2024年高教社杯全国大学生数学建模竞赛C题：农作物的种植策略

【2024年高教社杯全国大学生数学建模竞赛】 C题：农作物的种植策略问题分析、数学模型及代码

1 题目

根据乡村的实际情况，充分利用有限的耕地资源，因地制宜，发展有机种植产业，对乡村经济的可持续发展具有重要的现实意义。选择适宜的农作物，优化种植策略，有利于方便田间管理，提高生产效益，减少各种不确定因素可能造成的种植风险。

你扮演一个专业的数学建模专家。请根据以下问题背景，对以下我提出的问题进行分析，只分析思路，不需要给出数学公式和代码。要求step by step的输出，要求有逻辑，确保是根据题目中的数据进行分析。由于数据较多，以下表格只是提供了部分示例数据：

问题背景

根据乡村的实际情况，充分利用有限的耕地资源，因地制宜，发展有机种植产业，对乡村经济的可持续发展具有重要的现实意义。选择适宜的农作物，优化种植策略，有利于方便田间管理，提高生产效益，减少各种不确定因素可能造成的种植风险。某乡村地处华北山区，常年温度偏低，大多数耕地每年只能种植一季农作物。该乡村现有露天耕地 1201 亩，分散为 34 个大小不同的地块，包括平旱地、梯田、山坡地和水浇地 4 种类型（表格中只举例每种类型2个地块）。平旱地、梯田和山坡地适宜每年种植一季粮食类作物；水浇地适宜每年种植一季水稻或两季蔬菜。该乡村另有 16 个普通大棚亩地（以下表格只举例了2个）和 4 个智慧大棚（以下表格只举例了2个），每个大棚耕地面积为 0.6 亩。普通大棚适宜每年种植一季蔬菜和一季食用菌，智慧大棚适宜每年种植两季蔬菜。同一地块（含大棚）每季可以合种不同的作物。粮食有黄豆、黑豆、红豆、绿豆、爬豆、小麦、玉米、谷子、高粱、黍子、荞麦、南瓜、红薯、莜麦、大麦、水稻。蔬菜有豇豆、刀豆、芸豆、土豆、西红柿、茄子、菠菜、青椒、菜花、包菜、油麦菜、小青菜、黄瓜、生菜、辣椒、空心菜、黄心菜、芹菜、大白菜、白萝卜、红萝卜。食用菌有榆黄菇、香菇、白灵菇、羊肚菌。

耕地部分数据如下表1。

地块名称	地块类型	地块面积/亩
A1	平旱地	80
A2	平旱地	55
B1	梯田	60
B2	梯田	46
C1	山坡地	15
C2	山坡地	13
D1	水浇地	15
D2	水浇地	10
E1	普通大棚	0.6
E2	普通大棚	0.6
F1	智慧大棚	0.6
F2	智慧大棚	0.6

根据农作物的生长规律，每种作物在同一地块（含大棚）都不能连续重茬种植，否则会减产；因含有豆类作物根菌的土壤有利于其他作物生长，从 2023 年开始要求每个地块（含大棚）的所有土地三年内至少种植一次豆类作物。同时，种植方案应考虑到方便耕种作业和田间管理，譬如：每种作物每季的种植地不能太分散，每种作物在单个地块（含大棚）种植的面积不宜太小，等等。2023年的农作物种植地块如表2（只举例了部分地块）。

作物编号	作物名称	作物类型	种植面积/亩	种植季次	种植地块
6	小麦	粮食	80	单季	A1
7	玉米	粮食	55	单季	A2
6	小麦	粮食	60	单季	B1
2	黑豆	粮食（豆类）	46	单季	B2
11	荞麦	粮食	15	单季	C1
12	南瓜	粮食	13	单季	C2
20	土豆	蔬菜	15	第一季	D1
36	白萝卜	蔬菜	15	第二季	D1
28	小青菜	蔬菜	10	第一季	D2
35	大白菜	蔬菜	10	第二季	D2
18	刀豆	蔬菜（豆类）	0.6	第一季	E1
38	榆黄菇	食用菌	0.6	第二季	E1
24	青椒	蔬菜	0.6	第一季	E2
38	榆黄菇	食用菌	0.6	第二季	E2
32	空心菜	蔬菜	0.3	第一季	F1
33	黄心菜	蔬菜	0.3	第一季	F1
24	青椒	蔬菜	0.3	第二季	F1
21	西红柿	蔬菜	0.3	第二季	F1
25	菜花	蔬菜	0.3	第一季	F2
26	包菜	蔬菜	0.3	第一季	F2
22	茄子	蔬菜	0.3	第二季	F2
29	黄瓜	蔬菜	0.3	第二季	F2

