数学二

suhan, 2024.10

一、函数

❗1.极限

可用方法：

1. 两个基本极限
2. 洛必达法则
3. 等价无穷小（x→0）
4. 上下同除最大变量(无穷大)（x→∞）
5. 泰勒公式
6. 拉格朗日中值定理 p21
7. 夹逼法则
8. 定积分定义 p19
9. 单调有界准则

【注意】从负方向趋近于1，那么实际上就是比1小；从正方向趋近于1，那么实际上就是比1大。
$$\begin{gathered} \underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{1}{x-1}=+\infty \\ \underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{1}{x-1}=-\infty \end{gathered}$$
$e^{\infty }\ne \infty$ 因为：
$$\begin{gathered} e^{+\infty }=+\infty \\ {e}^{-\infty }=0 \end{gathered}$$
同理：
$$\begin{gathered} \arctan (+\infty )=\frac{\pi }{2} \\ \arctan (-\infty )=-\frac{\pi }{2} \end{gathered}$$

1.1求常见极限

1. 首先，运用极限的运算法则（四则运算，连续函数的极限，复合函数的极限），确定极限是不是未定式极限。
2. 两种基本的未定式极限是 $\frac{0}{0}$ 型 和 $\frac{\infty }{\infty }$ 型，这两种情形一般可以用洛必达法则来求。
3. 其它未定式极限（$0\cdot \infty ，\infty -\infty ，1^{\infty }，0^0，{\infty }^0$），要先化成上面的两种基本情形来求，然后用洛必达法则或者其它方法来求。

常用方法：

1. 洛必达法则
2. 等价无穷小
3. 泰勒公式

【技巧】出现函数作为次方时候，可以提取一个同类型的到括号外面，构建出 $(a^{\psi }-a^{\varphi })=a^{\varphi }(a^{\psi -\varphi }-1)$. 例如p20

1.2求数列极限

数列不连续，所有不可以直接使用洛必达法则，要先把不连续的数列变成连续的函数，使其可导。

【技巧】可以把最大无穷大的拿到括号外面来，让括号里面出现 $\frac{1}{\infty }$ 的形式。

1.2.1 n项和数列极限

1. 夹逼法则

2. 定积分定义 p19

   前两者也会先用夹逼法则，再用定积分定义。

3. 级数求和（数一三）

1.2.2 n项连乘数列极限

p33（《辅导讲义》）

1.2.3 递推关系定义的数列极限

p34

1.3确定极限式中的参数

可提出非零极限因子。分别先求a，再求b。

【技巧】当有$x\to -\infty$那么要提$-x$；不想提$-x$，就要令$x=-t$，改变符号。

p38

1.4无穷小量阶的比较

比较两个无穷小等于 $\frac{0}{0}$ 型的极限。所以常用方法：

1. 洛必达法则
2. 等价无穷小
3. 泰勒公式
4. 变化率

当然，最重要的是背的等价无穷小转换。

【技巧】只要有 x 在幂次方，例如：
$$(1+m{)}^x-1$$
那么就可以使用 $e^x-1\sim x$ 和 $\ln (1+x)\sim x$：
$$e^{x\ln (1+m)}-1\sim e^{x\cdot m}-1\sim xm$$

2.连续

连续：左右连续且相等，则函数连续。四则运算不影响连续性。

不连续那么中断：4类间断点。

初等函数在定义域都连续。

复合函数：

• 内外都连续，则复合函数连续；
• 内外都间断，则复合函数间断；
• 内外不一样，那么复合函数不一定。

2.1判断是否连续，不连续则判断间断点类型

把疑似间断点带进去，求极限。

2.2证明题

1. 有界性定理
2. 介值定理
3. 最值定理
4. 零点定理

二、一元函数微分学

1.导数、微分的定义

常考3种形式：

1.1导数定义求极限

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}{f}^{\prime }(x_0)& \stackrel{增量}{=}\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)- \\ f(x_0)}{\Delta x}\\ & \\ & =\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)- \\ f(x_0)}{x- \\ {x}_0}\end{array} \end{gathered}$$

特别的，当 $f(0)=0$，则：
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{x}=f^{\prime }(0)$$

求$f^{\prime }(x_0)$：
$$\begin{gathered} \underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+a \\ \Delta x)- \\ f(x_0+b \\ \Delta x)}{c \\ \Delta x}=\frac{a- \\ b}{c}\cdot f^{\prime }(x_0) \end{gathered}$$
【技巧】

1. 极限（可导）存在，那么如果 Δx→0，则 Δy→0 才可以连续。
2. 如果导数在一个区间有界，那么原函数也在这个区间有界.

