大数据-208 数据挖掘机器学习理论 - 岭回归和 Lasso 算法原理

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章节内容

上节我们完成了如下的内容：

多重共线性矩阵满秩
线性回归算法

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岭回归和Lasso

岭回归（Ridge Regression）和Lasso（Least Absolute Shrinkage and Selection Operator）是两种用于处理多重共线性问题的正则化回归方法。这两种方法通过添加正则化项（或惩罚项）来约束模型，使其在变量多、数据噪声大或者存在多重共线性（即自变量之间高度相关）的情况下，能够提高模型的泛化能力和预测效果。

岭回归的原理

岭回归是在普通线性回归的基础上加入了L2正则化项，使得模型更鲁棒。具体来说，岭回归的损失函数是普通最小二乘法的损失函数与一个L2正则化项之和。该正则化项是回归系数的平方和可以在极小化损失的同时，约束回归系数的大小，避免其过大从而导致模型过拟合。

Lasso回归的原理

Lasso回归与岭回归的主要区别在于它加入的是L1正则化项，即系数的绝对值之和Lasso回归的正则化项会迫使某些系数变为0，因此它可以在进行预测的同时，自动进行变量筛选，较岭回归更能减少特征数。

解决方式

解决共线性的问题的方法主要有以下三种：

其一是在建模之前对各特征进行相关性检验，若存在多重共线性，则可以考虑进一步对数据集进行 SVD 分解或 PCA 主成分分析，在 SVD 或 PCA 执行的过程中会对数据集进行正交交换，最终所得数据集各列将不存在任务任何相关性。当然此举会对数据集的结构进行改变，且各列特征变得不可解释。
其二则是采用逐步回归的方法，以此选取对因变量解释力度最强的自变量，同时对于存在相关性的自变量加上一个惩罚因子，削弱其对因变量的解释力度，当然该方法不能完全避免多重共线性的存在，但能够绕过最小二乘法对共线性较为敏感的缺陷，构建线性回归模型。
其三则是在原有算法基础上进行修改，放弃对线性方程参数无偏估计的苛刻条件，使其能够容忍特征列存在多重共线性的情况，并且能够顺利建模，且尽可能的保证 SSE 取得最小值。

通常来说，能够利用一个算法解决的问题尽量不用多个算的组合来解决，因此此处我们主要考虑后两个方案，其中逐步回归我们将放在线性回归的最后一部分进行讲解，而第三个解决方案，则是我们接下来需要详细讨论的岭回归算法和 Lasso 算法。

岭回归和Lasso回归在加入正则化项的方式上有所不同，从而影响模型的选择和应用。岭回归更适合用于避免系数过大而导致的过拟合，而Lasso在特征选择方面更有优势，因此通常在高维数据中表现更佳。在实际应用中，可以通过交叉验证来选择最适合的正则化参数并在岭回归和Lasso之间做出选择，或者结合两者（Elastic Net）以获得更好的模型效果。

请添加图片描述

岭回归

基本原理

岭回归算法实际上是针对线性回归算法局限性的一个改进类算法，优化目的是解决系数矩阵XTX不可逆的问题，客观上同时也起到了克服数据集存在多重共线性的情况，而岭回归的做法也非常简单，就是在原方程系数计算公式中添加了一个扰动项，原先无法求广义逆的情况变成了求出其广义逆，使得问题稳定并得以求解。
岭回归在多元线性回归的损失函数上加上了正则项，表达为系数 w 的 L2 范式（即系数 w 的平方项）乘以正则化系数 λ，岭回归的损失函数的完整表达式写作：

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我们仍然可以使用最小二乘法求解，可得：

此举看似简单，实则非常精妙，用一个满秩的对角矩阵和原系数矩阵计算进行相加的，实际上起到了两个作用，其一是使得最终运算结果（XTX + λI）满秩，即降低了原数据集特征列的共线性影响，其二也相当于对所有的特征列的因变量解释程度进行了惩罚，且λ越大惩罚作用越强。

现在，只要（XTX + λI）存在逆矩阵，我们就可以求解。一个矩阵存在逆矩阵的充分必要条件是这个矩阵的行列式不为0。假设原本的特征矩阵中存在共线性，则我们的方阵 XTX 就会不满秩（存在完全为零的行）。

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此时方阵 XTX 就是没有逆的，最小二乘法就无法使用，加上了λI 之后，我们的矩阵就大不一样了：

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最后得到的行列式还是一个梯形行列式，然而它已经不存在全 0 行或者全 0 列了，除非：

λ 等于 0
原本的矩阵 XTX中存在对焦线上元素为 -λ，其他元素都为0 的行或者列

否则矩阵 XTX+λI 永远都是满秩，在 sklearn 中，λ的值我们可以自由的控制，因此我们可以让它不为 0，比避免第一种情况。而第二种情况，如果我们发现某个λ的取值下模型无法求解，那我们只需要更换一个λ的取值就好了，也可以顺利避免。也就是说，矩阵的逆永远存在，有这个保障，我们的 w 就可以写作：
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如此，正则化系数λ就避免了精确相关关系带来的影响，至少最小二乘法在λ存在的情况下是一定可以使用。对于存在高度相关关系的矩阵，我们也可以通过调大λ，来让 XTX+λI 矩阵的行列式变大，从而让逆矩阵变小，以此控制参数向量 w 的偏移。当λ越大，模型越不容易受到共线性的影响。

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Lasso

基本原理

在岭回归中，对自变量系数进行平方和处理也被称做 L2 正则化，由于此原因，岭回归中自变量系数虽然会很快衰减，但很难归为零，且窜在共线性的时候衰减过程也并非严格递减，这就是为何岭回归能够建模、判断共线性，但很难进行变量筛选的原因。为了弥补岭回归在这方面的不足，Tibshirani（1996）提出了 Lasso（The Least Absolute Shrinkage and Selectiontorperator）算法，将岭回归的损失函数中的自变量系数 L2 正则化修改为 L1 正则化，即 Lasso 回归损失函数为：
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我们来看看 Lasso 的计算过程，当我们使用最小二乘法来求解 Lasso 中参数，我们依然对损失函数进行求导：

现在问题又回到了要求 XTX 的逆必须存在，在岭回归中，我们通过正则化系数λ能够向方阵 XTX 加上一个单位矩阵，以此来防止方阵 XTX 的行列式为 0，而现在 L1 范式所带的正则项λ在求导之后并不带有w 这个项，因此它无法对 XTX 造成任何影响。
也就是说，Lasso 无法解决特征之间精确相关的问题，当我们使用最小二乘法求解线性回归时，如果线性回归无解或者报除零的错误，换 Lasso 不能解决任何问题。
不过，在现实中我们其实会比较少遇到精确相关的多重共线性问题，大部分多重共线性问题应该时高度相关，而如果我们假设方阵 XTX 的逆是一定存在的，那我们可以有：