上一期介绍了矩阵的出现源于解线性方程组。但是，矩阵出现之后，就犹如打开了潘多拉的盒子，会产生许多魔法。
1 旋转矩阵
我们知道用矩阵左乘某个向量，相当于对该向量做线性变换。那么是否有一种矩阵，能让向量旋转？例如，让二维平面上的向量 a ⃗ = [ 1 1 ] \vec{a}= \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} a=[11]逆时针旋转 3 0 ∘ 30^ \circ 30∘。
我们从基的角度来思考这个问题，如果我们能找到一个基，这个基与自然基相比，逆时针旋转了 3 0 ∘ 30^\circ 30∘，那么用这个基去左乘向量 a ⃗ \vec{a} a，是不是就把 a ⃗ \vec{a} a逆时针旋转了 3 0 ∘ 30^\circ 30∘，得到向量 b ⃗ \vec{b} b，如下图所示。
图-1中，向量 c 1 ⃗ \vec{c_1} c1、 c 2 ⃗ \vec{c_2} c2是自然基 e 1 ⃗ \vec{e_1} e1、 e 2 ⃗ \vec{e_2} e2逆时针旋转 3 0 ∘ 30^\circ 30∘后得到的新基。那么，现在有个问题，怎么求使自然基旋转 θ \theta θ度后的新基 c 1 ⃗ \vec{c_1} c1， c 2 ⃗ \vec{c_2} c2？
自然基 e 1 ⃗ \vec{e_1} e1、 e 2 ⃗ \vec{e_2} e2旋转 θ \theta θ度得到新基 c 1 ⃗ \vec{c_1} c1， c 2 ⃗ \vec{c_2} c2，也就是 e 1 ⃗ \vec{e_1} e1与 c 1 ⃗ \vec{c_1} c1夹角为 θ \theta θ， e 2 ⃗ \vec{e_2} e2与 c 2 ⃗ \vec{c_2} c2夹角为 θ \theta θ。所以，我们可以用向量余弦相似度来求。
先假设 c 1 ⃗ = ( x 1 , x 2 ) T \vec{c_1}= (x_1, x_2)^T c1=(x1,x2)T， c 2 ⃗ = ( y 1 , y 2 ) T \vec{c_2} =(y_1, y_2)^T c2=(y1,y2)T，由余弦相似度公式可得
{ e 1 ⃗ ⋅ c 1 ⃗ ∥ e 1 ⃗ ∥ ∥ c 1 ⃗ ∥ = x 1 x 1 2 + x 2 2 = c o s θ e 2 ⃗ ⋅ c 2 ⃗ ∥ e 2 ⃗ ∥ ∥ c 2 ⃗ ∥ = y 2 y 1 2 + y 2 2 = c o s θ (1) \begin{cases} \frac{\vec{e_1} \cdot \vec{c_1} }{\parallel \vec{e_1} \parallel \parallel \vec{c_1} \parallel} = \frac{x_1} {\sqrt{x_1^2 + x_2^2} }=cos\theta \\ \\ \frac{\vec{e_2} \cdot \vec{c_2} }{\parallel \vec{e_2} \parallel \parallel \vec{c_2} \parallel} = \frac{y_2} {\sqrt{y_1^2+y_2^2}} = cos\theta \end{cases} \tag{1} ⎩ ⎨ ⎧∥e1∥∥c1∥e1⋅c1=x12+x22x1=cosθ∥e2∥∥c2∥e2⋅c2=y12+y22y2=cosθ(1)
观察式(1)，要使等式成立，是不是只要令 x 1 2 + x 2 2 = 1 , x 1 = cos θ , x 2 = sin θ \sqrt{x_1^2+x_2^2}=1, x_1=\cos \theta, x_2=\sin \theta x12+x22=1,x1=cosθ,x2=sinθ，就可以满足第一个等式；再令 y 1 2 + y 2 2 = 1 , 则 y 2 = cos θ , y 1 = − sin θ \sqrt{y_1^2+y_2^2}=1, 则y_2=\cos \theta, y_1=-\sin \theta y12+y22=1,则y2=cosθ,y1=−sinθ，就可以满足第二个等式。此时 c 1 ⃗ = [ x 1 x 2 ] \vec{c_1}=\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} c1=[x1x2]与 c 2 ⃗ = [ y 1 y 2 ] \vec{c_2}=\begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \end{bmatrix} c2=[y1y2]正好正交（两向量垂直）。
于是，我们得到
( c 1 ⃗ c 2 ⃗ ) = [ cos θ − sin θ sin θ cos θ ] (2) \begin{pmatrix} \vec{c_1} & \vec{c_2} \end{pmatrix}=\begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix} \tag{2} (c1c2)=[cosθsinθ−sinθcosθ](2)
除了零向量，其它向量只要用式(2)这个矩阵左乘，就可以将向量逆时针旋转 θ \theta θ度，是不是很神奇。所以，我们把式(2)这个神奇的矩阵叫作旋转矩阵。
如果是按顺时针旋转，则应左乘下面这个矩阵