1.2导数定义求导数

连乘的导数，可以设后面一段有规律的连乘为 g(x).

1.3导数定义判定可导性

【频繁考点】

• 1.3.1

$$f^{\prime }(0)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x}$$

判断是否可导，就是判断这个极限是否存在.

就是看两个方向的极限是否相等：
$$\begin{gathered} f_{+}^{\prime }(0)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(0+x)-f(0)}{x} \\ {f}_{-}^{\prime }(0)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{f(0)-f(0-x)}{x} \end{gathered}$$

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• 1.3.2极限（可导）存在，那么如果 Δx→0，则 Δy→0 才可以连续.

判断下面这个类型是否可导：
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(\varphi (x))}{\psi (x)}$$
两个条件：

1. $\varphi (x)$ 要满足2点：
   1. $\varphi (x)\to 0(是正负0都趋近)$
   2. $\varphi (x)\ne 0$
2. $\varphi (x)$ 与 $\psi (x)$ 同阶.

---

• 1.3.3

当出现 $f(x)=g(x)|x-a|$ 类型，问 $f(x)$ 可导？

因为左导=右导，那么 $f(a)$ 可导的充要条件就是：

$g(a)=-g(a)$，即为$g(a)=0$.

p57

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• 1.3.4

若 $f(x)\ne 0$，则 $|f(x)|$ 在 $x_0$ 可导 <=> $f(x)$ 在 $x_0$ 可导.

若 $f(x)=0$，则 $|f(x)|$ 在 $x_0$ 可导 <=> $f^{\prime }(x)=0$.

必须为 0，如果 $f^{\prime }(x)\ne 0$ 那么 $|f(x)|$ 就不可导.

2.导数几何意义

几何意义：导数 $f^{\prime }(x_0)$ 表示该点的斜率，切线。可导就说明有切线。

切线 $f^{\prime }(x_0)$：$y-y_0=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$

法线 $k$：因为 切线×法线 = -1，$k=-\frac{1}{f^{\prime }(x_0)}$

在切点处，相切的函数x, y相等，切线相等。

❗3.求导

3.1复合函数

原函数是偶函数，那导函数是奇函数；原函数是奇函数，那导函数是偶函数。

奇函数 $f^{\prime }(0)=0$.

3.2隐函数

$$F(x,y)=0$$

有两种方法：

1. 等式两边同时对自变量x求导.

   【注意】这种方法，y 是关于 x 的中间变量，所以 y 也要作为复合函数求导.

   【技巧】使用对数求导法简化乘除为加减形式（因为加减求导比乘除简单）.

2. 多元函数微分学，隐函数求导法：

   【注意】这种方法，y 和 x 就是独立变量了，所以在 Fx 与 Fy 中单独求导。
   $$\frac{dy}{dx}=-\frac{F^{\prime }x}{F^{\prime }y}$$

3.3参数方程

$\{\begin{array}{l}x=\varphi (t)\\ y=\psi (t)\end{array}$.一阶导：
$$\frac{dy}{dx}=\frac{{\psi }^{\prime }(t)}{{\varphi }^{\prime }(t)}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$$
二阶导：
$$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{d}{dt}\cdot (\frac{dy}{dx})\cdot \frac{1}{\frac{dx}{dt}}$$

3.4反函数

反函数 $x=f^{-1}(y)$ 的导数 = 直接函数 $y=f(x)$ 的导数的倒数。
$$\begin{gathered} 令x=f^{-1}(y)=\varphi (x) \\ {\varphi }^{\prime }(x)=\frac{1}{f^{\prime }(x)} \end{gathered}$$

3.5对数求导法

两边同时取对数，适用于幂指函数、连乘除、开方、乘方。

3.6高阶导数

1. 公式
2. 归纳
3. 泰勒级数

一些公式：
$$\begin{gathered} (u\cdot v{)}^{(n)}=\sum _{k=0}^n{C}_n^k\cdot u^{(k)}\cdot v^{(n-k)} \\ (u+v{)}^{(n)}=u^{(n)}+v^{(n)} \end{gathered}$$

