C++之AVL树

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前言

在上一节中，我们学习了什么是二叉搜索树，以及它的功能和结构特点。但是有一些极端情况（单叉树）会导致其查找效率大大降低，于是前人们在那个的基础上再次进行了一些约束，于是就出现了AVL树。

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一、AVL的概念

AVL是最先发明的平衡二叉搜索树。它或者是一个空树，或者是一个具有如下性质的二叉搜索树：它的左右子树都是AVL树，且左右子树的高度差不超过1。AVL是一个高度平衡的二叉搜索树，它是通过控制高度差进行控制平衡的。

AVL的实现，我们要引入一个新的概念：平衡因子。平衡因子说白了就是左右子树的高度差，我们规定平衡因子的值即为右子树的高度减去左子树的高度的差。对于AVL树，我们要求平衡因子的取值范围为{0，-1，1}，即左右子树的高度差不可以超过1。

我们对AVL树进行了这样一个限制就能够使得，AVL树不会出现那种极端情况了，因此AVL的查找效率是远远好于普通的二叉搜索树，其时间复杂度基本上为O(logN)。

二、AVL树的实现

AVL的由于引入了平衡因子，因此我们在实现时就要时刻注意会不会导致平衡因子超过取值范围的情况，这样就大大增加了我们的实现难度。接下来，我们就来一起看看如何去实现一个AVL树吧。

2.1 AVL的结点结构

我们实现的AVL树的结点所包含的值是一个键值对，我们主要是通过键值来对AVL的排列与查找。这与我们之前是一样的，但是我们这里引入了平衡因子，因此我们需要对双亲结点与其子节点之间的关系明确好。因此我们需要设置三个指针来表示双亲结点与它的左右孩子结点的关系。因此我们将AVL的结点设置为如下代码形式：

template<class K,class V>
struct AVLTreeNode
{pair<K, V> _kv;AVLTreeNode<K, V>* _left;AVLTreeNode<K, V>* _right;AVLTreeNode<K, V>* _parent;int _bf;AVLTreeNode(const pair<k, V>& kv):_lfet(nullptr),_right(nullptr),_parent(nullptr),_kv(kv),_bf(0){}};

2.2 AVL树结点的插入

我们插入一个值是按照二叉搜索树的规则进行插入的。我们插入结点后，只会影响我们插入结点的祖先结点的平衡因子，可能会修改新插入结点到根节点路径上的所有结点的平衡因子，也可能只修改部分祖先结点的平衡因子值。因此我们在插入操作中主要进行的就是对于平衡因子修改的操作。更新平衡因子过程中出现不平衡，对不平衡子树旋转，旋转后本质调平衡的同时，本质降低了子树 的高度，不会再影响上一层，所以插入结束。

平衡因子的更新

更新原则：

• 平衡因子=右子树高度-左子树高度；
• 只有子树高度的变化才会影响到当前结点的平衡因子；
• 插入结点会影响子树的高度，如果插入在parent结点的左子树上就会使parent的平衡因子--，如果插入在parent结点的右子树上就会使parent的平衡因子++；
• parent的子树高度是否变化决定了上面的平衡因子是否继续更新。

更新停止的条件：

• 更新后parent的平衡因子等于0，更新中的parent的平衡因子由-1->0或者1->0，则说明在更新之前，parent左右子树是一高一低的，我们的新增结点是插入在低的那边的（因为最终左右子树的高度差相等），因此插入后的parent的左右子树的高度不变（已经达到了平衡的要求了），就不会再影响到parent的祖先结点的平衡因子，更新结束。
• 更新后parent的平衡因子等于1或-1，更新中parent的平衡因子由0->1或者0->-1，则说明在更新之前，parent左右子树的高度是相同的，我们插入后parent的子树一边高一边低，这里虽然parent的平衡因子也满足了平衡的要求，但是对于parent的祖先结点的平衡因子造成了影响，因此我们需要继续向上更新；
• 更新后parent的平衡因子等于2或-2,更新中parent的平衡因子由-1->-2或者1->2,则说明在更新之前，parent的所在子树就是一边高一边低的，我们将新增结点插入到高的那边就会导致高的那边更高，平衡因子相差更大，破坏了平衡。parent所在的子树不符合平衡要求，需要进行旋转处理，旋转的目标有两个：1、把parent子树旋转平衡；2、降低parent子树的高度，恢复到插入结点之前的高度。因此我们旋转后也不会再进行向上更新了；
• 不断更新，直至到根节点，当根节点的平衡因子为1或-1时，就停止更新了。

