在本节中，我们应用 6.1 节的思想来找到所谓反三角函数的导数。在这个任务中，我们遇到了一些困难：由于三角函数不是一对一的，它们没有反函数。这个困难通过限制这些函数的定义域，使其成为一对一的函数，从而得到解决。

从图 1 可以看到，正弦函数 $y=\sin x$ 不是一对一的函数（使用水平线测试）。但是函数 $f(x)=\sin x$ 在 $-\frac{\pi }{2}\le x\le \frac{\pi }{2}$ 内是一对一的（见图 2）。这个限制正弦函数 $f$ 的反函数存在，并且记作 ${\sin }^{-1}$ 或者 $\arcsin$。它被称为反正弦函数或反正弦函数。

由于反函数的定义为：

$$f^{-1}(x)=y⟺f(y)=x$$

因此我们有：

1$${\sin }^{-1}x=y⟺\sin y=x\text{and}-\frac{\pi }{2}\le y\le \frac{\pi }{2}$$

因此，如果 $-1\le x\le 1$，那么 ${\sin }^{-1}x$ 是介于 $-\frac{\pi }{2}$ 和 $\frac{\pi }{2}$ 之间，使得其正弦值为 $x$ 的数。

例1 计算： (a) ${\sin }^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$ 和 (b) $\tan (\arcsin \frac{1}{3})$。

解
(a) 我们有：

$${\sin }^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi }{6}$$

因为 $\sin \left(\frac{\pi }{6}\right)=\frac{1}{2}$ 并且 $\frac{\pi }{6}$ 位于 $-\frac{\pi }{2}$ 和 $\frac{\pi }{2}$ 之间。

(b) 设 $\theta =\arcsin \frac{1}{3}$，因此 $\sin \theta =\frac{1}{3}$。我们可以画出一个夹角为 $\theta$ 的直角三角形（见图 3），并根据勾股定理得出第三条边的长度为：

$$\sqrt{9-1}=2\sqrt{2}$$

这使得我们可以从三角形中得出：

$$\tan (\arcsin \frac{1}{3})=\tan \theta =\frac{1}{2\sqrt{2}}$$

反函数的消去方程在此情况下变为：

2$$\begin{array}{rl}{\sin }^{-1}(\sin x)& =x\text{for}-\frac{\pi }{2}\le x\le \frac{\pi }{2}\\ \sin ({\sin }^{-1}x)& =x\text{for}-1\le x\le 1\end{array}$$

反正弦函数 ${\sin }^{-1}$ 的定义域是 $[-1,1]$，值域是 $[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$。其图像如图 4 所示，可以通过反射线 $y=x$ 从限制正弦函数的图像（见图 2）得到。

我们知道正弦函数 $f$ 是连续的，因此反正弦函数也是连续的。我们也知道正弦函数是可微的，因此反正弦函数也是可微的。我们可以通过定理 6.1.7 的公式来计算 ${\sin }^{-1}$ 的导数，但因为我们知道 ${\sin }^{-1}$ 是可微的，我们也可以通过隐式求导计算它，如下所示。

令 $y={\sin }^{-1}x$，因此 $\sin y=x$ 并且 $-\frac{\pi }{2}\le y\le \frac{\pi }{2}$。对 $\sin y=x$ 关于 $x$ 隐式求导，得到：

$$\begin{array}{rl}\cos y\frac{dy}{dx}& =1\\ \frac{dy}{dx}& =\frac{1}{\cos y}\end{array}$$

由于 $\cos y\ge 0$，且 $-\frac{\pi }{2}\le y\le \frac{\pi }{2}$，所以：

$$\cos y=\sqrt{1-{\sin }^{2}y}=\sqrt{1-x^2}$$

因此：

$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\cos y}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

3 $$\frac{d}{dx}({\sin }^{-1}x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}-1<x<1$$