( c 1 ⃗ c 2 ⃗ ) = [ cos θ sin θ − sin θ cos θ ] (3) \begin{pmatrix} \vec{c_1} & \vec{c_2} \end{pmatrix}=\begin{bmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix} \tag{3} (c1c2)=[cosθ−sinθsinθcosθ](3)
不知道你们有没用过矢量作图软件，软件有个功能是绕着线段某个端点旋转，这条线段的两个端点都不在原点。这种情况要怎么计算旋转后的坐标。如下图所示
即，令线段AB绕着A点逆时针旋转 θ \theta θ度至C点，求C点的坐标。
我没有开发过这类软件，如果说的不对或者还有更好的方法，欢迎朋友们在评论区留言。我是这样想的，首先，用终点坐标B减去起点坐标A，得到有向线段 A B ⃗ \vec{AB} AB的向量表示 ( 1 , 1 ) T (1, 1)^T (1,1)T；然后，用式(2)中的旋转矩阵左乘向量，如式(4)所示
[ cos θ − sin θ sin θ cos θ ] [ 1 1 ] = [ cos θ − sin θ cos θ + sin θ ] (4) \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \cos\theta - \sin\theta \\ \cos\theta + \sin\theta \end{bmatrix} \tag{4} [cosθsinθ−sinθcosθ][11]=[cosθ−sinθcosθ+sinθ](4)
最后，将式(4)右侧的向量加上A点坐标，即
[ cos θ − sin θ + 1 cos θ + sin θ + 1 ] (5) \begin{bmatrix} \cos\theta - \sin\theta + 1 \\ \cos\theta + \sin\theta + 1 \end{bmatrix} \tag{5} [cosθ−sinθ+1cosθ+sinθ+1](5)
式(5)中的向量就是C点坐标。
2 伸缩矩阵
假设有一条有向线段 A B ⃗ \vec{AB} AB沿着B点方向延长了 A B ⃗ \vec{AB} AB一倍的长度至点C，如下图所示，求C点坐标。
与上述方法一样，我们先将终点B的坐标减去起点A的坐标，得到有向线段 A B ⃗ \vec{AB} AB的向量表示。然后，用这个矩阵 [ 2 0 0 1 ] \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} [2001]左乘向量，即
[ 2 0 0 1 ] [ 1 0 ] = [ 2 0 ] (5) \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\0 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \end{bmatrix} \tag{5} [2001][10]=[20](5)
最后，将式(5)右侧的向量加上A点坐标，得到C点坐标 ( 3 , 1 ) T (3, 1)^T (3,1)T。左乘的这个矩阵给它一个名称，叫作伸缩矩阵。
这里我们也可以不用伸缩矩阵。因为是改变向量的长度，方向不变，所以还有一种更简单的方法就是直接用2乘以向量 [ 1 , 0 ] T [1, 0]^T [1,0]T，即
2 ⋅ [ 1 0 ] = [ 2 0 ] 2 \cdot \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \end{bmatrix} 2⋅[10]=[20]
3 镜像矩阵
假设，如下图所示，有一个平行四边形ABCD要沿着直线 y = x y=x y=x翻转，翻转后的平行四边形为$A^\prime D^\prime C^\prime B^\prime $。
假设上图中点A、B、C、D的坐标分别为 ( a 1 , a 2 ) , ( b 1 , b 2 ) , ( c 1 , c 2 ) , ( d 1 , d 2 ) (a_1, a_2), (b_1, b_2), (c_1, c_2), (d_1, d_2) (a1,a2),(b1,b2),(c1,c2),(d1,d2)，现在要求点 A ′ A^\prime A′、 B ′ B^\prime B′、 C ′ C^\prime C′、 D ′ D^\prime D′的坐标。
因为两个平行四边形的四个点关于 y = x y=x y=x对称，所以，各点的 x , y x,y x,y坐标对调一下就是镜像点的坐标。因此，可用矩阵
[ 0 1 1 0 ] \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} [0110]左乘点A、B、C、D的坐标，得到点 A ′ A^\prime A′、 B ′ B^\prime B′、 C ′ C^\prime C′、 D ′ D^\prime D′坐标。
[ 0 1 1 0 ] [ a 1 b 1 c 1 d 1 a 2 b 2 c 2 d 2 ] = [ a 2 b 2 c 2 d 2 a 1 b 1 c 1 d 1 ] (6) \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_1 & b_1 & c_1 & d_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 & d_2 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} a_2 & b_2 & c_2 & d_2 \\ a_1 & b_1 & c_1 & d_1 \end{bmatrix} \tag{6} [0110][a1a2b1b2c1c2d1d2]=[a2a1b2b1c2c1d2d1](6)
