1 卡方检验原理

        卡方检验由卡尔·皮尔逊（Karl Pearson）于1900年首次提出，是一种针对频数数据（定类数据或计数数据）的假设检验方法。它通过比较实际观测次数与理论期望次数之间的差异，构造出${\chi }^2$统计量，并利用${\chi }^2$分布进行假设检验。${\chi }^2$统计量的计算公式为：
$${\chi }^2=\sum _i^k\frac{{(f_o-f_e)}^2}{f_e}$$
        $k$表示样本的分类数；
        $f_o$为实际观测到的频数；
        $f_e$是与理论分布对应的频数，通常称为理论次数或期望次数。
        根据皮尔逊定理，当样本总频数$n$足够大时，${\chi }^2$统计量将近似服从${\chi }^2$分布。如果计算出的${\chi }^2$统计量较大，则其对应的$p$值会很小，表明在原假设$H_0$下，观察到该频数的可能性极小。若$p$值小于预设的显著性水平$\alpha$（通常设为0.05或0.01），则拒绝原假设，表明样本的观测频数与理论频数存在显著差异；反之，如果$p$值大于$\alpha$，则接受原假设，表示观测频数与理论频数的差异不显著。
        卡方检验的基本假设涉及如下几方面：
        ①研究的变量为分类变量；
        ②各分类观测值之间相互独立，且频数分组相互排斥；；
        ③各分类的理论频数大于5。

2 拟合度检验

2.1 χ2拟合度检验的原理

        操作：分析>非参数检验>旧对话框>卡方

        拟合度检验（goodness of fit test）用于检验单一分类变量的实际观察次数与某理论次数之间的差异。其原假设$H_0$为实际观察次数与理论次数相等。进行拟合度检验时，需满足以下基本假设：
        ①研究的变量为一个分类变量；
        ②各分类观测值相互独立，且频数分组互不重叠；
        ③各分类的理论频数应大于5。
        当每个分类的理论频数$f_e\ge 5$时，${\chi }^2$统计量渐近服从${\chi }^2$分布，此时可使用以下公式进行拟合度检验：
$${\chi }^2=\sum _i^k\frac{{(f_o-f_e)}^2}{f_e}$$
        理论次数$f_e$的计算是拟合度检验的关键，通常基于某种理论按一定概率从样本中计算，这些理论分布可以是均匀分布、二项分布或正态分布等。
        如果某分类的理论次数小于5，则使用耶茨（Yates）提出的连续性校正公式：
$${\chi }^2=\sum _i^k\frac{{(|f_o-f_e|-0.5)}^2}{f_e}$$
        这种校正可以使得${\chi }^2$值降低，从而提高计算得到的概率$p$。
        在只有两个分类且某一单元格的期望次数小于5时，使用校正公式可得到较为满意的近似结果。但当分类数为三项或以上，若出现某一单元格理论次数小于5，通常可直接使用基本公式计算${\chi }^2$值，仍能获得合理结果。

2.2 二项检验原理

        操作：分析>非参数检验>旧对话框>二项

        二项检验（binomial test）是用于检验二分类数据的统计方法，适用于只包含两类的变量，例如性别（男性与女性）或考试成绩（及格与不及格）。在从具有参数$(n,p)$的二项分布总体中抽取样本量为$n$的样本时，其频数分布遵循二项分布，等同于独立地重复$n$次贝努利试验。二项检验的原假设$H_0$是观测数据某一类别的比例与指定的二项分布比例无显著差异，即$p_1=p_0$。
对于样本量较小的情况，可以使用排列组合公式精确计算每个$x$取值的概率：$$p={C_n}^x{p}^x{q}^{n-x}$$
        $C_n^x$为组合数；
        $p$为成功概率，$q=1-p$。
        当$np$或$nq⩾10$时，二项分布可近似为正态分布。基于此，二项分布的平均数和标准差可由以下公式计算：
$$\mu \text{ = n}$$$$\sigma \text{ = }\sqrt{npq}$$

3 独立性检验

3.1 列联表与独立性检验

        假设有两个定类变量$x$和$y$，其中$x$有$r$个分类，$y$有$c$个分类。通过将数据按$x$分类并统计在不同$x$取值下$y$的分类情况，可以构建一个$r\times c$列联表，通常称为二维列联表。此表格可以扩展到多个变量的情况，形成多维列联表（multiple contingency table）。
        若要研究列联表中两个分类变量之间的关系或独立性，就需要进行${\chi }^2$独立性检验。该检验旨在推断总体中两个分类变量是否独立。若两个变量独立，则${\chi }^2$检验结果不显著，且对应的$p$值大于显著性水平$\alpha$，表明其中一个变量的变化仅在取样误差范围内。而若两个变量非独立，则检验结果显著，$p$值小于$\alpha$，说明它们之间存在关联。
        此外，独立性检验还可以用于判断一个变量的不同分类在另一个变量的多项分类上是否存在差异。如果两个变量独立，则它们在分类上的差异不显著；如果存在关联，则差异显著。

