限

• 设函数$f(x)$当$\left|\begin{array}{c}x\end{array}\right|$大于某一正数时有定义。如果存在常数$A$，对于任意给定的正数$ϵ$（不论它多么小），总存在着正数$X$，使得当$x$满足不等式$\left|\begin{array}{c}x\end{array}\right|>X$时，对应的函数值$f(x)$都满足不等式$\left|\begin{array}{c}f(x)-A\end{array}\right|<ϵ$，那么常数$A$就叫做函数$f(x)$当$x\to \infty$时的极限，记作${\lim }_{x\to \infty }f(x)=A$或$f(x)\to A$（当$x\to \infty )$。

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（五）函数极限的性质

• 定理1（函数极限的唯一性）：
  如果${\lim }_{x\to x_0}f(x)$存在，那么这极限唯一。
• 定理2（函数极限的局部有界性）：
  如果${\lim }_{x\to x_0}f(x)=A$，那么存在常数$M>0$和$\delta >0$，使得当$0<\left|\begin{array}{c}x-x_0\end{array}\right|<\delta$时，有$\left|\begin{array}{c}f(x)\end{array}\right|\le M$。
• 定理3（函数极限的局部保号性）：
  如果${\lim }_{x\to x_0}f(x)=A$，且$A>0$（或$A<0$），那么存在常数$\delta >0$，使得当$0<\left|\begin{array}{c}x-x_0\end{array}\right|<\delta$时，有$f(x)>0$（或$f(x)<0$）。
• 定理3’：
  如果${\lim }_{x\to x_0}f(x)=A(A\ne 0)$，那么就存在着$x_0$的某一去心邻域$\mathring{U}(x_0)$，当$x\in \mathring{U}(x_0)$，就有$\left|\begin{array}{c}f(x)\end{array}\right|<\frac{|\begin{array}{c}A\end{array}|}{2}$。
• 推论：
  如果在$x_0$的某去心邻域内$f(x)\ge 0$（或$f(x)\le 0$），而且${\lim }_{x\to x_0}f(x)=A$，那么$A\ge 0$（或$A\le 0$）。
• 定理4（函数极限与数列极限的关系）：
  如果极限${\lim }_{x\to x_0}f(x)$存在， { x n } \lbrace x_n\rbrace {xn​}为函数$f(x)$的定义域内任一收敛于$x_0$的数列，且满足：$x_n\ne x_0(n\in N^{+})$，那么相应的函数值数列 { f ( x n ) } \lbrace f(x_n)\rbrace {f(xn​)}必收敛，且${\lim }_{n\to \infty }f(x_n)={\lim }_{x\to x_0}f(x)$。

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二、练习题

1. 对图中所示的函数$f(x)$，求下列极限，如果极限不存在，说明理由。
   (1) ${\lim }_{x\to -2}f(x)$
   (2) ${\lim }_{x\to -1}f(x)$
   (3) ${\lim }_{x\to 0}f(x)$
   

• 【解答】
• (1)
  ${\lim }_{x\to -2}f(x)=0$
• (2)
  ${\lim }_{x\to -1}f(x)=-1$
• (3)
  ${\lim }_{x\to 0}f(x)$极限不存在，因其左右极限不相等

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2. 对图中所示的函数$f(x)$，下列陈述中哪些是对的，哪些是错的？
   (1) ${\lim }_{x\to 0}f(x)$不存在
   (2) ${\lim }_{x\to 0}f(x)=0$
   (3) ${\lim }_{x\to 0}f(x)=1$
   (4) ${\lim }_{x\to 1}f(x)=0$
   (5) ${\lim }_{x\to 1}f(x)$不存在
   (6) 对每个$x_0\in (-1,1)$，${\lim }_{x\to x_0}f(x)$存在
   

• 【解答】
  
• (1)
  ${\lim }_{x\to 0}f(x)$不存在：错误，因为${\lim }_{x\to 0}f(x)=0$，与$f(0)$无关。
• (2)
  ${\lim }_{x\to 0}f(x)=0$：正确，因为${\lim }_{x\to 0^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)=0$。
• (3)
  ${\lim }_{x\to 0}f(x)=1$：错误，因为${\lim }_{x\to 0^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)=0$，而与$f(0)$无关。
• (4)
  ${\lim }_{x\to 1}f(x)=0$：错误，因为${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)=-1$，${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=0$，左右极限不相等，故不存在极限。
• (5)
  ${\lim }_{x\to 1}f(x)$不存在：正确，原因同上。
  
