内容来源

保险风险与破产（原书第二版）科学出版社

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定义

如果一个计数分布的分布律满足

$$p_n=\left(a+\frac{b}{n}\right)p_{n-1},n=1,2,\cdots$$

其中 $a,b$ 均为常数，$p_0>0$

则其属于 $(a,b,0)$ 类，其中 $0$ 表示递推计算的起点

在 $(a,b,0)$ 类中有三种非平凡分布，分别是泊松分布、二项分布和负二项分布

通过 $a,b$ 的取值判别分布

不难看出 $a+b⩾0$，否则 $p_n$ 可能取负值

$a+b=0$

此时 $p_n=0$，又 ${\sum }_{i=0}^{\infty }{p}_i=1$,所以 $p_0=1$

从而分布在 $0$ 处退化

$a=0$

此时 $p_n=(b/n)p_{n-1}$

因为 ${\sum }_{i=0}^{\infty }{p}_i=1$，而且

$$\sum _{i=0}^{\infty }{p}_i=p_0\sum _{i=0}^{\infty }\frac{b^n}{n!}=p_0{e}^b$$

所以 $p_0=e^{-b}$

所以，当 $a=0$ 时，所得分布是参数为 $b$ 的泊松分布

$a>0,a\ne -b$

通过重复利用递推公式得

$$\begin{array}{rl}{p}_n& =\left(a+\frac{b}{n}\right)\cdots \left(a+\frac{b}{1}\right)p_0\\ & =\frac{(an+b)\cdots (a\cdot 1+b)}{n!}{p}_0\\ & =\frac{a^n}{n!}\left(n+\frac{b}{a}\right)\cdots \left(1+\frac{b}{a}\right)p_0\end{array}$$

将 $1+b/a$ 记为 $\alpha$，则

$$\begin{array}{rl}{p}_n& =\frac{a^n}{n!}\left(n-1+\alpha \right)\cdots \left(1+\alpha \right)\alpha p_0\\ & =\left(\begin{array}{c}\alpha +n-1\\ n\end{array}\right)a^n{p}_0\end{array}$$

因为级数 ${\sum }_{i=0}^{\infty }{p}_i=1$ 绝对收敛

由比式判别法知

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\left|\frac{p_n}{p_{n-1}}\right|=\underset{n\to \infty }{\lim }\left|\frac{a^2}{n}+a-\frac{a}{n}\right|<1$$

所以 $|a|<1$，结合 $a>0$，条件退化为 $0<a<1$

又因为

$$p_0+p_0\sum _{n=1}^{\infty }\left(\begin{array}{c}\alpha +n-1\\ n\end{array}\right)a^n=1$$

对比负二项分布的密度函数，得 $p_0=(1-a{)}^{\alpha }$

此时分布为 $NB(\alpha ,1-a)$

$a+b>0,a<0$

一定存在某一正整数 $c$ 满足

$$a+\frac{b}{c}⩾0,a+\frac{b}{c+1}<0$$

取 $d=-(1+b/a)$，结合

$$p_n=\frac{a^n}{n!}\left(n+\frac{b}{a}\right)\cdots \left(1+\frac{b}{a}\right)p_0$$

得

$$\begin{array}{rl}{p}_n& =\frac{a^n}{n!}(-d+n-1)\cdots (-d)p_0\\ & =(-1{)}^n\frac{a^n}{n!}(d-n+1)\cdots d{p}_0\\ & =(-1{)}^n\frac{a^n}{n!}\frac{d!}{(d-n)!}{p}_0\\ & =(-a{)}^n\left(\begin{array}{c}d\\ n\end{array}\right)p_0\end{array}$$

令 $A=-a>0$，加上 ${\sum }_{i=0}^{\infty }{p}_i=1$，得

$$p_0\sum _{i=0}^d\left(\begin{array}{c}d\\ n\end{array}\right)A^n=1$$

记 $A=p/1-p$

则 $p=A/(1+A)=a/(a-1)$，$0<p<1$

上式变为

$$p_0\sum _{i=0}^d\left(\begin{array}{c}d\\ n\end{array}\right)p^n(1-p{)}^{-n}=1$$

对比二项分布的密度函数，可得 $p_0=(1-p{)}^d$

此时分布为 $B(d,p)$

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