4.导数应用

1. 罗尔定理

2. 拉格朗日中值定理

3. 柯西定理

4.1单调性、极值、最值

驻点：$f^{\prime }(x)=0$

$f^{\prime }(x)>0$，原函数单增 $f(x)\uparrow$

驻点就是临界点，极值点不一定是驻点，驻点不一定是极值点，eg. $y=x^3$

极值点也可能是不可导点，eg. $y=|x|$

拐点：$f^{\prime \prime }(x)=0$

如果驻点有二阶导数，那么：

$f^{\prime \prime }(x)>0$，凹函数，有极小值；

$f^{\prime \prime }(x)<0$，凸函数，有极大值。

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4.1.1求极值

步骤：

1. 确定定义域；

2. 求导找驻点、不可导点；

3. 判断极大值、极小值；

   1. 根据左右单调性判断，可以画图。

   2. 根据：

      $f^{\prime \prime }(x)>0$，凹函数，有极小值；

      $f^{\prime \prime }(x)<0$，凸函数，有极大值。

4.1.2求最值

步骤：

1. 求出极值；
2. 求两个端点的值；
3. 比较极值和端点值。

4.2曲线凹凸性、拐点、渐近线、曲率

4.2.1渐近线

• 水平渐近线

  有2条，趋近 $+\infty$ 和 $-\infty$
  $$\begin{gathered} \underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=A \\ 水平渐近线:y=A \end{gathered}$$

• 垂直渐近线
  $$\begin{gathered} \underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=\infty \\ 垂直渐近线:x=x_0 \end{gathered}$$

• 斜渐近线
  $$\begin{gathered} \underset{x\to \infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=a,\underset{x\to \infty }{\lim }(f(x)-ax)=b \\ 斜渐近线:y=ax+b \end{gathered}$$

【注意】水平渐近线和斜渐近线，不能共存，因为前者斜率为0，后者斜率为a.

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• 步骤：

1. 先看垂直渐近线。找无定义的点。
2. 再看水平渐近线和斜渐近线

4.2.2曲率

• 直角坐标系 $y=y(x)$.
  $$曲率K=\frac{|y^{\prime \prime }|}{(1+y^{\prime 2}{)}^{\frac{3}{2}}}$$

• 参数方程 $\{\begin{array}{l}x=x(t)\\ y=y(t)\end{array}$.
  $$曲率K=\frac{|y^{\prime \prime }{x}^{\prime }-y^{\prime }{x}^{\prime \prime }|}{(x^{\prime 2}+y^{\prime 2}{)}^{\frac{3}{2}}}$$

得到曲率之后，可以求曲率半径R
$$曲率半径R=\frac{1}{K}$$
根据谁不是参数，把半径放到谁那里
$$\begin{gathered} eg.通过关于x的方程f(x)得到R=\frac{1}{2} \\ 曲率圆方程:x^2+(y-\frac{1}{2}{)}^2=\frac{1}{4} \end{gathered}$$

4.3方程的根的存在性和个数

类型：

1. 讨论有没有零点（根）
   • 零点定理
   • 罗尔定理
2. 根的个数
   • 单调性
   • 罗尔定理推论：在区间$I$上$f^{(n)}(x)\ne 0$，则方程 $f(x)$ 在该区间最多有 n 个实根。

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【技巧】当有参数（例如a），把参数分离出来。p77

4.4证明：不等式

• 步骤：

1. 用大的函数减去小的函数，定义为新函数
2. 证明这个函数大于0成立，就是证明不等式

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常用方法：

1. 单调性
2. 最大最小值
3. 拉格朗日中值定理
4. 泰勒公式
5. 凹凸性

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【技巧】当不等式有两个参数 a, b，那么可以把一个参数令为 $x$，把问题转化成一个未知数、一个参数的函数不等式。

4.5证明：微分中值定理

（重难点）

【技巧】

1. 题干给出的条件要都用上，少用一般缺点。
2. 证明在（0，1）上存在，那么如果有c∈(0, 1)，那么在（0，c）上存在也可以。

4.5.1证明∃ξ∈(a,b)，使得F[ξ, f(ξ), f’(ξ)]=0成立

p81

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• 步骤：

1. 构造辅助函数
   • 分析法（还原法）
   • 微分方程法：一般是解一个一阶微分方程
2. 罗尔定理

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另一种变式：$F[\xi ,f(\xi ),f^{\prime }(\xi )]=0$ 中没有导数：$F[\xi ,f(\xi )]=0$