插入结点以及更新平衡因子的代码实现

对于插入操作，和我们之前普通二叉搜索树的实现是一样的。如果它是一棵空树，我们直接new一个新的结点作为根节点，如果不是空树的话，我们需要先查找要插入的位置，然后进行插入并处理子节点与双亲结点之前的指针关系。

bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{if (_root == nullptr){_root = new Node(kv);return true;}    Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_kv.first < kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_kv.first > kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;}}cur = new Node(kv);if (parent->_kv.first < kv.first){parent->_right = cur;}else{parent->_left = cur;}cur->_parent = parent;// 更新平衡因⼦ while (parent){// 更新平衡因⼦ if (cur == parent->_left)parent->_bf--;elseparent->_bf++;if (parent->_bf == 0){// 更新结束 break;}else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1){// 继续往上更新 cur = parent;parent = parent->_parent;}else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2){// 不平衡了，旋转处理 break;}else{assert(false);}}return true;
}

旋转

旋转的原则：我们要保证最基本的，遵循搜索树的规则，通过旋转让不平衡的树变平衡，从而降低子树的高度差。

旋转总共分为四种：左单旋，右单旋，左右双旋，右左双旋。

右单旋

• 适用于当一个节点的左子树较高，导致平衡因子为2的情况。
• 将左子树的根节点提升为当前节点的父节点，当前节点成为左子树根节点的右子树。

为了更加直观地展示给大家看，我们用一个实例来进行解释：下图1展示的是10为根的树，有a/b/c抽象为三棵高度为h的子树(h>=0)，a/b/c均符合AVL树的要 求。10可能是整棵树的根，也可能是一个整棵树中局部的子树的根。这里a/b/c是高度为h的子树， 是一种概括抽象表示，他代表了所有右单旋的场景，实际右单旋形态有很多种，具体图2/图3/图4/ 图5进行了详细描述。如下图所示，我们可以直观地看出，这个二叉搜索树，明显左子树更高一点（我们规定层数越多，高度越高）

在a子树中插入一个新结点，导致a子树的高度从h变成h+1，不断向上更新平衡因子，导致10的平 衡因子从-1变成-2，10为根的树左右高度差超过1，违反平衡规则。10为根的树左边太高了，需要 往右边旋转，控制两棵树的平衡。

旋转核心步骤：因为5<b子树的值<10,于是我们就可以将b子树作为10结点的左孩子，而10结点可以作为5结点的右孩子。

情况1是我们抽象的左右子树都是一个空树，由于我们要进行旋转操作演示，于是我们就将新增结点插入到a处，那么就形成了一个单叉树，我们可以看到parent（结点值为10）的平衡因子是2,于是我们对parent结点进行一个右单旋，于是它就变成了一个右孩子结点，那个新增结点变成左孩子结点，整体的平衡因子都是正确的，这个二叉搜索树平衡。

情况2是我们抽象的左右子树是一个高度为1的子树，我们在a处插入一个新增结点之后，我们进行旋转操作，我们的最终目的是将parent（结点值为10）放到结点值为5的结点的右孩子位置上，于是我们就要将当前的右孩子上的结点移到其他位置上去，我们根据二叉搜索树的排列规则可以知道，这个结点是小于parent结点的，于是我们将其设置为parent的左孩子结点，然后我们再将parent结点及其它的子树一块放到结点值为5的右孩子位置上，这样平衡因子就都正确了。

情况3，4分别是抽象子树为高度为2，3的子树，我们可以看到上面的数据，可以排列形成的子树组合数成几何倍数增加，但是它们的旋转大致思路和我们的情况2是基本一样的，都是将parent结点进行旋转，放到它原孩子结点的孩子结点位置上。

//右单旋
void RotateR(Node* parent)
{Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;parent->_left = subLR;if (subLR)subLR->_parent = parent;subL->_right = parent;parent->_parent = subL;Node* ppNode = parent->_parent;if (parent == _root){_root = subL;subL->_parent = nullptr;}else{if (ppNode->_left == parent){ppNode->_left = subL;}else{ppNode->_right = subL;}subL->_parent = ppNode;}parent->_bf = 0;subL->_bf = 0;
}

左单旋

• 适用于当一个节点的右子树较高，导致平衡因子为-2的情况。
• 将右子树的根节点提升为当前节点的父节点，当前节点成为右子树根节点的左子树。

下图1展示的是10为根的树，有a/b/c抽象为三棵高度为h的子树(h>=0)，a/b/c均符合AVL树的要 求。10可能是整棵树的根，也可能是⼀个整棵树中局部的子树的根。这里a/b/c是高度为h的子树， 是一种概括抽象表示，他代表了所有左单旋的场景，实际左单旋形态有很多种，具体跟上面右旋类 似。

 在a子树中插入一个新结点，导致a子树的高度从h变成h+1，不断向上更新平衡因子，导致10的平 衡因子从1变成2，10为根的树左右高度差超过1，违反平衡规则。10为根的树右边太高了，需要往 左边旋转，控制两棵树的平衡。