例2 如果 $f(x)={\sin }^{-1}(x^2-1)$，求 (a) $f$ 的定义域，(b) $f’(x)$，以及 (c) $f’$ 的定义域。

解
(a) 由于反正弦函数的定义域是 $[-1,1]$，因此 $f$ 的定义域为：

$$x\mid -1\le x^2-1\le 1=x\mid 0\le x^2\le 2$$

即：

{ x ∣ ∣ x ∣ ≤ 2 } = [ − 2 , 2 ] \{x \mid |x| \leq \sqrt{2}\} = [-\sqrt{2}, \sqrt{2}] {x∣∣x∣≤2 ​}=[−2 ​,2 ​]

(b) 结合公式 (3) 和链式法则，我们有：

$$f’(x)=\frac{1}{\sqrt{1-(x^2-1{)}^2}}\cdot \frac{d}{dx}(x^2-1)$$

$$=\frac{1}{\sqrt{1-(x^4-2x^2+1)}}\cdot 2x=\frac{2x}{\sqrt{2x^2-x^4}}$$

(c) $f’$ 的定义域为：

$$x\mid -1<x^2-1<1=x\mid 0<x^2<2$$

即：

$$x\mid 0<|x|<\sqrt{2}=(-\sqrt{2},0)\cup (0,\sqrt{2})$$

反余弦函数 处理方法类似。限制余弦函数 $f(x)=\cos x$ 在 $0\le x\le \pi$ 内是一对一的（见图 6），因此它有一个反函数，记作 ${\cos }^{-1}$ 或 $\arccos$。

4 $${\cos }^{-1}x=y⟺\cos y=x\text{且}0\le y\le \pi$$

反函数的消去方程是：

5 $$\begin{array}{rl}{\cos }^{-1}(\cos x)& =x\text{for}0\le x\le \pi \\ \cos ({\cos }^{-1}x)& =x\text{for}-1\le x\le 1\end{array}$$

反余弦函数 ${\cos }^{-1}$ 的定义域是 $[-1,1]$，值域是 $[0,\pi ]$，且是一个连续函数，其图像如图 7 所示。其导数公式为：

6$$\frac{d}{dx}({\cos }^{-1}x)=\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}-1<x<1$$

正切函数可以通过将其限制在区间 $(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$ 内变为一对一。因此，反正切函数被定义为函数 $f(x)=\tan x$ 的反函数，$-\frac{\pi }{2}<x<\frac{\pi }{2}$。（见图 8）它被记作 ${\tan }^{-1}$ 或 $\arctan$。

7$${\tan }^{-1}x=y⟺\tan y=x\text{且}-\frac{\pi }{2}<y<\frac{\pi }{2}$$

例3 化简表达式 $\cos ({\tan }^{-1}x)$。

解答 1
令 $y={\tan }^{-1}x$，则 $\tan y=x$ 且 $-\frac{\pi }{2}<y<\frac{\pi }{2}$。我们需要找到 $\cos y$，但因为 $\tan y$ 已知，因此先找到 $\sec y$ 较为容易：

$$\begin{array}{rl}{\sec }^{2}y& =1+{\tan }^{2}y=1+x^2\\ \sec y& =\sqrt{1+x^2}\end{array}$$

因此：

$$\cos ({\tan }^{-1}x)=\cos y=\frac{1}{\sec y}=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$$

解答 2
如果不使用解答 1 中的三角恒等式，也许更容易使用图解。如果 $y={\tan }^{-1}x$，则 $\tan y=x$，我们可以从图 9（表示 $y>0$ 的情况）中读出：

$$\cos ({\tan }^{-1}x)=\cos y=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$$

反正切函数 ${\tan }^{-1}=\arctan$ 的定义域为 $\mathbb{R}$，值域为 $(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$。其图像如图 10 所示。

我们知道：

$$\underset{x\to (\frac{\pi }{2}{)}^{-}}{\lim }\tan x=\infty \text{和}\underset{x\to -(\frac{\pi }{2}{)}^{+}}{\lim }\tan x=-\infty$$