各种农作物亩产量和销售单价，部分数据如表3：

序号	作物编号	作物名称	地块类型	种植季次	亩产量/斤	种植成本/(元/亩)	销售单价/(元/斤)
1	1	黄豆	平旱地	单季	400	400	2.50-4.00
2	2	黑豆	平旱地	单季	500	400	6.50-8.50
16	1	黄豆	梯田	单季	380	400	2.50-4.00
17	2	黑豆	梯田	单季	475	400	6.50-8.50
31	1	黄豆	山坡地	单季	360	400	2.50-4.00
32	2	黑豆	山坡地	单季	450	400	6.50-8.50
46	16	水稻	水浇地	单季	500	680	6.00-8.00
47	17	豇豆	水浇地	第一季	3000	2000	7.00-9.00
65	17	豇豆	普通大棚	第一季	3600	2400	7.00-9.00
66	18	刀豆	普通大棚	第一季	2400	1200	5.50-8.00
83	35	大白菜	水浇地	第二季	5000	2000	2.00-3.00
84	36	白萝卜	水浇地	第二季	4000	500	2.00-3.00
86	38	榆黄菇	普通大棚	第二季	5000	3000	50.00-65.00
87	39	香菇	普通大棚	第二季	4000	2000	18.00-20.00
90	17	豇豆	智慧大棚	第二季	3200	2640	8.40-10.80
91	18	刀豆	智慧大棚	第二季	2200	1320	6.60-9.60

问题1

假定各种农作物未来的预期销售量、种植成本、亩产量和销售价格相对于 2023 年保持稳定，每季种植的农作物在当季销售。如果某种作物每季的总产量超过相应的预期销售量，超过部分不能正常销售。请针对以下两种情况，分别给出该乡村 2024~2030 年农作物的最优种植方案，将结果分别填入表格中，参考表2。

(1) 超过部分滞销，造成浪费；

(2) 超过部分按 2023 年销售价格的 50%降价出售。

问题 2 根据经验，小麦和玉米未来的预期销售量有增长的趋势，平均年增长率介于5%~10%之间，其他农作物未来每年的预期销售量相对于 2023 年大约有±5%的变化。农作物的亩产量往往会受气候等因素的影响，每年会有±10%的变化。因受市场条件影响，农作物的种植成本平均每年增长 5%左右。粮食类作物的销售价格基本稳定；蔬菜类作物的销售价格有增长的趋势，平均每年增长5%左右。食用菌的销售价格稳中有降，大约每年可下降1%~5%，特别是羊肚菌的销售价格每年下降幅度为5%。请综合考虑各种农作物的预期销售量、亩产量、种植成本和销售价格的不确定性以及潜在的种植风险，给出该乡村 2024~2030 年农作物的最优种植方案，将结果填入表中，参考表2。

问题 3、在现实生活中，各种农作物之间可能存在一定的可替代性和互补性，预期销售量与销售价格、种植成本之间也存在一定的相关性。请在问题 2 的基础上综合考虑相关因素，给出该乡村2024~2030 年农作物的最优种植策略，通过模拟数据进行求解，并与问题 2 的结果作比较分析。

附件 1 乡村现有耕地和农作物的基本情况

附件 2 2023 年乡村农作物种植和相关统计数据

附件 3 须提交结果的模板文件（result1_1.xlsx，result1_2.xlsx，result2.xlsx）

2 问题分析

总结一句话，题目很复杂，但要明白这就一个优化问题。优化问题，只有两个东西。第一个是目标函数，第二个是约束条件。建立好目标函数后，然后就在题目中挖掘所有的约束条件。不要被具体的数据晃瞎了眼，捋清楚数据之间的关系就行，具体数值是留给编程的人根据数学模型来统计的，先建立好模型，再去考虑具体的数值的应用。

2.1 问题一

题目要求最大化种植收益并尽量减少浪费。并且两种情况涉及不同的目标：一是避免产能过剩带来的浪费，二是考虑降价销售的情况。分为两种情况设计两种最优的种植策略。需要结合不同地块的类型、面积，以及种植要求（单季、多季、轮作等），合理安排各类农作物的种植分配。要求尽量集中化种植，以方便田间管理，减少分散种植带来的管理难度和效率低下的问题。

（1）首先分析种植资源和限制条件的数据

地块分类：明确乡村的不同类型地块，包括平旱地、梯田、山坡地、水浇地、普通大棚和智慧大棚。不同地块适合种植的作物类型不同：
- 平旱地、梯田、山坡地：适宜种植粮食类作物（如小麦、玉米等）。
- 水浇地：适合种植一季水稻或两季蔬菜。
- 普通大棚：每年种植一季蔬菜和一季食用菌。
- 智慧大棚：每年种植两季蔬菜。
地块面积：每个地块的耕地面积不同，决定了各地块能承载的种植规模。例如，A1 地块有 80 亩，F1 智慧大棚为 0.6 亩。
轮作制度：由于豆类作物的根菌作用，要求三年内每个地块至少种植一次豆类作物。必须合理安排豆类作物的轮种，避免重茬种植。
种植物分类：
- 粮食：黄豆、黑豆、红豆、绿豆、爬豆、小麦、玉米、谷子、高粱、黍子、荞麦、南瓜、红薯、莜麦、大麦、水稻。
- 蔬菜：豇豆、刀豆、芸豆、土豆、西红柿、茄子、菠菜、青椒、菜花、包菜、油麦菜、小青菜、黄瓜、生菜、辣椒、空心菜、黄心菜、芹菜、大白菜、白萝卜、红萝卜。
- 食用菌：榆黄菇、香菇、白灵菇、羊肚菌。
市场需求和产量：
- 各类农作物在6种耕地的亩产量：可附件2中的”2023年统计的相关数据“进行统计计算，每种农作物在每种耕地上的亩产量唯一，即同一种农作物，不同的耕地产量会不一样。
- 市场预期销售量：注意，这里计算销售量，是以季为单位，分别计算第一季的销售量为S1，第二季的销售量为S2
- 种植成本：种植成本只和农作物有关，与耕地类型无关。
- 销售价格都保持和2023一样，一种农作物一个季度，一个价格，即同一种农作物，不同的季度价格不一样。

