巴斯卡三角形(Pascal's Triangle)是一个由数字排列成的三角形,每一行的数字是由前一行的两个相邻数字相加得到的。巴斯卡三角形的每一行对应着二项式展开式的系数。具体如下图所示:
巴斯卡三角形的性质
- 第 0 行只有一个数字 1。
- 第 1 行是 1 1。
- 第 2 行是 1 2 1。
- 第 3 行是 1 3 3 1。
- 第 4 行是 1 4 6 4 1。
- 以此类推。
规律:
三角形中的每个数字是由其上方两个数字之和得来的,边缘的数字始终是 1。
C 语言实现
这里提供两种方式:一种是通过二维数组构建,另一种是通过递推公式计算。
1. 使用二维数组
#include <stdio.h>// 函数用来打印巴斯卡三角形
void printPascal(int n) {// 创建一个二维数组,n 是行数int arr[n][n];// 填充巴斯卡三角形for (int i = 0; i < n; i++) {for (int j = 0; j <= i; j++) {if (j == 0 || j == i) {arr[i][j] = 1; // 边缘的数字是 1} else {arr[i][j] = arr[i-1][j-1] + arr[i-1][j]; // 其他数字是上方两个数字之和}}}// 打印巴斯卡三角形for (int i = 0; i < n; i++) {for (int j = 0; j <= i; j++) {printf("%d ", arr[i][j]);}printf("\n");}
}int main() {int n;printf("Enter the number of rows for Pascal's Triangle: ");scanf("%d", &n);printf("Pascal's Triangle with %d rows:\n", n);printPascal(n);return 0;
}
示例运行:
Enter the number of rows for Pascal's Triangle: 5
Pascal's Triangle with 5 rows:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
2. 使用递推公式(组合数)
巴斯卡三角形中的每个数字实际上就是组合数 C(n,k),其中 C(n,k) 是从 n 个元素中选取 k 个元素的组合数,公式为:
我们可以直接用递推公式来计算每个数字。
#include <stdio.h>// 计算组合数 C(n, k)
int combination(int n, int k) {if (k == 0 || k == n) {return 1;} else {return combination(n - 1, k - 1) + combination(n - 1, k);}
}// 打印巴斯卡三角形
void printPascal(int n) {for (int i = 0; i < n; i++) {for (int j = 0; j <= i; j++) {printf("%d ", combination(i, j)); // 打印每个组合数}printf("\n");}
}int main() {int n;printf("Enter the number of rows for Pascal's Triangle: ");scanf("%d", &n);printf("Pascal's Triangle with %d rows:\n", n);printPascal(n);return 0;
}
示例运行:
Enter the number of rows for Pascal's Triangle: 5 Pascal's Triangle with 5 rows: 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1
解析
- 二维数组方法:通过创建一个二维数组 arr[n][n] 来存储每一行的数字,填充时利用巴斯卡三角形的性质:边缘的数字是 1,其他数字是其上方两个数字的和。
- 组合数方法:通过递归计算组合数来直接打印巴斯卡三角形的每个数字。组合数 C(n,k) 表示从 n 个元素中选择 k 个的不同方式。
选择哪种方法
- 二维数组方法:适合理解和可视化每一行数据的构建过程。它也比递归方法更高效,因为没有重复计算。对于大规模的巴斯卡三角形,推荐使用二维数组方法来提高效率。
- 组合数方法:使用递归计算每个元素的值,可能更适合对数学公式有兴趣的人,但由于递归会有重复计算,因此性能不如直接使用数组。