【题目大意】

给定一个长度为 $n$ 的数列 $a_{1\dots n}$，你可以将 $a_{1\dots n}$ 按照任意顺序进行重排，使得：

∑ i = 1 n gcd ⁡ { a 1 , a 2 , a 3 , … , a n } \sum\limits_{i=1}^{n}\gcd\left \{ a_{1},a_{2},a_{3},\dots,a_{n}\right \} i=1∑n​gcd{a1​,a2​,a3​,…,an​}

最小。其中 gcd ⁡ { a 1 , a 2 , … , a n } \gcd\left \{ a_{1},a_{2},\dots,a_{n}\right \} gcd{a1​,a2​,…,an​} 表示 $a_1,a_2,\dots ,a_n$ 的最大公因数。

【输入格式】

第一行一个整数 $t$，表示共有 $t$ 组数据。

每组数据第一行一个整数 $n(1\le n\le 1\times 10^5)$，表示数列的长度。

第二行 $n$ 个整数，表示 $a_{1\dots n}$。保证 $1\le a_i\le 1\times 10^5$。

保证所有测试数据的 $n$ 及 max ⁡ 1 ≤ i ≤ n { a i } \max\limits_{1 \leq i \leq n}\left \{ a_{i}\right \} 1≤i≤nmax​{ai​} 的总和不会超过 $1\times 10^5$。

【输出格式】

$t$ 行，每行一个整数，表示答案。

【样例解释】

• 对于第一组测试数据，你可以以 $[2,4,2]$ 的顺序重排数列，这样答案为 $2+2+2=6$ 最小。
• 对于第三组测试数据，你可以以 $[6,10,15]$ 的顺序重排数列，这样答案为 $6+2+1=9$ 最小。

Translated by HPXXZYY, not by ChatGPT.

和洛谷上的翻译大体相同，因为是同一个人翻译的。

$\text{[Analysis]}$

这题可以贪心。

正解就是把最小的 $a_i$ 放到最前面，然后每次选取和它的 gcd 最小的那一个数。

可是，为什么这样是对的？

先证明把最小的 $a_i$ 放在最前面最优。

先证明引理：若 $a<b$，有 $a+\gcd (a,b)\le b$。

我们知道 $\gcd (a,b)=\gcd (a,b-a)=\gcd (b,b-a)\le (b-a)$，所以 $a+\gcd (a,b)=a+\gcd (a,b-a)\le a+(b-a)=b$。

所以，如果将较大的 $a_k$ 放在前面的话，我们来看一张图（假设 $A$ 是最小的元素）：

我们可以发现，上面蓝色部分对应的 $1,2,3$（代表算到这个数时的前缀 gcd），会分别大于等于下面红色的 $1,2,3$。且上面蓝色算到 $A$ 的前缀 gcd 至少为 $1$。所以上面的蓝色的前缀 gcd 和为 $b+1+2+3+4\ge b+1+2+3+1$。但是下面的前缀 gcd 的和为 $a+\gcd (a,b)+1+2+3\le b+1+2+3$。所以显然下面的情况更优。

后面的贪心过程同理可以证明。

由于每次取 gcd 都会比上一次至少减少一半，所以时间复杂度为 O ( n log ⁡ max ⁡ { a i } ) O(n \log \max\{a_{i}\}) O(nlogmax{ai​})。

$\text{Code}$

const int N=1e5+100;
typedef long long ll;const int inf=0x3f3f3f3f;int n,a[N],lst,now,T;
ll ans;int HPXXZYY(){n=read();for(int i=1;i<=n;i++)a[i]=read();sort(a+1,a+n+1);if (n==1) return printf("%d\n",a[1]);now=a[1];for(int i=2;i<=n;i++)now=gcd(now,a[i]);ans=1ll*now*n+(a[1]-now);lst=a[1];int tmp=now;while (true){now=inf;for(int i=1;i<=n;i++)now=min(now,gcd(lst,a[i]));lst=now;ans+=lst-tmp;if (lst==tmp) break;}return printf("%lld\n",ans);
}int main(){T=read();while (T--) HPXXZYY();return 0;
}