（2）第一小问

目标是减少浪费，合理控制高产作物的种植面积，集中化种植，同时保证豆类作物的合理轮作，避免过量种植低需求作物。因为超过部分滞销，会造成浪费，则最大化产量与预期销售量的匹配，避免浪费。首先只考虑2024年一整年的，不需要考虑连续多年种植的问题，即只考虑两个季度的分配。

目标函数：2024最大化产量

约束：

粮食有黄豆、黑豆、红豆、绿豆、爬豆、小麦、玉米、谷子、高粱、黍子、荞麦、南瓜、红薯、莜麦、大麦、水稻。
蔬菜有豇豆、刀豆、芸豆、土豆、西红柿、茄子、菠菜、青椒、菜花、包菜、油麦菜、小青菜、黄瓜、生菜、辣椒、空心菜、黄心菜、芹菜、大白菜、白萝卜、红萝卜。
食用菌有榆黄菇、香菇、白灵菇、羊肚菌。
总产量小于或等于2023预期销售量。
所有种植作物的总面积不超过可用耕地总面积

所有作物的种植面积必须是非负的
作物的亩产量和2023年一样
种植成本和2023年一样
平旱地、梯田、山坡地：适宜种植粮食类作物（如小麦、玉米等）。
水浇地适合种植一季水稻或两季蔬菜。
普通大棚每年种植一季蔬菜和一季食用菌。
智慧大棚每年种植两季蔬菜。
控制产量较大的作物。

（3）第二小问

目标是最大化收益，在考虑市场需求的前提下，适度增加高产作物的种植面积，利用降价销售的方式提高总收益。因为超出部分可以降价继续销售。则建立最大化收益目标，可以考虑部分产量降价出售。

合理分配两季作物种植的耕地，尤其是智慧大棚和水浇地，最大化利用它们的多季种植优势。

目标函数：最大化收益

约束：

粮食有黄豆、黑豆、红豆、绿豆、爬豆、小麦、玉米、谷子、高粱、黍子、荞麦、南瓜、红薯、莜麦、大麦、水稻。
蔬菜有豇豆、刀豆、芸豆、土豆、西红柿、茄子、菠菜、青椒、菜花、包菜、油麦菜、小青菜、黄瓜、生菜、辣椒、空心菜、黄心菜、芹菜、大白菜、白萝卜、红萝卜。
食用菌有榆黄菇、香菇、白灵菇、羊肚菌。
总产量小于或等于2023预期销售量。
所有种植作物的总面积不超过可用耕地总面积

所有作物的种植面积必须是非负的
作物的亩产量和2023年一样
种植成本和2023年一样
平旱地、梯田、山坡地：适宜种植粮食类作物（如小麦、玉米等）。
水浇地适合种植一季水稻或两季蔬菜。
普通大棚每年种植一季蔬菜和一季食用菌。
智慧大棚每年种植两季蔬菜。
优先考虑种植高产量作物的种植面积（不同点）
优先使用智慧大棚和水浇地

（4）隐藏的第三小问

在2024的方案基础上，微调方案，增加两条约束，重新计算出2025、2026、2027、2028、2029、2030的分配计划。要求考虑两点

每种作物在同一地块都不能连续重茬种植。
从 2023 年开始要求每个地块的所有土地三年内至少种植一次豆类作物。

2.2 问题二

由于市场需求、气候、成本等因素的变化存在不确定性，在问题一的基础上要考虑更多的风险约束，和变量条件，目标仍然是最大化收益。并且提出假设不考虑滞销的问题，全部产出都能销售。首先针对2024年份，建立方案。

（1）确定主要的变化因素及其影响

预期销售量的变化：
- 小麦、玉米：未来预期销售量有增长趋势，年增长率介于 5%~10% 之间。这意味着在 2024~2030 年内，种植这些作物的潜在收益增加，因此需要优先考虑这些作物的种植面积。
- 其他农作物：每年预期销售量变化为±5%，需根据市场需求调整种植策略，以应对可能的需求减少或增加。
亩产量的变化：
- 所有作物：亩产量每年可能有±10%的变化，受气候等因素的影响。这一不确定性增加了种植的风险，特别是对于产量波动大的作物。需要考虑适当的风险分散，避免将大量耕地集中于高风险作物上。
种植成本的变化：
- 种植成本：每年增长5%左右。这意味着未来几年内种植成本将逐渐上升，因此在制定种植策略时，需要充分考虑成本控制，尤其是对于收益增长较慢或价格下降的作物。
销售价格的变化：
- 粮食类作物（小麦、玉米等）：销售价格基本稳定，因此收益主要依赖于销售量和产量的变化。
- 蔬菜类作物：每年销售价格增长5%左右，这意味着蔬菜类作物的潜在收益逐年增加。因此，需要适当扩大蔬菜的种植面积，特别是在大棚内的多季种植。
- 食用菌（尤其是羊肚菌）：销售价格稳中有降，每年下降1%~5%，其中羊肚菌下降幅度更大，达5%。因此，食用菌的种植面积应适当控制，特别是羊肚菌，种植面积应逐渐减少。

