2024年中国研究生数学建模竞赛D题

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特点：通常围绕交通、物流、能源等领域的规划和决策问题，需要考虑多种约束条件和优化目标，具有较强的综合性。
研究方法：建立优化模型，明确目标函数和约束条件，运用运筹学中的优化算法，如线性规划、整数规划、动态规划等进行求解。同时，要进行敏感性分析，探讨不同参数对结果的影响。
·线性规划和整数规划：解决资源分配和路径规划问题。
·动态规划：处理多阶段决策过程。
·图论算法：如最短路径算法、最大流算法等

大数据驱动的地理综合问题

地理系统是自然、人文多要素综合作用的复杂巨系统[1-2]，地理学家常用地理综合的方式对地理系统进行主导特征的表达[3]。如以三大阶梯概括中国的地形特征，以秦岭—淮河一线和其它地理区划的方式揭示中国气温、降水、植被、土壤及生态环境在水平和垂直方向上的地带性与非地带性规律，利用胡焕庸线[4]、T型开发结构等描绘我国人口、社会和经济发展的总体格局。这些方法早期以宏观结构和定性分析为主体，对我国生态保护、社会经济发展和国家安全保障起到了巨大的支撑作用。伴随着对地观测体系的快速发展，当前已经积累了巨量的对地观测数据。如何利用大数据的手段对地理系统进行综合[5-6]，探索全球气候变化下中国地理环境的演化，是当前地球科学研究的关键问题。

请利用“附件数据”一栏中列出的描述全球和中国地理不同方面特征的数据集，回答以下问题：

1. 在众多描述地理环境的变量中，一些简单的指标背后蕴藏了深厚的内涵，对人类的生存发展具有重大深远的影响，如大气中二氧化碳的浓度、全球年平均气温等。降水量是一个连续变化的变量，而土地利用/土地覆被类型则是一个存在突变和离散分布的变量。同时，它们都具有时空分布不均匀的特征。请从附件数据中选取相关数据集，为这两个变量分别构建一套描述性统计方法，用1~3个较为简洁的统计指标或统计图表，对这两个变量在1990~2020年间中国范围内的时空演化特征进行描述和总结。
2. 近年来，以暴雨为代表的极端天气事件对人类的生产生活造成了越来越难以忽视的影响。请结合附件中所给的数据，建立数学模型，说明地形-气候相互作用在极端天气形成过程中的作用。
3. 降雨、地形和土地利用对于暴雨等极端天气灾害的形成都具有不可忽视的影响。这其中，降雨的时空变异性和不可控性都最强；土地利用作为自然条件和人类活动的综合结果，虽然也随时空演化，但具有一定可控性；地形是最为稳定、不易改变的因素。请考虑第2问所反映的从“暴雨”到“灾害”中上述三方面因素的角色及其交互作用，确定暴雨成灾的临界条件；并结合第1问中降雨量和土地利用/土地覆被变化的历史时空演化特征，对2025~2035年间中国境内应对暴雨灾害能力最为脆弱的地区进行预测。请以地图的形式呈现你们的预测结果。
4. 在中国级别的尺度上，描述自然地理特征的地形可以概括为“三级阶梯”，而降水中具有标志性意义的“800mm等降水量线”则与区分我国南北方的“秦岭—淮河”一线大体重合；描述人文地理特征的人口分布及其社会经济活动总量等指标，则被由连接黑龙江黑河与云南腾冲的“胡焕庸线”清晰地划分成东密西疏的两部分。那么，对于自然地理和人文地理交汇点的土地利用/土地覆被情况，结合其在前三问中描述、估计和预测任务中的“特性”，利用地理大数据，建立相应的数学模型，对数据进行简化和综合，描述中国土地利用变化的特征与结构。从准确性和有用性两个方面解释验证你们的总结。

2024年中国研究生数学建模竞赛E题

高速公路应急车道紧急启用模型

高速公路拥堵现象的原因众多，除了交通事故外，最典型的就是部分路段出现瓶颈现象，主要原因是车辆汇聚，而拥堵后又容易蔓延。高速公路一些特定的路段容易形成堵点，如匝道出入口或桥梁入口等。当然，有些高速公路受各种因素的影响，车道较少，通行能力受限也是主要因素之一。交通事故是偶然的，随机的，难以控制，不在本题的讨论范围内。拓宽路幅也可以很好地解决拥堵，但这也不是本题需要考虑的。这里，我们仅考虑在现有条件下，如何最大限度地利用资源？对于某些特定的情况，如果能在道路拥堵前采取一定措施，就可以化解一次拥堵。

    高速公路建设时，往往会在右侧增设应急车道，以应对工程救险、消防救援、医疗救护等应急车辆需求。通常情况下，应急车道是救生通道，不能随意占用，但若合理使用，比如在某路段通过上、中、下游交通流量的监控发现很有可能会发生拥堵，而该路段没有发生事故的情况下，允许使用应急车道，及时降低车流密度，很有可能会避免一次大拥堵。高速管理部门一直在探索如何合理使用应急车道，多数情况下，管理者往往通过多路段的视频监控，凭借经验决定是否允许临时使用应急车道。这样的做法一方面因缺少理论依据容易引起争议，另一方面对缓解拥堵效果也难以评价。所以建立数学模型发掘高速公路特定路段即将发生拥堵的条件，评估临时借用应急车道对缓解道路拥堵的作用具有重要的理论和现实意义。

