蕴涵式（implication）是命题逻辑中的一种基本逻辑运算，通常写作 P ⇒ Q ，读作“如果 P ，那么 Q”。
- P 被称为前件（antecedent）或假设；
- Q 被称为后件（consequent）或结论。
蕴涵的含义：
P ⇒ Q 的意思是：如果P 为真，那么 Q 必须为真。也就是说，在前提 P为真的情况下，结论Q 不能为假。否则，整个蕴涵式为假。
真值表：
蕴涵式 P ⇒ Q 的真值依赖于 ( P ) 和 ( Q ) 的真值组合。具体真值表如下：
| ( P ) | ( Q ) | ( P ⇒ Q ) |
|---|---|---|
| 真 (T) | 真 (T) | 真 (T) |
| 真 (T) | 假 (F) | 假 (F) |
| 假 (F) | 真 (T) | 真 (T) |
| 假 (F) | 假 (F) | 真 (T) |
解释：
- 当 P 为真，且 Q 也为真时，蕴涵式 P ⇒ Q为真。
- 当P为真，但 Q 为假时，蕴涵式 P ⇒ Q为假（因为前提成立时，结论不成立，违反了“如果…那么…”的逻辑）。
- 当 P 为假时，无论Q 是真还是假，蕴涵式都为真。这是因为在逻辑上，如果前提不成立，整个蕴涵就自动成立。这种情况也被称为“虚假蕴涵”。
示例：
-
如果今天下雨( P )，那么我会带伞( Q )：
- 如果今天下雨，且我带了伞，蕴涵式为真。
- 如果今天下雨，但我没带伞，蕴涵式为假。
- 如果今天没下雨，无论我是否带伞，蕴涵式都为真（因为下雨的前提不存在，蕴涵自动成立）。
-
P ⇒ P （自我蕴涵）：任何命题 P都能够推导出自身。这是一个永真式，即总为真。
蕴涵式的总结：
- 蕴涵式是表达条件关系的逻辑运算符，只有当前提为真而结论为假时，蕴涵式才为假。
- 如果前提为假，则不管结论如何，蕴涵式总为真。这也是为什么我们说“假设可以推出任何东西”的原因。
practise
Prove via truth-tables whether the following formulae are valid (tautologies) or not:
i. (P ∧ ¬P ) ⇒ (¬Q ∨ Q)
ii. ((P ∧ Q) ⇒ R) ⇒ ((P ∨ Q) ⇒ R)
iii. (P ∧ (Q ⇒ R)) ∨ (Q ∨ ¬Q)
i. (P ∧ ¬P ) ⇒ (¬Q ∨ Q)
True table
| P | Q | ¬P | P∧¬P | ¬Q | ¬Q ∨ Q | (P ∧ ¬P ) ⇒ (¬Q ∨ Q) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| T | T | F | F | F | T | T |
| T | F | F | F | T | T | T |
| F | T | T | F | F | T | T |
| F | F | T | F | T | T | T |
Since P∧¬P is always false, the implication(P∧¬P)⇒(¬Q∨Q) is always true because an implication with a false antecedent is always true.
ii. ((P ∧ Q) ⇒ R) ⇒ ((P ∨ Q) ⇒ R)
True table
| P | Q | R | P∧Q | (P ∧ Q) ⇒ R | P ∨ Q | (P ∨ Q) ⇒ R | ((P ∧ Q) ⇒ R) ⇒ ((P ∨ Q) ⇒ R) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| T | T | T | T | T | T | T | T |
| T | T | F | T | F | T | F | T |
| T | F | T | F | T | T | T | T |
| T | F | F | F | T | T | F | T |
| F | T | T | F | T | T | T | T |
| F | T | F | F | T | T | F | T |
| F | F | T | F | T | F | T | T |
| F | F | F | F | T | F | T | T |
In all rows, the formula ((P∧Q)⇒R)⇒((P∨Q)⇒R) evaluates to true.
Therefore, this formula is a tautology.
iii. (P ∧ (Q ⇒ R)) ∨ (Q ∨ ¬Q)
True table
| P | Q | R | Q ⇒ R | P ∧ (Q ⇒ R) | ¬Q | Q ∨ ¬Q | (P ∧ (Q ⇒ R)) ∨ (Q ∨ ¬Q) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| T | T | T | T | T | F | T | T |
| T | T | F | F | F | F | T | T |
| T | F | T | T | T | T | T | T |
| T | F | F | T | T | T | T | T |
| F | T | T | T | F | F | T | T |
| F | T | F | F | F | F | T | T |
| F | F | T | T | F | T | T | T |
| F | F | F | T | F | T | T | T |
Q∨¬Q is always true, so the entire formula (P∧(Q⇒R))∨(Q∨¬Q) is always true.
Therefore, this formula is a tautology.
Conclusion:
i. (P∧¬P)⇒(¬Q∨Q) is a tautology.
ii. ((P∧Q)⇒R)⇒((P∨Q)⇒R) is a tautology.
iii. (P∧(Q⇒R))∨(Q∨¬Q) is a tautology.