1. 零点定理，异号之间，存在 $F(\xi )=0$.
2. 拉格朗日中值定理
3. 罗尔定理推论

4.5.2证明存在两个中值点η,ξ∈(a,b)，使得F[ξ, f(ξ), f’(ξ), η, f(η), f’(η)]=0成立

p86

函数里面的 $f^{\prime }(\xi ),f^{\prime }(\eta )$ 必须同时出现，才是双中值点。

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• 步骤：

1. 把含有的 $f^{\prime }(\xi ),f^{\prime }(\eta )$ 分别放到两端

2. 分为2种情况：

   1. 不要求 $\xi \ne \eta$，在同一区间 $[a,b]$ 中，根据两端的导数，分别使用两次中值定理：

      • 拉格朗日中值定理
      • 柯西中值定理

   2. 要求 $\xi \ne \eta$（两个不同的点），把区间 $[a,b]$ 分成两个子区间 $[a,\xi ],[\xi ,b]$，根据两端的导数，分别在两个子区间内使用两次拉格朗日中值定理.

      其中，关键点在于$\xi$的选取，使用“逆推法”。（介值定理）p88

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4.5.3证明∃ξ∈(a,b)，使得F[ξ, f⁽ⁿ⁾(ξ)]≥0成立

含有n阶导数。使用：

1. 带拉格朗日余项的泰勒公式；
2. $x_0$ 选择题目中提供函数值、导数值信息多的点。

三、一元函数积分学

1.不定积分

【注意】同一个不定积分，得到的结果不一定相同。

方法：

1. 一类换元（凑微分法）

2. 二类换元（去根号）

3. 分部积分法：用于两类不同函数的相乘
   $$\int udv=uv-\int vdu$$
   优先放到 d 后面的函数类型（优先级高到低）：

   • 三指幂对反
   • 其中 $e^x$ 和三角函数一样优先

❗2.定积分

【注意】定积分 就是 常数。

方法：

1. 积分中值定理（微分中值定理）p114
   $${\int }_a^{b}f(x)dx=f(\xi )(b-a)=F^{\prime }(\xi )(b-a)=F(b)-F(a)$$

   延伸：
   $${\int }_a^{b}f(x)g(x)dx=f(\xi ){\int }_a^{b}g(x)dx$$

2. 牛顿-莱布尼茨公式

3. 换元积分法

4. 分部积分法

   常搭配换元。p108

5. 奇偶性
   $${\int }_{-a}^{a}f(x)dx=\{\begin{array}{ll}0,& f(x)是奇函数\\ 2{\int }_0^{a}f(x)dx,& f(x)是偶函数\end{array}$$

6. 周期性
   $$\begin{gathered} {\int }_a^{a+T}f(x)dx={\int }_0^{T}f(x)dx \\ {\int }_0^{kT}f(x)dx=k{\int }_0^{T}f(x)dx \end{gathered}$$

7. 华里士公式（点火公式）

倒计时从下面开始。
$$\begin{gathered} {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{n}xdx={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{n}xdx= \\ \{\begin{array}{ll}\frac{n-1}{n}\cdot \frac{n-3}{n-2}...\frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{2},& n为偶数\\ \frac{n-1}{n}\cdot \frac{n-3}{n-2}...\frac{2}{3}\cdot 1,& n为大于1的奇数\end{array} \end{gathered}$$

1. 其他公式
   $$\begin{gathered} {\int }_0^{\pi }f(\sin x)dx=2{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(\sin x)dx \\ {\int }_0^{\pi }xf(\sin x)dx=\frac{\pi }{2}{\int }_0^{\pi }f(\sin x)dx \end{gathered}$$

2.1定积分概念、性质、几何意义

方法：

1. 积分中值定理（微分中值定理）
2. 对数求导法
3. 夹逼定理（放大放小）

2.2定积分计算

1. 定积分几何意义

   • 华里士公式

2. ${\int }_a^{b}f(x)dx\stackrel{x=a+b-t}{=}{\int }_a^{b}f(a+b-t)dt$

   上下限相加，减去t。p110

3. 定积分，看作常数，求导 = 0。p111

2.3变限积分

1. 变上限积分求导：

$$[{\int }_{\varphi (x)}^{\psi (x)}f(t)dt{]}^{\prime }=f(\psi )\cdot {\psi }^{\prime }(x)-f(\varphi )\cdot {\varphi }^{\prime }(x)$$