（2）在2024年最大化收益的目标函数下，增加约束条件

优先考虑高增长作物：

小麦和玉米：由于预期销售量每年增长 5%~10%，小麦和玉米的种植面积应逐年扩大，尤其是在适合单季种植粮食作物的平旱地和梯田中。这些地块可以优先分配给小麦和玉米。
蔬菜类作物：销售价格每年增长5%，因此在蔬菜类作物中选择高收益作物（如西红柿、黄瓜、大白菜等）进行扩种，特别是在大棚内可以进行多季种植的作物。智慧大棚和普通大棚可以优先用于蔬菜种植，以最大化收益。

减少低增长或价格下降作物的种植：

食用菌：由于食用菌价格每年下降 1%~5%，特别是羊肚菌价格下降较大，种植面积应逐步缩小。普通大棚可以优先用于其他高收益的蔬菜，减少食用菌的种植比例。
羊肚菌：由于其价格下降幅度最大，建议逐年减少其种植面积，并替换为其他收益更高的作物，如蔬菜类。

合理分散种植（可选）：

由于产量存在 ±10% 的变化，不能将过多土地集中于某一种作物，尤其是单季高产作物。需要进行多样化种植，将不同类型的作物合理分配到不同类型的地块，确保即使部分作物的产量波动较大，也不会对整体收益造成过大影响。

（3）2025-2030年种植策略调整

微调方案，增加约束

逐年扩大小麦、玉米的种植面积
随着食用菌价格的逐年下降，逐年减少食用菌（尤其是羊肚菌）种植面积

2.3 问题三

这个题是属于敏感性分析了，因为计算过程比较复杂，具体在做的时候就考虑2-3个点实验后对比分析问题2的结果即可，可以从收益差异、种植结构的差异的角度去分析。在问题二的数学模型上进行一些调整后，重新计算。

首先对数据进行分析，从亩产量、种植成本、销售单价三个方面，分析每类作物、每种地块类型之间的相关性。然后根据相关性（替代性）、互补性，选出可替代作物。

然后提出某条假设后，优先选择可替代产物后，分析变化。比如

假设市场对某类粮食作物的需求下降或种植成本上升，增加其他粮食作物的种植面积，分析收益和种植结构有何变化。
假设如果某类蔬菜的市场表现不好（如价格下跌或成本上升），可以考虑替代种植其他蔬菜类作物。

3 数学模型

3.1 问题一

你扮演一个专业的数学建模专家。请根据以下问题背景和问题，对我提出的问题分析思路建立详细的数学模型，需要给出详细的数学公式。要求step by step的有逻辑的输出，由于数据较多，以下表格只是提供了部分示例数据：

问题背景

耕地部分数据在附件1.csv，部分数据如下：

地块名称	地块类型	地块面积/亩
A1	平旱地	80
A2	平旱地	55

2023年的农作物种植方案在附件2.csv，部分数据如下：

作物编号	作物名称	作物类型	种植面积/亩	种植季次	种植地块
6	小麦	粮食	80	单季	A1
7	玉米	粮食	55	单季	A2

现有2023年销售数据在附件3.csv文件中，包含列有作物编号、作物名称、地块类型、种植季次、亩产量/斤、种植成本/(元/亩)、销售单价/(元/斤)，部分数据如下：

序号	作物编号	作物名称	地块类型	种植季次	亩产量/斤	种植成本/(元/亩)	销售单价/(元/斤)
1	1	黄豆	平旱地	单季	400	400	2.50-4.00
2	2	黑豆	平旱地	单季	500	400	6.50-8.50

问题一

假定各种农作物未来的预期销售量、种植成本、亩产量和销售价格相对于 2023 年保持稳定，每季种植的农作物在当季销售。如果某种作物每季的总产量超过相应的预期销售量，超过部分不能正常销售，超过部分滞销，造成浪费。求解2024年的最优种植方案。

问题分析

题目要求最大化种植收益并尽量减少浪费。设计最优的种植策略，需要结合不同地块的类型、面积，以及种植要求（单季、多季、轮作等），合理安排各类农作物的种植分配。要求尽量集中化种植，以方便田间管理，减少分散种植带来的管理难度和效率低下的问题。

首先分析种植资源和限制条件的数据

地块分类：明确乡村的不同类型地块，包括平旱地、梯田、山坡地、水浇地、普通大棚和智慧大棚。不同地块适合种植的作物类型不同：

平旱地、梯田、山坡地：适宜种植粮食类作物（如小麦、玉米等）。
水浇地：适合种植一季水稻或两季蔬菜。
普通大棚：每年种植一季蔬菜和一季食用菌。
智慧大棚：每年种植两季蔬菜。