3.2 独立性检验的一般步骤

        ①提出假设：原假设$H_0$为两个（或多个）变量之间独立，备择假设$H_1$为它们之间存在关联或差异显著；
        ② 理论次数的计算：若用$f_{xi}$表示第$i$列的总和，$f_{yi}$表示第$j$行的总和，则每个单元格的理论次数$f_e$可用公式表示为：$$f_e=\frac{f_{xi}{f}_{yi}}{N}$$
        ③自由度的确定：对于一个$r\times c$的列联表，自由度$df$为$df=(r-1)(c-1)$；
        ④统计量计算：独立性检验的统计量${\chi }^2$的计算与样本的独立性、样本大小及分类数目有关；
        ⑤统计决策：若${\chi }^2$对应的$p$值大于显著性水平$\alpha$，则表明变量间无关联，接受原假设；反之，若$p$值小于$\alpha$，则说明变量间存在显著关联，拒绝原假设。

3.3 随机设计2x2列联表

        最简单的$r\times c$列联表是2x2表，即四格表，它包含两个因素（变量），每个因素各有两个分类，从而将被试分为四类。我们称这种表为独立设计的2x2表或随机设计的2x2表。
        当随机设计的2x2表中各个单元的理论次数$f_e\ge 5$且样本量$N\ge 40$时，可以使        用基本公式计算${\chi }^2$值：
$${\chi }^2=\sum _i^k\frac{{(f_o-f_e)}^2}{f_e}$$
        或者使用2x2的简捷公式：
$${\chi }^2=\frac{N{(ad-bc)}^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$$
        如果四格表中任一格的理论次数满足$1\le f_e\le 5$且样本量$N\ge 40$，则需使用耶茨（Yates）连续性校正公式进行计算：
$${\chi }^2=\sum _i^k\frac{{(|f_o-f_e|-0.5)}^2}{f_e}$$
        也可使用简便公式进行校正：
$${\chi }^2=\frac{N{[(ad-bc)-N/2]}^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$$
        当四格表中任一格的理论次数$f_e\le 1$或样本量$N<40$时，推荐使用费舍（Fisher）精确概率检验法代替${\chi }^2$检验。若两个变量独立，边缘次数固定时，四格表单元格内的数值$a,b,c,d$的特定安排概率$p$为：
$$p=\frac{(a+b)!\left(c+d\right)!\left(a+c\right)!\left(b+d\right)!}{a!b!c!d!\left(a+b+c+d\right)}$$
        通过计算所有可能的四格次数排列下的概率$p$及其总和，与显著性水平$\alpha$比较，如果$p<\alpha$，则说明两样本间存在显著关联，拒绝独立假设。

3.4 rxc列联表独立性检验

        对于超过两个分类的二维列联表，可以用通式$r\times c$表示，2x2四格表是其特例。当各个单元的理论次数$f_e\ge 5$且样本量$N\ge 40$时，使用${\chi }^2$基本公式进行独立性检验：
$${\chi }^2=\sum _i^k\frac{{(f_o-f_e)}^2}{f_e}$$
        若任一单元的理论次数满足$1\le f_e\le 5$且样本量$N\ge 40$，则需使用耶茨（Yates）连续性校正公式：
$${\chi }^2=\sum _i^k\frac{{(|f_o-f_e|-0.5)}^2}{f_e}$$
        当任一单元的理论次数$f_e\le 1$或样本量$N<40$时，推荐使用费舍（Fisher）精确概率检验法作为替代，以确保结果的准确性。

3.5 配对卡方检验

        在某些情况下，我们需要分析数据以检验不同方法或评定者对同一群体的分类是否存在差异。例如，可以检验两种方法在同一组人中的评定是否一致，或比较两个评分者对同一被试的评定结果，亦或是同一评分者对同一组被试进行的前后两次评定归类是否有差异。这类数据结构与独立样本列联表不同，后者是用于分析同一被试的不同属性，行和列分别代表不同的属性；而配对样本列联表则用于分析同一被试在同一属性下的两种评定方式，其中行和列表示的是被试的相同属性。
        配对样本列联表可以通过配对卡方检验来分析不同评定方式之间的差异。其一个显著特征是行与列的数目相等，因此称为配对设计$r\times c$列联表。

3.6 多维列联表独立性检验

        分析（multiple contingency table analysis）。在这种情况下，可以使用分层卡方检验，通常在SPSS中通过柯克兰和曼特尔-亨塞尔统计（Cochran-Mantel-Haenszel检验，简称CMH检验）进行分析。随着变量数量的增加，分析的复杂度也会增加；当涉及四个或以上的变量时，通常需要设置多个控制变量，分析将更加复杂。

3.7 分类变量关联强度分析

        Phi系数（φ）适用于2x2列联表，专门用于评估两个真实二分变量之间的关联强度。其计算公式为：
$$\varphi =\frac{ad-bc}{\sqrt{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}}$$
        或者可以通过卡方值与样本大小的关系表示为：$\varphi =\sqrt{\frac{{\chi }^2}{n}}$
        当φ=1时，表示完全正相关，所有个案集中在a和d两格；
        当φ=-1时，表示完全负相关，所有个案集中在b和c两格；
        当φ=0时，表示两个变量相互独立，个案均匀分布于四个格子。
        由于列联表中变量的排列是任意的，因此φ系数的正负符号没有实际意义，通常只关注其绝        对值来衡量关联强度。具体来说：
        当|φ| < 0.3时，表示相关性较弱；
        当|φ| > 0.6时，表示相关性较强。