2. 导函数 $f(x)$ 可积，原函数 $\int f(x)$ 连续。
3. 导函数 $f(x)$ 连续，原函数 $\int f(x)$ 可导（$F^{\prime }(x)=f(x)$）
4. 奇偶性：进行微分、积分后，则奇偶性改变。

$f(x)$ 是导函数，$F(x)$ 是原函数：

• $F(x)\to f(x)$：
  1. $F(x)$ 为偶，$f(x)$ 为奇；
  2. $F(x)$ 为奇，$f(x)$ 为偶；
  3. $F(x)$ 为周期，$f(x)$ 为周期。
• $f(x)\to F(x)$：只有一个
  1. $f(x)$ 为奇，$F(x)$ 为偶。

5. 导数=0，原函数是常数。

2.4积分不等式

题型：

1. 比较积分大小顺序

   3种方法：

   1. 基本不等式
   2. 带点进去，比较大小
   3. 使 $x\to 0$，然后使用等价无穷小

2. 证明不等式（难）

   1. 令 $F(x)=大的-小的$，即证 $F(x)>0$，变成 二、4.4函数不等式。
   2. 变上限积分

方法：

1. 定积分不等式性质

   1. $x$ 在 [a,b] 上有 $f(x)\le g(x)$，则：

      ${\int }_a^{b}f(x)dx\le {\int }_a^{b}g(x)dx$

   2. （估值定理）$f(x)$ 在 [a,b] 上连续，其中有 $M,m$ 是 [a,b] 上的最大值、最小值，则：

      $m(b-a)\le {\int }_a^{b}f(x)dx\le M(b-a)$

   3. ${\int }_a^{b}f(x)dx\le |{\int }_a^{b}f(x)dx|\le {\int }_a^b|f(x)|dx$

2. 变量代换

3. 积分中值定理

   ${\int }_a^{b}f(x)dx=f(\xi )(b-a)$

4. 变上限积分（出现函数单调时常用）p121

   通常会给出 $f(0)=0$，例如证明里面有一个 ${\int }_0^{1}f(x)$，根据积分中值定理，则：
   $$\begin{gathered} {\int }_0^x{f}^{\prime }(x)dx=f(x)-f(0) \\ f(x)={\int }_0^x{f}^{\prime }(x)dx \end{gathered}$$

5. 柯西积分不等式（出现平方）p121
   $$[{\int }_a^{b}f(x)g(x)dx{]}^2\le {\int }_a^b{f}^2(x)dx\cdot {\int }_a^b{g}^2(x)dx$$

6. 基本不等式

$$\begin{gathered} \sin x<x<\tan x(0<x<\frac{\pi }{2}) \\ \frac{x}{1+x}<\ln (1+x)<x(x>0) \end{gathered}$$

3.反常积分

分为两类：

1. 无穷区间上的反常积分
   $${\int }_a^{+\infty }f(x)dx=\underset{b\to +\infty }{\lim }{\int }_a^{b}f(x)dx$$
   当此时极限存在，那么收敛；若不存在（极限积分是无穷or不是常数），则发散。
   $${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)dx={\int }_{-\infty }^{0}f(x)dx+{\int }_0^{+\infty }f(x)dx\text{\hspace{1em}(3-3)}$$
   当上下限都是无穷，那么拆成两个同时都收敛，原积分才收敛。

2. 无界函数的反常积

   若 a 为函数的瑕点（无界点），无界函数的反常积分也称为瑕积分。
   $${\int }_a^{b}f(x)dx=\underset{t\to a}{\lim }{\int }_t^{b}f(x)dx$$
   其余同 无穷区间上的反常积分 完全对应。

---

3.1反常积分敛散性

方法（级数）：

1. 比较判别法：大收小收
2. 比较判别法极限形式
3. P级数（无穷区间、无界函数两种不一样）
   1. 趋近$\infty$，${\int }_a^{+\infty }\frac{1}{x^p}dx$，$p>1$收敛；
   2. 趋近一个点，${\int }_a^b\frac{1}{(x-a{)}^p}dx$，$p<1$收敛。（这里x-a是趋近b，也可以b-x趋近a）