• (6)
  对每个$x_0\in (-1,1)$，${\lim }_{x\to x_0}f(x)$存在：正确。

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3. 对图中所示函数，下列陈述中哪些是对的，哪些是错的？
   (1) ${\lim }_{x\to -1^{+}}f(x)=1$
   (2) ${\lim }_{x\to -1^{-}}f(x)$不存在
   (3) ${\lim }_{x\to 0}f(x)=0$
   (4) ${\lim }_{x\to 0}f(x)=1$
   (5) ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)=1$
   (6) ${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=0$
   (7) ${\lim }_{x\to 2^{-}}f(x)=0$
   (8) ${\lim }_{x\to 2^{+}}f(x)=0$
   

• 【解答】
  
• (1)
  ${\lim }_{x\to -1^{+}}f(x)=1$：正确
• (2)
  ${\lim }_{x\to -1^{-}}f(x)$不存在：正确，$x<-1$超出$f(x)$的定义域
• (3)
  ${\lim }_{x\to 0}f(x)=0$：正确
• (4)
  ${\lim }_{x\to 0}f(x)=1$：错误，${\lim }_{x\to 0}f(x)=0$，与$f(0)=1$无关。
• (5)
  ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)=1$：正确
• (6)
  ${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=0$：正确
• (7)
  ${\lim }_{x\to 2^{-}}f(x)=0$：正确
• (8)
  ${\lim }_{x\to 2^{+}}f(x)=0$：错误，$x>2$超出$f(x)$的定义域

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4. 求$f(x)=\frac{x}{x}$，$\varphi (x)=\frac{|\begin{array}{c}x\end{array}|}{x}$当$x\to 0$时的左、右极限，并说明它们在$x\to 0$时的极限是否存在。

• 【解答】
• (1)
  $\because$ 当$x\ne 0$时，$f(x)=1$；
  $\therefore {\lim }_{x\to 0^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)=1$ ；
  $\therefore {\lim }_{x\to 0}f(x)=1$。
• (2)
  $\because$ 当$x<0$时，$\varphi (x)=-1$；当$x>0$时，$\varphi (x)=1$
  $\therefore {\lim }_{x\to 0^{-}}\varphi (x)=-1,{\lim }_{x\to 1^{+}}\varphi (x)=1$
  $\therefore {\lim }_{x\to 0^{-}}\varphi (x)\ne {\lim }_{x\to 0^{+}}\varphi (x)$
  $\therefore {\lim }_{0\to 0}\varphi (x)$不存在。

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5. 根据函数极限的定义证明：
   (1) ${\lim }_{x\to 3}(3x-1)=8$
   (2) ${\lim }_{x\to 2}(5x+2)=12$
   (3) ${\lim }_{x\to -2}\frac{x^2-4}{x+2}=-4$
   (4) ${\lim }_{x\to -\frac{1}{2}}\frac{1-4x^2}{2x+1}=2$

• 【证明】

• (1)
  对于 $\forall ϵ>0$（无论它多么小），
  若要 $\left|\begin{array}{c}f(x)-A\end{array}\right|=\left|\begin{array}{c}(3x-1)-8\end{array}\right|<ϵ$，
  只要 $\left|\begin{array}{c}x-3\end{array}\right|<\frac{ϵ}{3}$。
  取 $\delta =\frac{ϵ}{3}$，
  当 $0<\left|\begin{array}{c}x-x_0\end{array}\right|=\left|\begin{array}{c}x-3\end{array}\right|<\delta$ ，即 $x\in \mathring{U}(3,\delta )$ 时，
  有 $\left|\begin{array}{c}f(x)-A\end{array}\right|<ϵ$，
  $\therefore {\lim }_{x\to 3}(3x-1)=8$。