因此，直线 $x=\pm \frac{\pi }{2}$ 是 $\tan$ 图像的垂直渐近线。由于 ${\tan }^{-1}$ 的图像是通过反射限制正切函数图像关于 $y=x$ 的线得到的，因此 $y=\frac{\pi }{2}$ 和 $y=-\frac{\pi }{2}$ 是 ${\tan }^{-1}$ 图像的水平渐近线。这一事实可通过以下极限表达：

8 $$\underset{x\to -\infty }{\lim }{\tan }^{-1}x=-\frac{\pi }{2}\text{and}\underset{x\to \infty }{\lim }{\tan }^{-1}x=\frac{\pi }{2}$$

例4 求极限 $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\arctan \left(\frac{1}{x-2}\right)$。

解 如果我们令 $t=\frac{1}{x-2}$，那么当 $x\to 2^{+}$ 时，$t\to \infty$。因此，根据(8)中的第二个方程，我们有：

$$\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\arctan \left(\frac{1}{x-2}\right)=\underset{t\to \infty }{\lim }\arctan t=\frac{\pi }{2}$$

由于$\tan$是可导的，${\tan }^{-1}$也是可导的。为了找到它的导数，我们设$y={\tan }^{-1}x$。然后$\tan y=x$。对这个方程两边对$x$隐式求导：

$${\sec }^{2}y\frac{dy}{dx}=1$$

因此

$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{{\sec }^{2}y}=\frac{1}{1+{\tan }^{2}y}=\frac{1}{1+x^2}$$

9$$\frac{d}{dx}\left({\tan }^{-1}x\right)=\frac{1}{1+x^2}$$

其余的反三角函数不如上述三角函数使用频繁，下面列出了它们的公式：

10$$y={\csc }^{-1}x(|x|\ge 1)⟺\csc y=x\text{and}y\in (0,\frac{\pi }{2}]\cup (\pi ,\frac{3\pi }{2}]$$
$$y={\sec }^{-1}x(|x|\ge 1)⟺\sec y=x\text{and}y\in [0,\frac{\pi }{2})\cup (\pi ,\frac{3\pi }{2})$$
$$y={\cot }^{-1}x(x\in \mathbb{R})⟺\cot y=x\text{and}y\in (0,\pi )$$

在 $cs{c}^{-1}$ 和 $se{c}^{-1}$ 定义中的 $y$ 取值区间的选择并没有统一的意见。例如，一些作者在 $se{c}^{-1}$ 的定义中使用 $y\in [0,\pi /2)\cup (\pi /2,\pi ]$。从图 11 中的正割函数图形可以看到，这种选择和(10)中的选择都适用。选择(10)中的原因是微分公式更简单。

11 反三角函数的微分公式表。
$$\begin{array}{rl}\frac{d}{dx}({\sin }^{-1}x)& =\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\frac{d}{dx}({\cos }^{-1}x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\ \frac{d}{dx}({\tan }^{-1}x)& =\frac{1}{1+x^2}\frac{d}{dx}({\csc }^{-1}x)=-\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}\\ \frac{d}{dx}({\sec }^{-1}x)& =\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}\frac{d}{dx}({\cot }^{-1}x)=-\frac{1}{1+x^2}\end{array}$$

这些公式可以与链式法则结合使用。例如，如果 $u$ 是 $x$ 的可微函数，那么

$$\frac{d}{dx}({\sin }^{-1}u)=\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}\frac{du}{dx}$$

以及

$$\frac{d}{dx}({\tan }^{-1}u)=\frac{1}{1+u^2}\frac{du}{dx}$$

例5 求导数 (a) $y=\frac{1}{{\sin }^{-1}x}$ 和 (b) $f(x)=x\arctan \sqrt{x}$。

解

(a)
$$\begin{array}{rl}\frac{dy}{dx}& =\frac{d}{dx}({\sin }^{-1}x{)}^{-1}=-({\sin }^{-1}x{)}^{-2}\frac{d}{dx}({\sin }^{-1}x)\\ & =-\frac{1}{({\sin }^{-1}x{)}^2\sqrt{1-x^2}}\end{array}$$