一些总结：
$$\begin{array}{rl}{\int }_0^1\frac{1}{x^a(1-x{)}^b}dx,& a<1,b<1收敛\\ & \\ 因为\ln x\sim x-1,除下来,& 所以下面就变成了b-1\\ {\int }_0^1\frac{\ln x}{x^a(1-x{)}^b}dx,& a<1,b<2收敛\\ & \\ 因为\ln (1-x)\sim x,除下来,& 所以下面就变成了a-1\\ {\int }_0^1\frac{\ln (1-x)}{x^a(1-x{)}^b}dx,& a<2,b<1收敛\\ & \\ {\int }_a^{+\infty }\frac{\ln x}{x^p}dx,& p>1收敛\end{array}$$
【技巧】一般求极限都是一个极限，也就是积分上下有一个无界、一个有界的，但是如果上下都无界，那么就需要把它们分成两个积分极限。如公式3-3。

3.2反常积分计算

方法：

1. 换元
2. 分部积分

4.定积分应用

4.1求面积 S

二重积分

1. 直角坐标
2. 参数方程
3. 极坐标

4.2求体积 V

1. 旋转体 的体积 p127

   • 二重积分

     （p130例题3）

     • 两个公式

   • 微元法

2. 已知横截面S 的体积
   $$V=\int S(x)dx$$

4.3弧长 s

1. 直角坐标

   $s=\int \sqrt{1+y^{\prime 2}(x)}dx$

2. 参数方程
   $$s=\int \sqrt{x^{\prime 2}(t)+y^{\prime 2}(t)}dt$$

3. 极坐标

   $s=\int \sqrt{r^2(\theta )+r^{\prime 2}(\theta )}d\theta$

4.4旋转体的侧面积 S

$$\begin{gathered} S=2\pi {\int }_a^{b}f(x)ds \\ 也就是 \\ S=2\pi {\int }_a^{b}f(x)(弧长s)dx \\ e.g. \\ S=2\pi {\int }_a^{b}f(x)\sqrt{1+y^{\prime 2}(x)}dx \end{gathered}$$

4.5物理问题

1. 液体压力

   压强$P=\rho gh$

   压强$P=\frac{压力F}{面积S}$

2. 变力沿直线所作的功

   功$W=Fx$

四、常微分方程

1.微分方程

1. 可分离变量的微分方程
   $$g(y)dy=f(x)dx$$
   当出现 $y^2$ 时，一般考虑可分离。

2. 齐次 微分方程
   $$y^{\prime }=\frac{dy}{dx}=f(\frac{y}{x})$$

3. 一阶 线性 微分方程
   $$y^{\prime }+P(x)y=Q(x)$$

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【常见题型、技巧】

1. 上下对调。当如 $y^{\prime }=\frac{1}{xy+y^3}$，式子在分母。对调之后，$\frac{dy}{dx}变\frac{dx}{dy}$，原本关于x的方程变为关于y的。
2. 变量代换。当出现如 $cos(x+y)或(x+y{)}^2$，这种没法分离的，设 $u=x+y$，利用齐次微分方程的思想。

2.高阶方程降阶

令 $y^{\prime }=p$

p138

3.高阶微分方程

联系：线性代数 - 线性方程组

1. 二阶 常系数 齐次 微分方程
   $$y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=0$$

2. 二阶 常系数 非齐次 微分方程
   $$y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=f(x)$$

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【常见题型、技巧】p143

1. $y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=f(x)$ 中的 $f(x)$ 是有多个 $P_m\cdot e^{\lambda x}\cdot \sin \beta x$，把这几部分拆开来看，最后再加起来。

2. （q4）齐次、非齐次的特解、通解：

   齐次解：有多个

   1. 齐次解 = 非齐次特解 - 非齐次特解
   2. 非齐次通解 = 齐次解 + 齐次解 + 非齐次特解
   3. 非齐次通解 = 齐次解 + 非齐次特解

3. （q5）已知非齐次特解，求非齐次方程：

   （步骤）

   1. 用非齐次特解，求两个齐次解，得到特征根 r；

      特征方程：$(r-r_1)(r-r_2)=0$

   2. 根据特征根得到齐次方程；

   3. 把一个非齐次特解带入齐次方程，得到 $f(x)$，得到非齐次方程。

4. （q6）已知非齐次方程（方程给出，但又未知量）一个通解，求方程里面的未知量、非齐次方程通解：

   1. 分析已知的这个“一个解”，根据非齐次通解 = 齐次解 + 齐次解 + 非齐次特解，找出那个是齐次解，找出特征根 r；
   2. 根据特征根得到齐次方程；
   3. 把一个非齐次特解带入齐次方程，得到 $f(x)$，得到非齐次方程；

