备战2024年全国大学生数学建模竞赛：湖羊养殖场空间利用率优化

一、引言

二、问题分析

问题1：年化出栏量与羊栏缺口估算

问题2：最大化年化出栏量的生产计划

问题3：考虑不确定因素的生产计划

三、解题思路

1. 模型假设与变量设定

2. 问题1的建模与求解

3. 问题2的建模与优化

4. 问题3的建模与不确定性处理

四、知识点解析

1. 线性规划与非线性规划

2. 动态规划

3. 蒙特卡罗模拟

五、MATLAB代码示例

六、总结与建议

一、引言

全国大学生数学建模竞赛是全国高校学子展示数学应用能力的平台，每年吸引大量学生参与。在竞赛中，选手需要运用数学模型解决实际问题。2023年的D题“圈养湖羊的空间利用率”聚焦于湖羊养殖场的空间利用率优化，是典型的生产计划和资源优化问题。本文将基于该题，详细介绍如何建立模型，优化湖羊养殖场的生产计划。

二、问题分析

湖羊是国家级保护品种，具有早期生长快、四季发情等优良特性。养殖场需分群饲养湖羊，以适应不同阶段对空间的需求。养殖过程中，需考虑母羊的交配期、孕期、哺乳期和休整期，以及公羊和育肥期羔羊的需求。

问题1：年化出栏量与羊栏缺口估算

题目要求在不考虑不确定因素的情况下，确定合理的种公羊和基础母羊数量，并估算年化出栏羊只数量的范围。若养殖场希望每年出栏不少于1500只羊，则需要估算现有羊栏数量的缺口。

问题2：最大化年化出栏量的生产计划

在112个标准羊栏的限制下，制定具体的生产计划（包括种公羊与基础母羊的配种时机和数量、羊栏使用方案等），以最大化年化出栏量。

问题3：考虑不确定因素的生产计划

在现实中，母羊受孕率、孕期、羔羊死亡率等均具有不确定性，需要制定能应对多种情况的生产预案，以最小化空间损失。

三、解题思路

1. 模型假设与变量设定

假设1： 羊只生长过程中的各项时间周期是固定的（如孕期149天，哺乳期40天等）。
假设2： 各阶段的空间需求不变，不同阶段的羊只不能同栏。
假设3： 忽略羊只死亡、流产等影响出栏的因素。
变量定义：
- xxx：每批次进入交配期的基础母羊数量。
- ggg：批次之间的间隔天数。
- nnn：母羊工作周期，包括交配、孕期、哺乳和休整，共229天。

2. 问题1的建模与求解

目标： 估算在112个羊栏条件下，不同数量的基础母羊的年化出栏数量，并计算满足1500只年化出栏的羊栏缺口。

建模步骤：

单批次羊栏需求： 每批次母羊的工作周期是229天，包括交配期20天、孕期149天、哺乳期40天、空怀休整期20天。
计算单批次母羊的羊栏天数： 根据每阶段母羊的数量限制（如每栏最多14只基础母羊、8只孕母羊等），计算单个周期内所有批次母羊的羊栏需求。
年化出栏数量： 通过循环批次安排，使羊栏的使用量接近稳定，推导年化出栏数量。
估算羊栏缺口： 若年化出栏数量目标为1500只，根据当前出栏数量估算缺口的羊栏数量。

计算结果：

单个批次母羊的年化出栏数量范围为1163至1312只。
若年化出栏目标为1500只，羊栏缺口在16至32之间。

3. 问题2的建模与优化

目标： 在112个羊栏的限制下，制定生产计划，使得年化出栏数量最大化。

建模步骤：

变量设定： 设置决策变量为批次间隔 ggg 和每批次母羊数量 xxx，目标是最大化年化出栏数量。
建立规划模型： 该模型是一个非线性整数规划问题，需要考虑到羊栏数量的约束。
模型简化： 固定间隔 ggg 和每批次母羊数量 xxx，简化后仅需遍历这两个变量以寻找最优解。
求解最优方案： 通过遍历不同的批次间隔和母羊数量，找到在112个羊栏的限制下最大化年化出栏数量的方案。