(b)
$$\begin{array}{rl}f’(x)& =x\frac{1}{1+(\sqrt{x}{)}^2}\left(\frac{1}{2}{x}^{-1/2}\right)+\arctan \sqrt{x}\\ & =\frac{\sqrt{x}}{2(1+x)}+\arctan \sqrt{x}\end{array}$$

例6 证明等式 ${\tan }^{-1}x+{\cot }^{-1}x=\frac{\pi }{2}$。

解 尽管证明此等式不需要使用微积分，使用微积分的证明非常简单。如果 $f(x)={\tan }^{-1}x+{\cot }^{-1}x$，则

$$f’(x)=\frac{1}{1+x^2}-\frac{1}{1+x^2}=0$$

对于所有 $x$ 的值。因此 $f(x)=C$，是一个常数。为了确定 $C$ 的值，我们取 $x=1$ [因为我们可以准确地计算 $f(1)$]。然后

$$C=f(1)={\tan }^{-1}1+{\cot }^{-1}1=\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{2}$$

因此 ${\tan }^{-1}x+{\cot }^{-1}x=\frac{\pi }{2}$。

每一个表 11 中的公式都导出了一个积分公式。以下两个最有用的公式是：

12$$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}},dx={\sin }^{-1}x+C$$

13$$\int \frac{1}{x^2+1},dx={\tan }^{-1}x+C$$

例7 求 ${\int }_0^{1/4}\frac{1}{\sqrt{1-4x^2}}dx$。

解 如果我们写作

$${\int }_0^{1/4}\frac{1}{\sqrt{1-4x^2}}dx={\int }_0^{1/4}\frac{1}{\sqrt{1-(2x{)}^2}}dx$$

则该积分类似于公式 12，建议替换 $u=2x$。这会给出 $du=2dx$，所以 $dx=du/2$。当 $x=0$ 时，$u=0$；当 $x=\frac{1}{4}$ 时，$u=\frac{1}{2}$。因此，

$$\begin{array}{rl}{\int }_0^{1/4}\frac{1}{\sqrt{1-4x^2}}dx& =\frac{1}{2}{\int }_0^{1/2}\frac{du}{\sqrt{1-u^2}}=\frac{1}{2}{\sin }^{-1}u{|}_0^{1/2}\\ & =\frac{1}{2}[{\sin }^{-1}(\frac{1}{2})-{\sin }^{-1}(0)]=\frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{12}\end{array}$$

例8 求 $\int \frac{1}{x^2+a^2}dx$。

解 为了使给定的积分更像方程 13，我们写作

$$\int \frac{dx}{x^2+a^2}=\int \frac{dx}{a^2\left(\frac{x^2}{a^2}+1\right)}=\frac{1}{a^2}\int \frac{dx}{{\left(\frac{x}{a}\right)}^2+1}$$

这表明我们可以用 $u=x/a$ 进行代换。于是 $du=dx/a$, $dx=adu$，因此

$$\int \frac{dx}{x^2+a^2}=\frac{1}{a^2}\int a\frac{du}{u^2+1}=\frac{1}{a}\int \frac{du}{u^2+1}=\frac{1}{a}{\tan }^{-1}u+C$$

因此我们得到了公式

14$$\int \frac{1}{x^2+a^2}dx=\frac{1}{a}{\tan }^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)+C$$

例9 求 $\int \frac{x}{x^4+9}dx$

解 我们将 $u=x^2$，因为这样得到 $du=2xdx$，并且我们可以使用 $a=3$ 的方程 14:

$$\int \frac{x}{x^4+9}dx=\frac{1}{2}\int \frac{du}{u^2+9}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}{\tan }^{-1}\left(\frac{u}{3}\right)+C$$

$$=\frac{1}{6}{\tan }^{-1}\left(\frac{x^2}{3}\right)+C$$