数学建模 第二讲 - 初等建模

绪论

主要内容:介绍以下几个初等模型,椅子问题、席位分配问题、行走步长问题、实物交换模型。
主要目的:体会数学建模的形式多样性与方法多样性,了解建模思想,着重理解由现实问题向数学问题的转化过程。

一、椅子问题

问题 四条腿长度相等的方椅子放在不平的地面上,四条腿能否同时着地?

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问题的转化
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结论:如果地面是连续变化的,则四条腿能够同时落地。

思考:
1、方椅子改为长方形椅子,结论如何?
2、地球为球面的一部分时,结论如何?

椅子问题的解决关键是引入变量θ,一是可以用θ表示椅子的位置,二是椅子腿与地面的距离可以表示为θ的连续函数,再利用函数的介值定理使这一问题解决得非常巧妙而简单。

二、席位分配问题

某学校有 200名学生,甲系100名,乙系60名,丙系 40名,若学生会设 20个代表席位,公平而又简单的分配方法是三个系分别为 10,6,4名代表。但若三个系的人数分别为:103人,63人,34人,仍按比例分配席位,则出现小数。在整数部分 19 席分配完后,剩下的一席按惯例分给余数最大的丙系,于是三个系仍分别有 10,6,4个代表席位。
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为避免表决提案时出现 10:10 的情形,决定增加一个席位,于是按照惯例重新分配席位。
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令人吃惊的是增加了一个席位,丙系反而少了一席,产生了矛盾,因此丙系提出异议,认为按惯例方法分配席位不“公平”应加以修改。
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结论 当(2)式成立时,新增的1个席位应当分给A方;反之,应分配给 B方。

将上述方法推广到 m 方分配席位的情况。记
P(i= 1,2,...,m)Qi=ni(ni+ 1)

当增加一个席位时,这一席位应分配给Q;值最大的一方,然后重新计算 Qi(i=1,2,…,m),直到所有席位分配完为止。此方法称为 Q 值方法。
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三、行走步长问题

问题 :人在匀速行走时步长多大最省劲?设人的体重为 M,腿重为 m,腿长为l,速度为 ū,单位时间步数为 n,步长为。(u = nx)
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人行走时所做的功可以认为转化成两部分:一部分抬高人体重心,转化为势能,另一部分转化为两腿运动的动能(上身运动的动能是常数,与步长无关,故不考虑)。下面分别计算之。

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四、实物交换问题

实物交换的原则是:互通有无,等价交换。根据双方的需要的迫切程度,“等价”的概念可以不同。
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结语

数学建模学习中可能遇到很多种问题假设,思维打开,多做实践,问题自然迎刃而解。希望对看到的小伙伴有帮助,多多交流哦!

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