优化结果：

最优方案为9只公羊和408只母羊（其中第一批48只，后续每批40只），批次间隔22天。
年化出栏数量为1224只，羊栏利用率达到97.38%。

4. 问题3的建模与不确定性处理

目标： 考虑不确定因素（如受孕率、孕期长度波动等），制定最小化期望损失的生产计划。

建模步骤：

随机模拟： 通过蒙特卡罗模拟处理受孕率和孕期长度的波动，生成多种生产情况。
决策变量： 每批次进入交配期的基础母羊数量 xxx 和生产间隔 ggg。
优化目标： 计算每种可能方案的期望损失，并选择期望损失最小的方案。

优化结果：

通过模拟，发现每批次母羊数量为40只时，期望损失最小，日均损失为3.79。
对应的年化出栏数量为1116只，方案稳定且羊栏利用率较高。

四、知识点解析

1. 线性规划与非线性规划

线性规划： 主要用于线性约束和目标函数的问题，在本文问题1中，通过线性规划求解出羊栏的利用情况。
非线性规划： 当目标函数或约束条件为非线性时，需采用非线性规划。本文问题2即为一个典型的非线性规划问题。

2. 动态规划

动态规划： 用于解决多阶段决策问题。本文问题3涉及到对不确定因素的应对，通过动态规划的方法建立多种备选方案。

3. 蒙特卡罗模拟

蒙特卡罗模拟： 用于处理不确定性和随机变量。本文问题3使用蒙特卡罗方法模拟不同的受孕率和孕期长度情景，估算出各方案的期望损失。

五、MATLAB代码示例

以下是问题2的MATLAB代码示例，用于计算年化出栏数量的最优生产计划：

% MATLAB代码示例：问题2 - 年化出栏数量最大化clear;
pp = 4;  % 周期数
g(1:10) = 22;  % 批次之间的间隔天数
p = [20, 149, 40, 20];  % 母羊各状态持续时间
k = 10;  % 总批次数量
p5 = 210;  % 羔羊育肥期持续时间
x(1:k) = 40; x(1) = 48; % 各批次母羊数量
m = ceil(sum(x) / 50);  % 公羊数量
m2 = ceil(m/4);  % 非交配期空闲公羊占用栏数% 初始化
t(1:k,1:4*pp + 1) = 0;  % 时间节点
T(1:k,1:2*pp) = 0;% 第1批次时间节点计算
t(1,1) = 1;  % 初始时刻
for j = 2:5  % 计算第1至6时间节点t(1,j) = t(1,j - 1) + p(j - 1);
end
T(1,1) = t(1,4); T(1,2) = t(1,4) + p5;% 后续周期时间节点计算
for i = 2:ppt(1,4 * (i - 1) + 2 : 4 * i + 1) = t(1,4 * (i - 2) + 2 : 4 * (i - 1) + 1) + sum(p);T(1,2 * (i - 1) + 1 : 2 * i) = T(1,2 * (i - 2) + 1 : 2 * (i - 1)) + sum(p);
end% 计算母羊状态
deltaij(1:k,1:4,1:1000) = 0;  % 初始化0-1变量
for l = 1:1000for i = 1:kkk = find(t(i,:) <= l,1,"last");j = 1 + mod((kk - 1),4);deltaij(i,j,l) = 1;end
end% 羔羊状态计算
deltai_bar(1:k,1:1000) = 0;  % 初始化0-1变量
for l = 1:1000for i = 1:kkk = find(T(i,:) <= l,1,"last");if mod(kk,2) == 1deltai_bar(i,l) = 1;endend
end% 公羊状态计算
Delta(1:1000) = 0;  % 初始化0-1变量
for l = 1:1000Delta(l) = max(deltaij(:,1,l));
end% 计算羊栏需求
N(1:1000) = 0;
for l = 1:1000N1 = 0; N2 = 0;for i = 1:k[n1,m1] = numjp(x(i),m);n = [n1 + m1, ceil(x(i) / 8), ceil(x(i) / 6), ceil(x(i) / 14)];for j = 1:4N1 = N1 + ceil(deltaij(i,j,l) * n(j));endendN(l) = N1 + m2 * Delta(l);
end% 输出结果
disp(['年化出栏数量为: ', num2str(sum(x))]);
disp(['羊栏最大需求数为: ', num2str(max(N))]);