地块面积：每个地块的耕地面积不同，决定了各地块能承载的种植规模。例如，A1 地块有 80 亩，F1 智慧大棚为 0.6 亩。

轮作制度：由于豆类作物的根菌作用，要求三年内每个地块至少种植一次豆类作物。必须合理安排豆类作物的轮种，避免重茬种植。

种植物分类：

粮食：黄豆、黑豆、红豆、绿豆、爬豆、小麦、玉米、谷子、高粱、黍子、荞麦、南瓜、红薯、莜麦、大麦、水稻。
蔬菜：豇豆、刀豆、芸豆、土豆、西红柿、茄子、菠菜、青椒、菜花、包菜、油麦菜、小青菜、黄瓜、生菜、辣椒、空心菜、黄心菜、芹菜、大白菜、白萝卜、红萝卜。
食用菌：榆黄菇、香菇、白灵菇、羊肚菌。

市场需求和产量：

各类农作物在6种耕地的亩产量：可附件2中的”2023年统计的相关数据“进行统计计算，每种农作物在每种耕地上的亩产量唯一，即同一种农作物，不同的耕地产量会不一样。
市场预期销售量：注意，这里计算销售量，是以季为单位，分别计算第一季的销售量为S1，第二季的销售量为S2
种植成本：种植成本只和农作物有关，与耕地类型无关。
销售价格都保持和2023一样，一种农作物一个季度，一个价格，即同一种农作物，不同的季度价格不一样。

数学模型

目标函数：2024最大化产量

约束：

粮食有黄豆、黑豆、红豆、绿豆、爬豆、小麦、玉米、谷子、高粱、黍子、荞麦、南瓜、红薯、莜麦、大麦、水稻。
蔬菜有豇豆、刀豆、芸豆、土豆、西红柿、茄子、菠菜、青椒、菜花、包菜、油麦菜、小青菜、黄瓜、生菜、辣椒、空心菜、黄心菜、芹菜、大白菜、白萝卜、红萝卜。
食用菌有榆黄菇、香菇、白灵菇、羊肚菌。
所有种植作物的总面积不超过可用耕地总面积

所有作物的种植面积必须是非负的
作物的亩产量和2023年一样，（E_{作物，地块类型，季度}）
种植成本和2023年一样
平旱地、梯田、山坡地：适宜种植粮食类作物（如小麦、玉米等）
水浇地适合种植一季水稻或两季蔬菜
普通大棚每年种植一季蔬菜和一季食用菌
智慧大棚每年种植两季蔬菜
优先考虑产量较大的作物
总产量小于或等于2023预期销售量
严格限制每个作物的种植面积，使得产量与2023的销售量匹配

问题背景

耕地部分数据在附件1.csv，部分数据如下：

地块名称	地块类型	地块面积/亩
A1	平旱地	80
A2	平旱地	55

2023年的农作物种植方案在附件2.csv，部分数据如下：

作物编号	作物名称	作物类型	种植面积/亩	种植季次	种植地块
6	小麦	粮食	80	单季	A1
7	玉米	粮食	55	单季	A2

序号	作物编号	作物名称	地块类型	种植季次	亩产量/斤	种植成本/(元/亩)	销售单价/(元/斤)
1	1	黄豆	平旱地	单季	400	400	2.50-4.00
2	2	黑豆	平旱地	单季	500	400	6.50-8.50

问题

小麦和玉米未来的预期销售量有增长的趋势，平均年增长率介于5%~10%之间，其他农作物未来每年的预期销售量相对于 2023 年大约有±5%的变化。农作物的亩产量往往会受气候等因素的影响，每年会有±10%的变化。因受市场条件影响，农作物的种植成本平均每年增长 5%左右。粮食类作物的销售价格基本稳定；蔬菜类作物的销售价格有增长的趋势，平均每年增长5%左右。食用菌的销售价格稳中有降，大约每年可下降1%~5%，特别是羊肚菌的销售价格每年下降幅度为5%。请综合考虑各种农作物的预期销售量、亩产量、种植成本和销售价格的不确定性以及潜在的种植风险，求解 2024~2030 年农作物的最优种植方案。

问题分析思路

（1）确定主要的变化因素及其影响

预期销售量的变化：
- 小麦、玉米：未来预期销售量有增长趋势，年增长率介于 5%~10% 之间。这意味着在 2024~2030 年内，种植这些作物的潜在收益增加，因此需要优先考虑这些作物的种植面积。
- 其他农作物：每年预期销售量变化为±5%，需根据市场需求调整种植策略，以应对可能的需求减少或增加。
亩产量的变化：
- 所有作物：亩产量每年可能有±10%的变化，受气候等因素的影响。这一不确定性增加了种植的风险，特别是对于产量波动大的作物。需要考虑适当的风险分散，避免将大量耕地集中于高风险作物上。
种植成本的变化：
- 种植成本：每年增长5%左右。这意味着未来几年内种植成本将逐渐上升，因此在制定种植策略时，需要充分考虑成本控制，尤其是对于收益增长较慢或价格下降的作物。
销售价格的变化：
- 粮食类作物（小麦、玉米等）：销售价格基本稳定，因此收益主要依赖于销售量和产量的变化。
- 蔬菜类作物：每年销售价格增长5%左右，这意味着蔬菜类作物的潜在收益逐年增加。因此，需要适当扩大蔬菜的种植面积，特别是在大棚内的多季种植。
- 食用菌（尤其是羊肚菌）：销售价格稳中有降，每年下降1%~5%，其中羊肚菌下降幅度更大，达5%。因此，食用菌的种植面积应适当控制，特别是羊肚菌，种植面积应逐渐减少。