• (2)
  对于 $\forall ϵ>0$（无论它多么小）
  若要 $\left|\begin{array}{c}f(x)-A\end{array}\right|=\left|\begin{array}{c}(5x+2)-12\end{array}\right|<ϵ$
  只要 $\left|\begin{array}{c}x-2\end{array}\right|<\frac{ϵ}{5}$
  取 $\delta =\frac{ϵ}{5}$
  当 $0<\left|\begin{array}{c}x-x_0\end{array}\right|=\left|\begin{array}{c}x-2\end{array}\right|<\delta$ ，即 $x\in \mathring{U}(2,\delta )$ 时
  有$\left|\begin{array}{c}f(x)-A\end{array}\right|<ϵ$
  $\therefore {\lim }_{x\to 2}(5x+2)=12$。
  
  

• (3)
  对于 $\forall ϵ>0$（无论它多么小）
  若要 $\left|\begin{array}{c}f(x)-A\end{array}\right|=\left|\begin{array}{c}\frac{x^2-4}{x+2}-4\end{array}\right|<ϵ$
  只要 $\left|\begin{array}{c}x+2\end{array}\right|<ϵ$
  取 $\delta =ϵ$
  当 $0<\left|\begin{array}{c}x-x_0\end{array}\right|=\left|\begin{array}{c}x-(-2)\end{array}\right|<\delta$，即 $x\in \mathring{U}(-2,\delta )$ 时
  有 $\left|\begin{array}{c}f(x)-A\end{array}\right|<ϵ$
  $\therefore {\lim }_{x\to -2}\frac{x^2-4}{x+2}=-4$

• (4)
  对于 $\forall ϵ>0$（无论它多么小）
  若要 $\left|\begin{array}{c}f(x)-A\end{array}\right|=\left|\begin{array}{c}\frac{1-4x^2}{2x+1}-2\end{array}\right|<ϵ$
  只要 $\left|\begin{array}{c}x+\frac{1}{2}\end{array}\right|<\frac{ϵ}{2}$
  取 $\delta =\frac{ϵ}{2}$
  当$0<\left|\begin{array}{c}x-x_0\end{array}\right|=\left|\begin{array}{c}x+\frac{1}{2}\end{array}\right|<\delta$，即 $x\in \mathring{U}(-\frac{1}{2},\delta )$ 时
  有 $\left|\begin{array}{c}f(x)-A\end{array}\right|<ϵ$
  $\therefore {\lim }_{x\to -\frac{1}{2}}\frac{1-4x^2}{2x+1}=2$

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6. 根据函数极限的定义证明。
   (1) ${\lim }_{x\to \infty }\frac{1+x^3}{2x^3}=\frac{1}{2}$
   (2) ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{sinx}{\sqrt{x}}=0$

• 【证明】

• (1)
  对于 $\forall ϵ>0$（无论它多么小）
  若要 $\left|\begin{array}{c}f(x)-A\end{array}\right|=\left|\begin{array}{c}\frac{1+x^3}{2x^3}-\frac{1}{2}\end{array}\right|<ϵ$
  只要 $\left|\begin{array}{c}x\end{array}\right|>\sqrt[3]{\frac{1}{2ϵ}}$
  取 $X=\sqrt[3]{\frac{1}{2ϵ}}$
  当 $\left|\begin{array}{c}x\end{array}\right|>X$ 时
  有 $\left|\begin{array}{c}f(x)-A\end{array}\right|<ϵ$
  $\therefore {\lim }_{x\to \infty }\frac{1+x^3}{2x^3}=\frac{1}{2}$

• (2)
  对于 $\forall ϵ>0$（无论它多么小）
  若要 $\left|\begin{array}{c}f(x)-A\end{array}\right|=\left|\begin{array}{c}\frac{sinx}{\sqrt{x}}-0\end{array}\right|<ϵ$
  只要 $\frac{|\begin{array}{c}sinx\end{array}|}{\sqrt{x}}<\frac{1}{\sqrt{x}}<ϵ$，即 $x>\frac{1}{{ϵ}^2}$
  取 $X=\frac{1}{{ϵ}^2}$
  当 $x>X$ 时
  有 $\left|\begin{array}{c}f(x)-A\end{array}\right|<ϵ$
  $\therefore {\lim }_{x\to +\infty }\frac{sinx}{\sqrt{x}}=0$