上式中，矩阵 [ 0 1 1 0 ] \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} [0110]能使点A、B、C、D做关于直线 y = x y=x y=x的镜像变换，所以可称它为镜像矩阵。
4 矩阵函数
最后说说关于矩阵函数这个概念。我们通常用 A x = b \bold{Ax}=\bold{b} Ax=b表示线性方程组，如果把等号右侧的 b \bold{b} b替换为 y \bold{y} y，即 y = A x \bold{y}=\bold{Ax} y=Ax，它就是矩阵函数。式中的 x \bold{x} x和 y \bold{y} y代表一组自变量和一组因变量，自变量与因变量之间的关系蕴含在 A \bold{A} A里边。下面，我们一起看看矩阵 A \bold{A} A、自变量 x \bold{x} x、因变量 y \bold{y} y之间具体是什么关系。
A = [ a 11 a 12 a 21 a 22 ] , x = [ x 1 x 2 ] , y = [ y 1 y 2 ] \bold{A}=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix},\bold{x}=\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}, \bold{y}=\begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \end{bmatrix} A=[a11a21a12a22],x=[x1x2],y=[y1y2]
[ y 1 y 2 ] = [ a 11 a 12 a 21 a 22 ] [ x 1 x 2 ] (7) \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} \tag{7} [y1y2]=[a11a21a12a22][x1x2](7)
即，
{ y 1 = a 11 x 1 + a 12 x 2 y 2 = a 21 x 1 + a 22 x 2 (8) \begin{equation} \left\{ \begin{array}{c} y_1=a_{11}x_1 + a_{12}x_2 \\ y_2=a_{21}x_1 + a_{22}x_2 \end{array} \right. \end{equation} \tag{8} {y1=a11x1+a12x2y2=a21x1+a22x2(8)
从式(8)可以看出，因变量 y 1 y_1 y1与自变量 x 1 , x 2 x_1, x_2 x1,x2都有关系，也就是 y 1 y_1 y1与所有的自变量都有关系。同样的， y 2 y_2 y2与所有的自变量都有关系。但是 y 1 y_1 y1只与矩阵 A \bold{A} A的第一行有关系， y 2 y_2 y2只与矩阵 A \bold{A} A的第二行有关系。
假设某椭圆 E \mathfrak{E} E的参数方程为 { x = 2 cos α y = sin α , 0 ⩽ α ⩽ 2 π \begin{cases} x=2\cos \alpha \\ y=\sin \alpha \end{cases}, \quad 0\leqslant \alpha \leqslant 2\pi {x=2cosαy=sinα,0⩽α⩽2π.
令式(7)中的 x 1 = 2 cos α , x 2 = sin α x_1=2\cos\alpha, \quad x_2=\sin \alpha x1=2cosα,x2=sinα，再令式(7)中的 [ a 11 a 12 a 21 a 22 ] \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} [a11a21a12a22]等于式(2)中的旋转矩阵，即
[ a 11 a 12 a 21 a 22 ] = [ cos θ − sin θ sin θ cos θ ] \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} [a11a21a12a22]=[cosθsinθ−sinθcosθ]
则有
[ y 1 y 2 ] = [ cos θ − sin θ sin θ cos θ ] [ 2 cos α sin α ] , 0 ⩽ α ⩽ 2 π (9) \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2\cos \alpha \\ \sin \alpha \end{bmatrix}, \qquad 0 \leqslant \alpha \leqslant 2\pi \tag{9} [y1y2]=[cosθsinθ−sinθcosθ][2cosαsinα],0⩽α⩽2π(9)
那么，式(9)所示的矩阵函数表示的是椭圆 E \mathfrak{E} E逆时针旋转 θ \theta θ度后的椭圆。
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