旋转核心步骤：因为10<b子树上的值<15,因此我们可以将b子树作为10结点的右孩子（右孩子的值是大于双亲结点的值），然后我们再将10结点放到15结点的左孩子位置上。

这个左单旋和右单旋十分相似，也是有很多情况的，于是我们就将其抽象为几个子树，我们可以通过对抽象事物进行具体操作于是就是我们的常规操作了。我们可以观察上图，我们发现这个二叉搜索树是一个右边高的二叉搜索树，于是为了平衡，我们将10作为旋转点进行左旋，之后我们将其放到我们的15结点的左孩子位置上，原来15结点的左孩子就将其放到10结点的右孩子结点位置上，这样平衡因子就都正确了。

	//左单旋void RotateL(Node* parent){Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;parent->_right = subRL;if (subRL)subRL->_parent = parent;subR->_left = parent;parent->_parent = subR;Node* ppNode = parent->_parent;if (parent == _root){_root = subR;subR->_parent = nullptr;}else{if (ppNode->_left == parent){ppNode->_left = subR;}else{ppNode->_right = subR;}subR->_parent = ppNode;}parent->_bf = 0;subR->_bf = 0;}

左右双旋

• 适用于当一个节点的左子树的右子树较高，导致平衡因子为2的情况。
• 先对左子树进行左旋，再对当前节点进行右旋。

通过下面两图可以看到，左边高时，如果插入位置不是在a子树，而是插入在b子树，b子树高度从h变成h+1，引发旋转，右单旋无法解决问题，右单旋后，我们的树依旧不平衡。右单旋解决的纯粹的左边高，但是插入在b子树中，10为跟的子树不再是单纯的左边高，对于10是左边高，但是对于5是右边高，需要用两次旋转才能解决，以5为旋转点进行⼀个左单旋，以10为旋转点进行⼀个右单旋，这棵树这棵树就平衡了。

• 上面两图分别为左右双旋中h==0和h==1具体场景分析，下面我们将a/b/c子树抽象为高度为h的AVL子树进行分析，另外我们需要把b子树的细节进⼀步展开为8和左子树高度为h-1的e和f子树，因为 我们要对b的父亲5为旋转点进行左单旋，左单旋需要动b树中的左子树。b子树中新增结点的位置不同，平衡因子更新的细节也不同，通过观察8的平衡因子不同，这里我们要分三个场景讨论。
•  场景1：h>=1时，新增结点插入在e子树，e子树高度从h-1并为h并不断更新8->5->10平衡因子， 引发旋转，其中8的平衡因子为-1，旋转后8和5平衡因子为0，10平衡因子为1。
•  场景2：h>=1时，新增结点插入在f子树，f子树高度从h-1变为h并不断更新8->5->10平衡因子，引发旋转，其中8的平衡因子为1，旋转后8和10平衡因子为0，5平衡因子为-1。
• 场景3：h==0时，a/b/c都是空树，b自己就是⼀个新增结点，不断更新5->10平衡因子，引发旋转，其中8的平衡因子为0，旋转后8和10和5平衡因子均为0。

我们看上面的图片，可以清楚的看到，我们将b子树又分成了两个小子树，然后我们对插入子树的位置进行一个讨论，因为我们后面要将这个两个小子树分别放到对应的位置（旋转后的），由于这两个小子树是由原来那个高度为h的子树分成的，因此高度减1，这两个子树的高度为h-1，于是我们在这两个子树上进行插入新结点的话，插入后的高度最多为h,因此这样与a,c子树（高度为h）比较，平衡因子一定是在可取范围内。

	//左右双旋void RotateLR(Node* parent){Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;int bf = subLR->_bf;RotateL(parent->_left);RotateR(parent);if (bf == 0){subL->_bf = 0;parent->_bf = 0;subLR->_bf = 0;}else if (bf == -1){subL->_bf = 0;parent->_bf = 1;subLR->_bf = 0;}else if (bf == 1){subL->_bf = -1;parent->_bf = 0;subLR->_bf = 0;}else{assert(false);}}

右左双旋

• 适用于当一个节点的右子树的左子树较高，导致平衡因子为-2的情况。
• 先对右子树进行右旋，再对当前节点进行左旋。

跟左右双旋类似，下⾯我们将a/b/c⼦树抽象为⾼度h的AVL⼦树进⾏分析，另外我们需要把b⼦树的 细节进⼀步展开为12和左⼦树⾼度为h-1的e和f⼦树，因为我们要对b的⽗亲15为旋转点进⾏右单 旋，右单旋需要动b树中的右⼦树。b⼦树中新增结点的位置不同，平衡因⼦更新的细节也不同，通 过观察12的平衡因⼦不同，这⾥我们要分三个场景讨论。