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7. 当 $x\to 2$ 时，$y=x^2\to 4$ 。问 $\delta$ 等于多少，使当 $\left|\begin{array}{c}x-2\end{array}\right|<\delta$ 时，$\left|\begin{array}{c}y-4\end{array}\right|<0.001$？

• 【解答】
  $\because {\lim }_{x\to 2}f(x)=4$，
  $\therefore \forall ϵ>0$ （无论它多么小），$\exists \delta >0$ 当 $x\in \mathring{U}(2,\delta )$ 时， $\left|\begin{array}{c}f(x)-4\end{array}\right|<ϵ$ 。
  本题是当 $ϵ=0.001$ 时，求邻域半径 $\delta$ 的取值范围。
  (1) 求 $x$ 的取值范围
  $\because \left|\begin{array}{c}y-4\end{array}\right|=\left|\begin{array}{c}{x}^2-4\end{array}\right|<0.001$ 且 $x>0$
  $\therefore \sqrt{3.999}<x<\sqrt{4.001} $
  (2) 求邻域左右半径的最大值
  ${\delta }_{左max}=2-\sqrt{3.999}$
  ${\delta }_{右max}=\sqrt{4.001}-2$
  (3) 求$\delta$
  0 < δ ≤ m i n { δ 左 m a x , δ 右 m a x } = 4.001 − 2 0<\delta \leq min\lbrace \delta _{左max},\delta _{右max}\rbrace=\sqrt{4.001}-2 0<δ≤min{δ左max​,δ右max​}=4.001 ​−2。

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8. 当 $x\to \infty$时，$y=\frac{x^2-1}{x^2+3}\to 1$。问 $X$ 等于多少，使当$\left|\begin{array}{c}x\end{array}\right|>X$ 时，$\left|\begin{array}{c}y-1\end{array}\right|<0.01$?

• 【解答】
  $\because {\lim }_{x\to \infty }\frac{x^2-1}{x^2+3}=1$
  $\therefore \forall ϵ>0$ （不论它多么小），$\exists X>0$，当 $\left|\begin{array}{c}x\end{array}\right|>X$ 时，$\left|\begin{array}{c}f(x)-1\end{array}\right|<ϵ$ 。
  本题是当 $ϵ=0.01$ 时，求 $X$ 的取值范围。
  (1) 求 $x$ 的取值范围
  $\because \left|\begin{array}{c}y-1\end{array}\right|=\left|\begin{array}{c}\frac{x^2-1}{x^2+3}-1\end{array}\right|<0.01$
  $\therefore x>\sqrt{397}$ 或 $x<-\sqrt{397}$
  $\therefore \left|\begin{array}{c}x\end{array}\right|>\sqrt{397}$
  (2) 求 $X$
  $\therefore X\ge \sqrt{397}$

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9. 证明函数 $f(x)=\left|\begin{array}{c}x\end{array}\right|$ 当 $x\to 0$ 时极限为零。

• 【证明】
  $\forall ϵ>0$ （无论它多么小），取 $\delta =ϵ$
  $\because$ 当 $0<x<\delta$ 时，$\left|\begin{array}{c}f(x)-A\end{array}\right|=\left|\begin{array}{c}\left|\begin{array}{c}x\end{array}\right|-0\end{array}\right|=\left|\begin{array}{c}x\end{array}\right|<\delta =ϵ$
  $\therefore {\lim }_{x\to 0}f(x)=0$

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10. 证明：若 $x\to +\infty$ 及 $x\to -\infty$时，函数 $f(x)$的极限都存在且等于$A$，则${\lim }_{x\to \infty }f(x)=A$。

• 【证明】
  $\because {\lim }_{x\to +\infty }f(x)=A$
  $\therefore \forall ϵ>0,\exists X_1>0$，当 $x>X_1$ 时， $\left|\begin{array}{c}f(x)-A\end{array}\right|<ϵ$
  $\because {\lim }_{x\to -\infty }f(x)=A$
  $\therefore \forall ϵ>0,\exists X_2<0$，当 $x<X_2$ 时，$\left|\begin{array}{c}f(x)-A\end{array}\right|<ϵ$
  ∴ ∀ ϵ > 0 , ∃ X = m a x { X 1 , ∣ X 2 ∣ } \therefore \forall \epsilon > 0,\exist X=max\lbrace X_1,\begin{vmatrix}X_2\end{vmatrix}\rbrace ∴∀ϵ>0,∃X=max{X1​, ​X2​​ ​}，当 $x>X$ 时，$\left|\begin{array}{c}f(x)-A\end{array}\right|<ϵ$
  $\therefore {\lim }_{x\to \infty }f(x)=A$。