（2）在2024年最大化收益的目标函数下，增加约束条件

优先考虑高增长作物：

小麦和玉米：由于预期销售量每年增长 5%~10%，小麦和玉米的种植面积应逐年扩大，尤其是在适合单季种植粮食作物的平旱地和梯田中。这些地块可以优先分配给小麦和玉米。
蔬菜类作物：销售价格每年增长5%，因此在蔬菜类作物中选择高收益作物（如西红柿、黄瓜、大白菜等）进行扩种，特别是在大棚内可以进行多季种植的作物。智慧大棚和普通大棚可以优先用于蔬菜种植，以最大化收益。

减少低增长或价格下降作物的种植：

食用菌：由于食用菌价格每年下降 1%~5%，特别是羊肚菌价格下降较大，种植面积应逐步缩小。普通大棚可以优先用于其他高收益的蔬菜，减少食用菌的种植比例。
羊肚菌：由于其价格下降幅度最大，建议逐年减少其种植面积，并替换为其他收益更高的作物，如蔬菜类。

合理分散种植（可选）：

由于产量存在 ±10% 的变化，不能将过多土地集中于某一种作物，尤其是单季高产作物。需要进行多样化种植，将不同类型的作物合理分配到不同类型的地块，确保即使部分作物的产量波动较大，也不会对整体收益造成过大影响。

（3）2025-2030年种植策略调整

微调方案，增加约束

逐年扩大小麦、玉米的种植面积
随着食用菌价格的逐年下降，逐年减少食用菌（尤其是羊肚菌）种植面积

3.2 问题二

4 代码实现

你扮演一个专业的数学建模专家，擅长Python编程。请根据以下问题背景、问题、针对问题建立的数学模型，要求，首先用python实现对表格数据的统计和分析，然后根据统计的数据使用Python工具包求解模型，并python实现输出种植方案表格表5。输出代码，要求step by step的有逻辑的输出，由于数据较多，以下表格只是提供了部分示例数据。输出中文。

问题背景

(2) 水浇地每年可以单季种植水稻或两季种植蔬菜作物。

(3) 若在某块水浇地种植两季蔬菜，第一季可种植多种蔬菜（大白菜、白萝卜和红萝卜除外）；第二季只能种植大白菜、白萝卜和红萝卜中的一种（便于管理）。

(4) 根据季节性要求，大白菜、白萝卜和红萝卜只能在水浇地的第二季种植。

(5) 普通大棚每年种植两季作物，第一季可种植多种蔬菜（大白菜、白萝卜和红萝卜除外），第二季只能种植食用菌。

(6) 因食用菌类适应在较低且适宜的温度和湿度环境中生长，所以只能在秋冬季的普通大棚里种植。

(7) 智慧大棚每年都可种植两季蔬菜（大白菜、白萝卜和红萝卜除外）。

耕地部分数据在”乡村的现有耕地.csv”，部分数据如下：

地块名称	地块类型	地块面积/亩
A1	平旱地	80
A2	平旱地	55

农作物适宜的耕地类型和季度，在“乡村种植的农作物.csv“中，部分数据如下：

作物编号	作物名称	作物类型	种植耕地
1	黄豆	粮食（豆类）	平旱地梯田山坡地（单季）

2023年的农作物种植方案在”2023种植情况.csv“，部分数据如下：

作物编号	作物名称	作物类型	种植面积/亩	种植季次	种植地块
6	小麦	粮食	80	单季	A1
7	玉米	粮食	55	单季	A2

现有2023年的统计数据在”2023年统计的相关数据.csv“中，部分数据如下：

序号	作物编号	作物名称	地块类型	种植季次	亩产量/斤	种植成本/(元/亩)	销售单价/(元/斤)
1	1	黄豆	平旱地	单季	400	400	2.50-4.00
2	2	黑豆	平旱地	单季	500	400	6.50-8.50

问题

假定各种农作物未来的预期销售量、种植成本、亩产量和销售价格相对于 2023 年保持稳定，每季种植的农作物在当季销售。如果某种作物每季的总产量超过相应的预期销售量，超过部分滞销，造成浪费，分别计算出 2024到2030 年农作物的最优种植方案，将结果分别填入表格中，格式如下表5，其中表格分为两部分，一部分是第一季度，一部分是第二季度：

地块名	黄豆	黑豆	红豆	绿豆	爬豆	…
A1
A2
A3

数学模型

$x_{c,l,t}$ ：在第 $t$ 季节，种植作物 $c$ 在地块 $l$ 上的面积（单位：亩）。
$p_{c,l,t}$ ：作物 $c$ 在地块 $l$ 在第 $t$ 季节的亩产量（单位：斤/亩）。
$s_{c,t}$ ：作物 $c$ 在第 $t$ 季节的销售单价（元/斤）。
$d_{c,t}$ ：作物 $c$ 在第 $t$ 季节的市场需求（斤），即预期销售量。
$c_{c}$ ：作物 $c$ 的种植成本（元/亩）。
$C_{\text{grain}}$ ：粮食类作物集合（例如：黄豆、小麦、玉米等）。
$C_{\text{rice}}$ ：水稻作物集合。
$C_{\text{vegetable}}$ ：蔬菜类作物集合（例如：番茄、黄瓜、辣椒等）。
$C_{\text{mushroom}}$ ：食用菌作物集合（例如：香菇、榆黄菇等）。
$L_{\text{flatland}}$ ：平旱地、梯田、山坡地集合。
$L_{\text{irrigated}}$ ：水浇地集合。
$ordinary_greenhouse L_{\text{ordinary\_greenhouse}}$ ：普通大棚集合。
$smart_greenhouse L_{\text{smart\_greenhouse}}$ ：智慧大棚集合。