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4.综合题

4.1积分方程

题目给出一个积分方程：

1. 当有积分号 $\int$，存在式子中，使用两边同时求导，来消去积分，变成微分方程。

   • 当积分不能直接求导时，考虑变量代换。

     一般是 $\int f(u)$，但是这个u不是单个 x，这个时候就把里面内容设为 u，目的是删去 t。

2. 求这个微分方程的通解（含有常数 $C$）。

3. 然后通过上面原式子or求导过程中的式子，带入特殊点，求得通解里面的常数 $C$。

4.2函数方程

1. 导数定义

   $f^{\prime }(x)=\lim \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$

2. 转换成微分方程

五、多元函数微分学

• 重极限
• 连续
• 偏导数
• ❗全微分

1.重极限、连续

二重极限：$\underset{(x,y)\to (x_0,y_0)}{\lim }f(x,y)=A$.

1.1求极限

常用的方法（原理）：

1. 利用极限性质（四则运算法则，夹逼原理）；
2. 消去分母中极限为零的因子（有理化，等价无穷小代换）；
3. 局部有界性
   • 可以在函数中，找到一部分是有界量，那么需要求极限的就是另一部分。p151
   • 无穷小量与有界变量之积仍为无穷小量

1.2证明极限不存在

$$二重极限:\underset{(x,y)\to (x_0,y_0)}{\lim }\frac{x^p\cdot y^q}{x^m+y^n}$$

1. m、n 不全是偶数，极限不存在。
2. 计算 $\frac{p}{m}+\frac{q}{n}$
   • $\frac{p}{m}+\frac{q}{n}>1$，则极限 = 0.
   • $\frac{p}{m}+\frac{q}{n}\le 1$，则极限不存在.

2.偏导数、全微分

2.1偏导数

2.1.1偏导数定义

某一点偏导存在：左右导存在且相等
$$\begin{gathered} \underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x} \\ =\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)}{\Delta y} \end{gathered}$$
【计算技巧】先代后算

先代后求：实际求偏导数时候，通常给出两个变量，然后求一个偏导。那么就可以把不是所求偏导的那个变量先代进去再求，如求 x的偏导 $f_x(0,1)$，可以先把y的值代进去：
$$\frac{\partial f}{\partial x}=f_x^{\prime }(0,1)=\frac{d}{dx}[f(x,1)]{|}_{x=0}$$

2.1.2高阶偏导数

如对 x 求两次偏导：
$$\frac{\partial }{\partial x}(\frac{\partial z}{\partial x})=\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}=f_{xx}(x,y)$$

• 顺序很重要

如：先对x求导，再对y求导。那么合并起来写就是 $\partial x\partial y$，是从左到右依次的。
$$\frac{\partial }{\partial y}(\frac{\partial z}{\partial x})=\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}=f_{xy}(x,y)$$

2.2.全微分

2.2.1全微分判断

全微分存在的条件：

1. $f_x、f_y$两个偏导存在；
2. $f_x、f_y$两个偏导在 $(x_0,y_0)$连续；
   • 可以使用重极限：p155

$$\underset{(\Delta x,\Delta y)\to (x_0,y_0)}{\lim }\frac{\Delta z-f_x^{\prime }\Delta x-f_y^{\prime }\Delta y}{\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2}}=0$$

Δz 则是 z 的变化量，即全增量：$dz=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)$.
$$\underset{(\Delta x,\Delta y)\to (x_0,y_0)}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)-f_x^{\prime }\Delta x-f_y^{\prime }\Delta y}{\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2}}=0$$

2.2.1全微分计算

$$dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy$$

2.3复合函数

1. 复合函数求导法 u、v
   $$\frac{dz}{dx}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{du}{dx}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{dv}{dx}$$

2. 全微分形式的不变性
   $$\begin{gathered} dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy \\ =\frac{\partial z}{\partial u}du+\frac{\partial z}{\partial v}dv \end{gathered}$$

3. 复合函数二阶微分

2.4隐函数

隐函数求导的方法：

1. 公式：隐函数 $F(x,y)=0$：（$F_x^{\prime }$ 是指关于 x 的偏导）
   $$\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x^{\prime }}{F_y^{\prime }}$$

2. 微分形式不变性：

   • 在 $F(x,y,z)=0$ 下：

   $$F_x^{\prime }dx+F_y^{\prime }dy+F_z^{\prime }dz=0$$

   • 在 $F(x,y,z)=u$ 下：
     $$\frac{\partial F}{\partial x}dx+\frac{\partial F}{\partial y}dy+\frac{\partial F}{\partial z}dz=du$$