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11. 根据函数极限的定义证明：函数 $f(x)$ 当$x\to x_0$时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等。

• 【证明】
  (1) 充分条件
  $\because {\lim }_{x\to x_0^{-}}f(x)=A$
  $\therefore \forall ϵ>0$ （无论它多么小），$\exists {\delta }_1>0$，当 $x_0-{\delta }_1<x<x_0$ 时，$\left|\begin{array}{c}f(x)-A\end{array}\right|<ϵ$
  $\because {\lim }_{x\to x_0^{+}}=A$
  $\therefore \forall ϵ>0$ （无论它多么小），$\exists {\delta }_2>0$，当 $x_0<x<x_0+{\delta }_2$ 时，$\left|\begin{array}{c}f(x)-A\end{array}\right|<ϵ$
  $\therefore ϵ>0$ （无论它多么小）， ∃ δ = m i n { δ 1 , δ 2 } \exist \delta = min\lbrace \delta_1,\delta_2\rbrace ∃δ=min{δ1​,δ2​}，当 $x\in \mathring{U}(x_0,\delta )$ 时，$\left|\begin{array}{c}f(x)-A\end{array}\right|<ϵ$
  $\therefore {\lim }_{x\to x_0}f(x)=A$
  
  

  (2)必要条件
  $\because {\lim }_{x\to x_0}f(x)=A$
  $\therefore \forall ϵ>0$（无论它多么小），$\exists \delta >0$，当 $x\in \mathring{U}(x_0,\delta )$ 时，$\left|\begin{array}{c}f(x)-A\end{array}\right|<ϵ$
  $\therefore$ 当 $x_0-\delta <x<x_0$ 时，$\left|\begin{array}{c}f(x)-A\end{array}\right|$
  $\therefore {\lim }_{x\to x_0^{-}}f(x)=A$
  同理 ${\lim }_{x\to x_0^{+}}f(x)=A$
  $\therefore {\lim }_{x\to x_0^{-}}={\lim }_{x\to x_0^{+}}=A$

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12. 试给出 $x\to \infty$ 时函数极限的局部有界性的定理，并加以证明。

• 【定理】
  如果 ${\lim }_{x\to \infty }f(x)=A$ 成立，则存在常数 $M>0$ 和 $X>0$，当 $\left|\begin{array}{c}x\end{array}\right|>X$ 时，$\left|\begin{array}{c}f(x)\end{array}\right|\le M$。

• 【证明】
  $\because {\lim }_{x\to \infty }f(x)=A$ 成立
  $\therefore \forall ϵ>0$（无论它多么小），$\exists X>0$，当 $x>\left|\begin{array}{c}X\end{array}\right|$时，$\left|\begin{array}{c}f(x)-A\end{array}\right|<ϵ$
  $\therefore A-ϵ<f(x)<A+ϵ$
  ∴ ∣ f ( x ) ∣ < m a x { ∣ A − ϵ ∣ , ∣ A + ϵ ∣ } \therefore \begin{vmatrix}f(x)\end{vmatrix}<max\lbrace \begin{vmatrix}A-\epsilon\end{vmatrix},\begin{vmatrix}A+\epsilon\end{vmatrix}\rbrace ∴ ​f(x)​ ​<max{ ​A−ϵ​ ​, ​A+ϵ​ ​}
  ∴ ∃ M ≥ m a x { ∣ A − ϵ ∣ , ∣ A + ϵ ∣ } \therefore \exist M\geq max\lbrace \begin{vmatrix}A-\epsilon\end{vmatrix}, \begin{vmatrix}A+\epsilon\end{vmatrix}\rbrace ∴∃M≥max{ ​A−ϵ​ ​, ​A+ϵ​ ​}，当 $x\to \infty$ 时，$f(x)<M$。

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  【学习资料】

• 《高等数学（第六版）》 上册，同济大学数学系 编