1.目标函数

目标是最大化净收益
$\text{Maximize: } Z = \sum_{c,t} \sum_{l} \min(x_{c,l,t} \cdot p_{c,l,t}, d_{c,t}) \cdot s_{c,t} - \sum_{c,t} \sum_{l} x_{c,l,t} \cdot c_{c}$
其中， $\min(x_{c,l,t} \cdot p_{c,l,t}, d_{c,t})$ 表示实际销售量，即产量和需求之间的较小值，以避免滞销。

2. 约束条件

(1) 地块面积约束

每个地块的种植面积不能超过该地块的总面积，其中， $A_{l}$ 是地块 $l$ 的总面积。
$\sum_{c} x_{c,l,t} \leq A_{l}, \quad \forall l, t \$

(2) 地块类型限制

平旱地、梯田、山坡地：仅允许种植粮食类作物。
$x_{c,l,t} = 0, \quad \forall c \notin C_{\text{grain}}, \ l \in L_{\text{flatland}}, \ t = 1$
水浇地：允许种植水稻或蔬菜。
$x_{c,l,t} = 0, \quad \forall c \notin (C_{\text{rice}} \cup C_{\text{vegetable}}), \ l \in L_{\text{irrigated}}, \ t \leq 2$
普通大棚：第 1 季节种蔬菜，第 2 季节种食用菌。
$ordinary_greenhouse , t = 1 x_{c,l,t} = 0, \quad \forall c \notin C_{\text{vegetable}}, \ l \in L_{\text{ordinary\_greenhouse}}, \ t = 1$

$ordinary_greenhouse , t = 2 {c,l,t} = 0, \quad \forall c \notin C_{\text{mushroom}}, \ l \in L_{\text{ordinary\_greenhouse}}, \ t = 2$
智慧大棚：每季只能种植蔬菜。
$smart_greenhouse , t ≤ 2 x_{c,l,t} = 0, \quad \forall c \notin C_{\text{vegetable}}, \ l \in L_{\text{smart\_greenhouse}}, \ t \leq 2$

(3) 市场需求约束

每季作物的总产量不得超过市场需求：
$\sum_{l} x_{c,l,t} \cdot p_{c,l,t} \leq d_{c,t}, \quad \forall c, t$

