通过一个具体的例子来解释 $w^T{\Sigma }_{0}w$ 和 $w^T{\Sigma }_{1}w$ 表示类内散度在投影方向上的大小。

假设：

我们有两类数据，每个类的协方差矩阵 ${\Sigma }_0$ 和 ${\Sigma }_1$ 以及投影方向 $w$ 如下：

• 类 0 的协方差矩阵 ${\Sigma }_0$：
  $${\Sigma }_0=\left[\begin{array}{cc}2& 0.5\\ 0.5& 1\end{array}\right]$$

• 类 1 的协方差矩阵 ${\Sigma }_1$：
  $${\Sigma }_1=\left[\begin{array}{cc}1& 0.2\\ 0.2& 0.5\end{array}\right]$$

• 投影方向（权重向量）$w$：
  $$w=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]$$

计算类内散度在投影方向上的大小：

1. 对于类 0：计算 $w^T{\Sigma }_{0}w$

我们计算 $w^T{\Sigma }_{0}w$，这表示类 0 在投影方向 $w$ 上的类内散度大小。计算过程如下：
$$w^T{\Sigma }_{0}w=\left[\begin{array}{cc}1& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}2& 0.5\\ 0.5& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]$$

首先进行矩阵和向量相乘：
$${\Sigma }_{0}w=\left[\begin{array}{cc}2& 0.5\\ 0.5& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}2\times 1+0.5\times 1\\ 0.5\times 1+1\times 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}2.5\\ 1.5\end{array}\right]$$

然后再与 $w^T$ 相乘：
$$w^T{\Sigma }_{0}w=\left[\begin{array}{cc}1& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}2.5\\ 1.5\end{array}\right]=1\times 2.5+1\times 1.5=4$$

因此，类 0 在投影方向上的类内散度大小为 4。

2. 对于类 1：计算 $w^T{\Sigma }_{1}w$

我们再计算 $w^T{\Sigma }_{1}w$，这表示类 1 在投影方向 $w$ 上的类内散度大小。计算过程如下：
$$w^T{\Sigma }_{1}w=\left[\begin{array}{cc}1& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 0.2\\ 0.2& 0.5\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]$$

同样，先进行矩阵和向量相乘：
$${\Sigma }_{1}w=\left[\begin{array}{cc}1& 0.2\\ 0.2& 0.5\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\times 1+0.2\times 1\\ 0.2\times 1+0.5\times 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1.2\\ 0.7\end{array}\right]$$

再与 $w^T$ 相乘：
$$w^T{\Sigma }_{1}w=\left[\begin{array}{cc}1& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1.2\\ 0.7\end{array}\right]=1\times 1.2+1\times 0.7=1.9$$

因此，类 1 在投影方向上的类内散度大小为 1.9。

总结：

• 类 0 的类内散度 $w^T{\Sigma }_{0}w=4$
• 类 1 的类内散度 $w^T{\Sigma }_{1}w=1.9$

这两个值都是标量，它们表示不同类在投影方向上（由权重向量 $w$ 决定）的类内样本的分散程度。LDA 的目标是最小化这些类内散度，同时最大化类间差异，以确保在投影后各类能够尽可能分开。