3. （取对数）等式两边同时求导

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题型（求偏导数与全微分）

1）求一点处的偏导数与全微分

1. 分段函数的分界点，偏导一般用定义；
2. 先代后求。

2）求已给出具体表达式函数的偏导数与全微分

1. 复合函数求偏导法
2. 已知偏导逆运算（倒退回）表达式 p161

3）含有抽象函数的复合函数的偏导数与全微分

1. 抽象复合 $f(f_1,f_2)$ 的导数：

   【注意】题干中有时候也会给出 f_x 就是 f₁，f_y 就是 f₂

$$df=f_1^{\prime }\cdot (f_1里面的函数的关于变量的导数)+f_2^{\prime }\cdot (f_2里面的函数的关于变量的导数)$$

• 例1：$df(x+1,e^x)=f_1^{\prime }(x+1,e^x)+f_2^{\prime }(x+1,e^x)e^x$，或者简写：$df(x+1,e^x)=f_1^{\prime }+e^x{f}_2^{\prime }$.

• 例2：$f(yx,x^2+y^2)$ 的：

  $\frac{\partial z}{\partial x}=y{f}_1^{\prime }+2x{f}_2^{\prime }$.

  • 复合函数二阶微分：可以把 $y{f}_1^{\prime }$ 再看作一个复合函数，而其中的 $f_1^{\prime }$也是一个 $f_1^{\prime }(yx,x^2+y^2)$，所以：

    $\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}=f_1^{\prime }+y(x{f}_{11}^{\prime \prime }+2y{f}_{12}^{\prime \prime })+2x(x{f}_{21}^{\prime \prime }+2y{f}_{22}^{\prime \prime })$.

2. 当遇到要求的二阶偏导是其他非x,y变量，那么直奔主题求目标。p166

4）隐函数的偏导数与全微分

隐函数求导看2.4

1. 当给出多个抽象函数关系，然后求一个偏导（且函数之间变量关系不好找清楚），可以使用微分形式不变性。p170

   步骤：

   1. 把给出的函数关系转换成全微分形式；
   2. 消去不需要的变量。OK

4.极值、最值

多元函数极值、最值

4.1求无条件极值

无条件极值就对应一元函数的极值。

步骤：

1. 确定定义域；
2. 求导找驻点，偏导数为0：$$\{\begin{array}{l}\frac{\partial z}{\partial x}=0\\ \frac{\partial z}{\partial y}=0\end{array}$$，得到可能多个驻点的（x₀，y₀）。
3. 把（x₀，y₀）带入二次偏导，判断极大值、极小值。

令 $f_{xx}^{\prime \prime }=A$，

$f_{xy}^{\prime \prime }=f_{yx}^{\prime \prime }=B$，

$f_{yy}^{\prime \prime }=C$，

• AC - B² > 0：有极值，A > 0：是极小值；A < 0：是极大值。（A>0开口向上）
• AC - B² < 0：无极值；
• AC - B² = 0：不一定，需要讨论。

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1. 隐函数求导，当偏导数式子里面有多个变量，先令其他变量为0或者什么值，求出x，y，然后把x，y代回原方程，得到z（可能有多个z）。p174

4.2条件最值（拉格朗日乘数法）

求最大最小值

1. 只有x,y两个变量，可以使用线性代数求解拉格朗日函数。
2. 目标函数简化。p179
3. 画图找几何解法，例如是一个圆。

六、二重积分

1.计算二重积分

1. 直角坐标

2. 极坐标（圆）

3. 奇偶性 p183

   • x是奇，看区域D是否关于y轴对称，是则D=0；

   • y是奇，看区域D是否关于x轴对称，是则D=0。

   • 奇偶性的平移

     p187方法三、p188方法三

4. 变量对称性：D关于 $y=x$ 对称。

   p184

   • y 和 x 可以对调

   • 适合简化极坐标，然后在使用极坐标

【技巧】

1. 画辅助线，分成多个区域，利用奇偶性，使得积分=0.
2. 当极坐标圆心（a,b）不在xy坐标轴上，考虑使用新的$$\{\begin{array}{l}x-a=r\cos \theta \\ y-b=r\sin \theta \end{array}$$.

【特殊考点】

1. 摆线

2.累次积分：交换次序&计算

就是画出图形，看图形的特点，分区域求积分然后加和。

3.综合、证明

技巧：

1. 先积分x，还是先积分y，可以交换顺序。