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信道估计--最小均方误差(MMSE)

news 2025/4/30 8:37:47

前面最小二乘已经讨论过LS 准则在低信噪比情况下会出现噪声放大的情况，所以性能会比较差，工程上一般会进行一次MMSE 滤波过程。同样存在两种证明过程本文已正交性原理进行说明，求导证明可参考这篇文章：MMSE算法.

假设LS 估计的信道响应为 $H_{LS}$ , 真实的信道响应为 $H$ 。MMSE 准则的原则是存在一个 $W$ 使得使得 $J(W)=E\begin{Bmatrix} \begin{Vmatrix} H-WH_{LS} \end{Vmatrix}^2 \end{Bmatrix}$ 最小。正交性原理即若 $\epsilon=H-WH_{LS}$ 则

$E\begin{Bmatrix} \epsilon H_{Ls} \end{Bmatrix}=0$ （误差与原材料正交--张颢）

$E\begin{Bmatrix} \epsilon H_{Ls} \end{Bmatrix}=E\begin{Bmatrix} (H-WH_{LS})H_{LS}) \end{Bmatrix}=E\begin{Bmatrix} HH_{LS}-WH_{LS}H_{LS} \end{Bmatrix}\textrm{}\mathit{}$

$=E\begin{Bmatrix} HH_{LS} \end{Bmatrix}-E\begin{Bmatrix} WH_{LS}H_{LS} \end{Bmatrix}=0\mathfrak{}$

$R_{HH_{LS}}-WR_{HH_{LS}}=0\textsl{}$

$W=R_{HH_{LS}} R_{_{H_{LS}H_{LS}}}^{-1}\texttt{}$

$R_{H_{LS}H_{LS}}=E\begin{Bmatrix} H_{LS}H_{LS} \end{Bmatrix}=E\begin{Bmatrix} (X^{-1}Y)(X^{-1}Y)^H \end{Bmatrix}\textrm{\textsc{}}$

$=E\begin{Bmatrix} (X^{-1}(XH+Z))(X^{-1}(XH+Z))^H \end{Bmatrix}$

$=E\begin{Bmatrix} HH^H+\mathbf{(X^{-1}ZH^H)} + \mathbf{X^{-1}ZH^H}+(X^{-1}Z)(X^{-1}Z)^ H\end{Bmatrix}$

$=E\begin{Bmatrix} HH^H+X^{-1}ZZ^HX^{-1} \end{Bmatrix} \\=R_{H_{LS}H_{LS}}+\frac{\sigma_{z}^{2}}{\sigma_{x}^{2}}I\textup{\emph{}}$

$\textsl{}R_{HH_{LS}}=E\begin{Bmatrix} HH_{LS} \end{Bmatrix}=E\begin{Bmatrix} (H_{LS}+\epsilon)H_{LS} \end{Bmatrix}\\ =E\begin{Bmatrix} H_{LS}H_{LS}+\epsilon H_{LS} \end{Bmatrix}\\ =E\begin{Bmatrix} H_{{LS}}H_{LS} \end{Bmatrix}+E\begin{Bmatrix} \epsilon H_{LS} \end{Bmatrix}\\ =R_{H_{LS}H_{LS}}\textup{\texttt{}}$