• 场景1：h>=1时，新增结点插入在e子树，e子树高度从h-1变为h并不断更新12->15->10平衡因 子，引发旋转，其中12的平衡因子为-1，旋转后10和12平衡因子为0，15平衡因子为1。
• 场景2：h>=1时，新增结点插⼊在f子树，f子树高度从h-1变为h并不断更新12->15->10平衡因子， 引发旋转，其中12的平衡因子为1，旋转后15和12平衡因子为0，10平衡因子为-1。
• 场景3：h==0时，a/b/c都是空树，b自己就是⼀个新增结点，不断更新15->10平衡因子，引发旋转，其中12的平衡因子为0，旋转后10和12和15平衡因子均为0。

	//右左双旋void RotateRL(Node* parent){Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;int bf = subRL->_bf;RotateR(parent->_right);RotateL(parent);if (bf == 0){subR->_bf = 0;parent->_bf = 0;subRL->_bf = 0;}else if (bf == -1){parent->_bf = 0;subR->_bf = 1;subRL->_bf = 0;}else if (bf == 1){parent->_bf = -1;subR->_bf = 0;subRL->_bf = 0;}else{assert(false);}}

2.3 AVL树的查找

AVL树相对于普通的二叉搜索树更加严格，但是其本质上还是一个二叉搜索树，因此在查找代码上它们基本上是一样的。

	Node* Find(const K& key){Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_kv.first < kv.first){cur = cur->_right;}else if (cur->_kv.first << > kv.first){cur = cur->_left;}else{return cur;}}return nullptr;}

2.4 AVL树的平衡性检测

对于AVL的平衡性检测即对其的平衡因子或者高度差进行检查。而平衡因子的定义式为右子树高度减去左子树高度，于是我们可以显示求出左右子树高度差，然后再判断是否在平衡的高度差范围内。

	bool _IsBalanceTree(Node* root){if (_root == nullptr){return true;}int leftHeight = _Height(root->_left);int rightHeight = _Height(root->_right);int diff = rightHeight - leftHeight;if (abs(diff) >= 2){cout << root->_kv.first << "高度差异常" << endl;return false;}if (root->_bf != diff){cout << root->_kv.first << "平衡因子异常" << endl;return false;}return _IsBalanceTree(root->_left) && _IsBalanceTree(root->_right);}int _Height(Node* root){if (_root == nullptr){return 0;}int rightHeight = _Height(root->_right);int leftHeight = _Height(root->_left);return rightHeight > leftHeight ? rightHeight + 1 : leftHeight + 1;}

最后我再来附上一组用来测试是否是AVL树的测试代码

// 测试代码 
void TestAVLTree1()
{AVLTree<int, int> t;// 常规的测试⽤例 //int a[] = { 16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15 };// 特殊的带有双旋场景的测试⽤例 int a[] = { 4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16, 14 };for (auto e : a){t.Insert({ e, e });}t.InOrder();cout << t.IsBalanceTree() << endl;
}
// 插⼊⼀堆随机值，测试平衡，顺便测试⼀下⾼度和性能等 
void TestAVLTree2()
{const int N = 100000;vector<int> v;v.reserve(N);srand(time(0));for (size_t i = 0; i < N; i++){v.push_back(rand()+i);}
size_t begin2 = clock();AVLTree<int, int> t;for (auto e : v){t.Insert(make_pair(e, e));}size_t end2 = clock();cout << "Insert:" << end2 - begin2 << endl;cout << t.IsBalanceTree() << endl;cout << "Height:" << t.Height() << endl;cout << "Size:" << t.Size() << endl;size_t begin1 = clock();// 确定在的值 /*for (auto e : v){t.Find(e);}*/// 随机值 for (size_t i = 0; i < N; i++){t.Find((rand() + i));}size_t end1 = clock();cout << "Find:" << end1 - begin1 << endl;
}

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总结

这节我们学习的AVL就是我们之前所学习的二叉搜索树的一个进阶版，我们加上了平衡因子这一限制条件，使得二叉搜索树的查找效率得到了本质上的提升。而对于平衡的调整，主要在旋转这一操作上。对于旋转，就从我个人学习后一些经验总结：

对于左单旋是在一棵二叉树是一个单纯的右边高的情况；而对于右单旋是在一棵二叉树是一个单纯的左边高的情况。对于双旋，我们有时可能会在指针的定义上会弄混，我发现左右双旋的话，我们就要定义一个左孩子结点指针，然后再定义左孩子结点的右孩子结点指针，这种旋转是针对于那种不是纯粹的左边高的二叉树，是那种左子树中右子树高的二叉树；对于右左双旋的话，我们就要定义一个右孩子结点指针，然后再定义右孩子结点的左孩子结点指针，这种旋转是针对于那种不是纯粹的右边高的二叉树，而是那种右子树中左子树高的二叉树。以上是我记忆旋转代码的一些小技巧，不过总而言之，我们要理解其本质，那样才能更好地写好代码。