如果在紧急情况下临时使用应急车道，需要在高速公路沿线布置一些告示装置（包括显示屏或语音），用于实时发布沿线车辆可利用（结束）应急车道的通告。当通过报警或无人机巡查发现该路段有交通事故发生时，再通过告示装置让正在应急车道上的车辆撤到行车道上（为了提高车辆撤离的效率，可通过无人机或沿途的高清摄像头将还在应急车道上的车牌显示在路旁的告示装置上），这样可以不影响道路救援。

问题：

1. 某路段（长度约5000m，行车道2+应急车道1）上有四个视频观测点（见示意图1）。请基于该路段四个视频数据解决如下问题：

（1）针对题目提供的数据，统计四个观测点的交通流参数随时间的变化规律（更精细的统计可以更有利于未来建模）；

（2）建立交通流拥堵模型，利用交通流在四个观测点的基本参数（车流密度、流量、速度等）以及道路情况（两行车道），给出从第三点到第四点之间路段可能（没有拥堵之前）出现持续（比如持续时间半小时）拥堵状态的实时预警（比如拥堵10分钟前预警）及依据；

（3） 请利用视频数据验证所建模型的有效性。

024年中国研究生数学建模竞赛F题

X射线脉冲星光子到达时间建模

脉冲星（Pulsar）是高速自转的中子星，具有体积小、密度大的特征。脉冲星的高速自转会形成脉冲，而脉冲的周期其实就是脉冲星的自转周期 。在旋转过程中，脉冲星的磁场会形成强烈的电磁波，就像是“宇宙中的灯塔”，源源不断地、有规律地向外界发射电磁波。正是由于其自转的连续性和稳定性，脉冲星被认为是宇宙中最精确的时钟。脉冲星可以提供独立、稳定的空间参考基准和时间基准，为空间飞行提供导航信标。深空航天器导航以及时间基准的维持对于大国战略安全、航天技术发展、深空探测等都有重要意义。

由于X射线信号不能穿过地球大气，因此脉冲星的X射线波段观测只能在空间开展。2016年11月，我国发射了首颗X射线脉冲星导航试验卫星（X-ray Pulsar Navigation-1, XPNAV-1）对蟹状星云Crab脉冲星（PSR B0531+21）进行观测。Crab脉冲星位于超新星1054 AD（Anno Domini，此处指公元1054年）中心处，是恒星、超新星爆发后在蟹状星云中的残骸，自转周期约为33ms，在X射线波段具有很强的流量，辐射的X射线光子可被空间X射线探测器探测。

在观测过程中，由于卫星不断围绕地球转动，所以卫星轨道位置是实时变化的。在三维空间内描述轨道上的一点，需要六个轨道根数（或称轨道要素、轨道元素或轨道参数），包括：偏心率

、角动量

、真近点角

以及升交点赤经

（具体含义见附录）。为恢复脉冲星的周期性信号，需要将光子到达探测器的时刻转换到惯性系中某一参考点，如太阳系质心天球参考系（Barycentric Celestial Reference System，BCRS）中的坐标原点，即太阳系质心（Solar System Barycenter，SSB）。

脉冲星、卫星和太阳系质心的几何关系如图1所示，X射线脉冲星导航（XPNAV）原理与GPS的差分定位（DGPS）原理类似，均是基于到达时间测距。DGPS是通过比较地面监控站和接收机接收相同卫星的信号传播时间，从而确定接收机的位置和速度等参数。XPNAV则是通过比较脉冲到达太阳系质心和观察航天器（卫星等）接收相同脉冲星的脉冲到达时间实现航天器的定位导航，因此，需要分别计算脉冲到达航天器与太阳系质心的传播时间差，进而求解航天器相对于太阳系质心的位置。求这个时间差的公式也称为时间转化方程，然而，现有的时间转换模型并不令人满意。

图1  脉冲星、卫星和太阳系质心的几何关系

脉冲星信号传播过程受多种因素的共同干扰，包括：

1. 真空几何传播时延（Roemer时延）：指在理想真空环境中，信号以光速进行传播所产生的时间延迟。
2. Shapiro时延：这是光子在通过强引力场（如太阳引力场）时，由于引力弯曲路径所产生的额外时间延迟。引力场引起的光线弯曲如图2所示。
3. “引力红移”效应：是爱因斯坦的广义相对论一个重要概念，描述了光或电磁波在强引力场中传播时，频率会降低，波长会变长的现象。这意味着，当脉冲星信号穿过不同的引力场区域，如太阳的引力场时，其频率会发生变化。
4. “动钟变慢”效应：是狭义相对论中的一个重要概念，描述了高速运动下时间膨胀的现象。当卫星以高速在轨道上运行时，其上的时间相对于静止参考系中的时间会变慢，这种效应在高精度时间测量中尤为重要。
5. 脉冲星自行：指脉冲星在天空中相对于其他天体的位置随时间发生变化。脉冲星自行对脉冲到达时间影响较大，分析过程中也要考虑其影响。