(5) 非负性约束

种植面积必须为非负：
$x_{c,l,t} \geq 0, \quad \forall c, l, t$

在以下代码的基础上，实现数学模型的所有约束条：

代码

import pandas as pd# 加载地块数据
land_data = pd.read_csv('data/附件1-乡村的现有耕地.csv',encoding='gbk')
# 加载作物数据
crop_data = pd.read_csv('data/附件1-乡村种植的农作物.csv',encoding='gbk')
# 加载2023年种植数据
planting_2023 = pd.read_csv('data/附件2-2023年的农作物种植情况.csv',encoding='gbk')
# 加载2023年统计数据
stats_2023 = pd.read_csv('data/附件2-2023年统计的相关数据.csv',encoding='gbk')# 查看数据的前几行，确保数据加载正确
print("地块数据：")
print(land_data.head())
print("\n作物数据：")
print(crop_data.head())
print("\n2023年种植数据：")
print(planting_2023.head())
print("\n2023年统计数据：")
print(stats_2023.head())# 函数：处理价格范围，返回平均值
def process_price_range(price_range):if isinstance(price_range, str) and '-' in price_range:# 分割字符串，获取最小值和最大值min_price, max_price = map(float, price_range.split('-'))# 返回平均值return (min_price + max_price) / 2else:# 如果不是范围，直接返回浮点数return float(price_range)stats_2023['销售单价/(元/斤)'] =    stats_2023['销售单价/(元/斤)'].apply(process_price_range)# 合并地块数据和2023年种植情况，统计各地块种植的作物面积与类型
merged_data = pd.merge(planting_2023, land_data, left_on='种植地块', right_on='地块名称')stats_2023.set_index('作物编号', inplace=True)def calculate_yield(x):crop_id = x[x.index]  # 获取当前分组的作物编号yield_per_acre = stats_2023.loc[crop_id, '亩产量/斤']return sum(yield_per_acre)
planting_stats = merged_data.groupby(['地块名称', '作物名称', '作物编号']).agg(total_area=('地块面积/亩', 'sum'),# 总面积total_yield=('作物编号', calculate_yield) # 总产量
).reset_index()
print(planting_stats.head())from pulp import LpMaximize, LpProblem, LpVariable, lpSumfrom pulp import LpMaximize, LpProblem, LpVariable, lpSum
# 创建线性规划模型
model = LpProblem(name="farm-planting-optimization", sense=LpMaximize)# 创建决策变量
variables = {}
for _, land in land_data.iterrows():land_name = land['地块名称']land_area = land['地块面积/亩']for _, crop in crop_data.iterrows():crop_name = crop['作物名称']var = LpVariable(f"x_{crop_name}_{land_name}", lowBound=0, upBound=land_area)variables[(crop_name, land_name)] = var# 添加目标函数：净收益
profit_terms = []
for (crop_name, land_name), var in variables.items():yield_per_acre = stats_2023.loc[stats_2023['作物名称'] == crop_name, '亩产量/斤'].values[0]cost_per_acre = stats_2023.loc[stats_2023['作物名称'] == crop_name, '种植成本/(元/亩)'].values[0]price_per_pound = stats_2023.loc[stats_2023['作物名称'] == crop_name, '销售单价/(元/斤)'].values[0]profit = var * yield_per_acre * price_per_pound - var * cost_per_acreprofit_terms.append(profit)model += lpSum(profit_terms), "总净收益"# 约束 1：地块面积限制
for _, land in land_data.iterrows():land_name = land['地块名称']land_area = land['地块面积/亩']model += lpSum([variables[(crop_name, land_name)] for crop_name in crop_data['作物名称']]) <= land_area, f"地块面积约束_{land_name}"# 约束 2：地块类型限制
grain_crops = crop_data[crop_data['作物类型'] == '粮食']['作物名称'].tolist()
vegetable_crops = crop_data[crop_data['作物类型'] == '蔬菜']['作物名称'].tolist()
rice_crops = crop_data[crop_data['作物名称'] == '水稻']['作物名称'].tolist()
mushroom_crops = crop_data[crop_data['作物名称'] == '食用菌']['作物名称'].tolist()for _, land in land_data.iterrows():land_name = land['地块名称']land_type = land['地块类型']if land_type in ['平旱地', '梯田', '山坡地']:for crop_name in crop_data['作物名称']:if crop_name not in grain_crops:model += variables[(crop_name, land_name)] == 0, f"地块类型约束_粮食_{land_name}_{crop_name}"elif land_type == '水浇地':for crop_name in crop_data['作物名称']:if crop_name not in (rice_crops + vegetable_crops):model += variables[(crop_name, land_name)] == 0, f"地块类型约束_水浇地_{land_name}_{crop_name}"elif land_type == '普通大棚':for crop_name in crop_data['作物名称']:if crop_name not in vegetable_crops:model += variables[(crop_name, land_name)] == 0, f"地块类型约束_普通大棚_第1季_{land_name}_{crop_name}"if crop_name not in mushroom_crops:model += variables[(crop_name, land_name)] == 0, f"地块类型约束_普通大棚_第2季_{land_name}_{crop_name}"elif land_type == '智慧大棚':for crop_name in crop_data['作物名称']:if crop_name not in vegetable_crops:model += variables[(crop_name, land_name)] == 0, f"地块类型约束_智慧大棚_{land_name}_{crop_name}"# 约束 3：市场需求限制
for _, crop in crop_data.iterrows():crop_name = crop['作物名称']for t in range(1, 3):  # 假设有两个季节demand = stats_2023.loc[stats_2023['作物名称'] == crop_name, '亩产量/斤'].values[0]yield_per_acre = stats_2023.loc[stats_2023['作物名称'] == crop_name, '亩产量/斤'].values[0]model += lpSum([variables[(crop_name, land_name)] * yield_per_acre for land_name in land_data['地块名称']]) <= demand, f"市场需求约束_{crop_name}_季_{t}"# 求解模型
model.solve()# 输出结果
print(f"最优目标值：{model.objective.value()}")# 打印变量值
for var in model.variables():print(f"{var.name} = {var.value()}")

约束条件

(1) 地块面积约束

每个地块的种植面积不能超过该地块的总面积，其中， $A_{l}$ 是地块 $l$ 的总面积。
$\sum_{c} x_{c,l,t} \leq A_{l}, \quad \forall l, t \$

(2) 地块类型限制

平旱地、梯田、山坡地：仅允许种植粮食类作物。
$x_{c,l,t} = 0, \quad \forall c \notin C_{\text{grain}}, \ l \in L_{\text{flatland}}, \ t = 1$
水浇地：允许种植水稻或蔬菜。
$x_{c,l,t} = 0, \quad \forall c \notin (C_{\text{rice}} \cup C_{\text{vegetable}}), \ l \in L_{\text{irrigated}}, \ t \leq 2$
普通大棚：第 1 季节种蔬菜，第 2 季节种食用菌。
$ordinary_greenhouse , t = 1 x_{c,l,t} = 0, \quad \forall c \notin C_{\text{vegetable}}, \ l \in L_{\text{ordinary\_greenhouse}}, \ t = 1$

$ordinary_greenhouse , t = 2 {c,l,t} = 0, \quad \forall c \notin C_{\text{mushroom}}, \ l \in L_{\text{ordinary\_greenhouse}}, \ t = 2$
智慧大棚：每季只能种植蔬菜。
$smart_greenhouse , t ≤ 2 x_{c,l,t} = 0, \quad \forall c \notin C_{\text{vegetable}}, \ l \in L_{\text{smart\_greenhouse}}, \ t \leq 2$