除此之外的其他时延（比如视差时延）由于影响相对较小，此处可以不考虑。

图2  引力场引起的光线弯曲

脉冲星辐射的X射线光子信号比较弱，且包含大量噪声。探测到的脉冲星在一个自转周期内的信号往往难以获得大量信息。但由于脉冲星信号的背景噪声一般不具有周期性，因此，利用脉冲星星历进行周期折叠，背景噪声将呈现随机分布。而脉冲信号具有周期性，脉冲部分将随着折叠的周期数增加而不断明显。因此，需要利用脉冲星星历对记录的归算至到达太阳系质心时刻的光子进行折叠，得到积分脉冲轮廓与标准脉冲轮廓。通过平移折叠轮廓并与标准轮廓比对，可以根据每段观测求出一个对应于主峰的脉冲到达时间（Time of Arrival，TOA），进一步服务于脉冲星的X射线计时研究与计时参数的精确拟合。

在轨运行的航天器无法记录到连续的脉冲信号，只能记录一系列脉冲星光子到达的时间。脉冲星光子到达探测器的时间服从非齐次泊松分布。在时间段

内，有

个光子到达探测器的概率为

其中，累计函数

，

，其中

分别为背景光子流量（背景噪声）与脉冲星的流量，

为归一化的脉冲轮廓函数。Crab脉冲星的标准脉冲轮廓曲线

如图3所示，具体数据见附件2。

图3  Crab脉冲星的标准脉冲轮廓曲线

脉冲星计时模型是一个以质心坐标时（Barycentric Coordinate Time，TCB）或质心力学时（Barycentric Dynamical Time，TDB）的函数形式表示的相位模型，用来预报脉冲星的自转相位和脉冲到达太阳系质心的时间。对于毫秒脉冲星而言，周期变化率小，略去频率二阶导数以上的高阶项，脉冲星计时模型可以表示为：

为时间

时刻的脉冲相位，

是

时刻的相位，

是脉冲星自转频率，

和

分别是

的一阶和二阶导数，

是参考历元时刻，上述参数都可以由脉冲星星历获得。采用上述模型可以对脉冲到达时间进行高精度预报（对于毫秒脉冲星，上述模型预报精度很高，不需要频繁更新）。

考虑到X射线波段脉冲星巡天观测成本较高且实际观测数据受多种因素共同干扰，为深入认识脉冲星光子的辐射过程，更好地开展脉冲星导航试验任务，有必要开展脉冲星光子序列仿真方法的研究。

请你们团队根据要求及附录中的相关参数建立数学模型解决以下问题：

问题1  请建立卫星轨道根数与其位置和速度关系的数学模型。若某一光子到达探测器时刻XPNAV-1卫星对应的轨道根数为

，请计算该时刻卫星在地心天球参考系（Geocentric Celestial Reference System，GCRS）中的三维位置

与速度

，并对轨道参数一致性和计算结果进行验证。

问题2  假设脉冲星辐射的X射线光子信号为平行光，忽略太阳系天体的自转和扁率，请建立脉冲星光子到达卫星与太阳系质心之间的真空几何传播时延模型。若光子到达卫星时刻对应的MJD（约化儒略日）为57062.0（TT时间尺度，其含义见附录），根据问题1中卫星在GCRS中的位置坐标，在得到其在太阳系质心坐标系中位置基础上，计算脉冲星光子到达卫星与太阳系质心的传播路径时间差。

问题3  在建立脉冲星光子到达航天器（卫星等）与太阳系质心之间的精确转换时延模型时，需要考虑脉冲星自行的影响以及几个关键的时延因素：几何传播时延、Shapiro时延、引力红移时延和狭义相对论的动钟变慢效应。在考虑脉冲星自行以及上述时延因素下，请建立脉冲星光子到达航天器与太阳系质心的精确转换时延模型。若光子到达探测器的时刻对应MJD为58119.1651507519，根据问题1中卫星的位置、速度以及附件4提供的脉冲星位置参考历元、自行参数信息，计算脉冲星光子到达航天器与太阳系质心间的时延（附件3提供了太阳系天体位置信息的DE系列历表）。

问题4  光子到达时刻的仿真可以更清楚地了解脉冲星信号的辐射过程。此外，X射线探测器发射成本高，信号仿真可以在缺少实测数据时开展脉冲星深空导航与守时方法研究。

1. 建立X射线脉冲星光子序列模型，并仿真Crab脉冲星光子序列。仿真条件为：仿真时间（即探测器观测脉冲星的时间）取10秒，背景光子流量密度，Crab脉冲星光子流量密度，探测器的有效面积为。
2. 根据Crab脉冲星的自转参数（见附件1），利用仿真的脉冲星光子序列折叠出脉冲轮廓（要求脉冲轮廓对应相位区间为）。
3. 在保持上述背景光子流量密度值不变基础上，请提出一种提高仿真精度的方法，从而更好展现脉冲星的辐射特性。