近期，斯隆奖得主马腾宇和Google Brain推理团队创始人Denny Zhou合作，提出了一项引人注目的数学证明：只要思维链（CoT）足够长，Transformer就有能力解决各种复杂问题。这一发现引发了广泛关注，因为它为Transformer模型在推理算力方面的Scaling Law揭示了巨大的潜能

他们通过严谨的数学方法证明，Transformer具备模拟任意多项式大小数字电路的能力。这一研究成果也成功入选ICLR 2024。

正如一些网友所说，CoT的集成缩小了Transformer与图灵机之间的差距，为其实现图灵完备性铺平了道路。

这意味着，神经网络理论上可以高效解决复杂问题。简而言之：Compute is all you need！

思维链（CoT）让Transformer更强大

首先，需要明确的是，“可以解决任何问题”是一个通俗化的说法。严格来说，论文的核心结论是，思维链（CoT）能够显著提升Transformer的表达能力。

作者首先通过理论分析指出，对于固定深度、多项式宽度、常数精度的Transformer模型，如果不使用CoT，其表达能力将受限于AC0问题类别。（AC0是一类可以在并行计算中高效解决的问题，但不包括需要复杂序列化计算的问题。）

在固定指数位的情况下，即使引入了舍入操作，固定深度、对数精度的Transformer模型也只能处理TC0问题类别。

然而，一旦引入CoT，固定深度、常数精度的Transformer模型就可以解决任何由大小为T的布尔电路所解决的问题。

这表明CoT显著扩展了模型的表达能力，使其能够处理更复杂的问题。

实验验证：四个核心问题

为了验证理论分析，论文在四个核心问题上进行了实验，考虑了基础（base）、CoT和提示（hint）三种不同的训练设置：

1. 模运算（Modular Addition）：并行计算问题，验证CoT在提升模型准确性方面的效果；

2. 置换群组合（Permutation Composition）：序列化计算问题，验证CoT在处理这类任务上的有效性；

3. 迭代平方（Iterated Squaring）：典型的序列化计算问题，展示CoT如何使模型有效求解；

4. 电路值问题（Circuit Value Problem）：一个P完全问题，验证CoT在模型深度较低时的有效性。

在模运算问题上，实验结果表明，所有设置下的Transformer都能学习模加；但在较长序列（如n=16）上，CoT展现出明显优势。这说明即使是并行问题，CoT也能提升效率。

在置换群复合任务中，输入是S_5置换群中的若干个置换，输出是它们的复合结果。结果显示，CoT显著提高了低深度模型的准确性。未使用CoT的Transformer即使深度较大，准确率也只有约20%；而使用CoT后，即使只有1层Transformer，准确率也达到了100%。

对于迭代平方任务，输入是一个质数p、一个整数r和若干个“^2”符号，输出是r^(2^k) mod p。实验结果与置换群复合任务类似：未使用CoT的情况下，即使是16层Transformer也难以学习；而使用CoT后，1层Transformer就能完美求解。

电路值问题的实验结果表明，在基准设置下，4层Transformer的准确率约为50%，8层约为90%，16层接近100%；而使用CoT后，1层Transformer即可达到接近100%的准确率。这验证了CoT赋予了Transformer模拟任意电路的能力，使其能够解决电路值问题这一P完全问题。

CoT+Transformer模拟门电路

除了上述实验，作者还进行了理论证明：

对于任何可以用多项式大小的布尔电路计算的函数，都存在一个仅有常数层数的Transformer，可以通过足够长的思维链（CoT）来模拟电路的计算过程，从而计算出这个函数。

证明的思路是先将布尔电路视为一系列逻辑门的组合，然后利用Transformer中的位置编码为每个逻辑门及其状态分配一个独特的表示，通过逐步计算来模拟整个电路的执行过程。

具体而言，对于一个有T(n)个门的电路，作者设计了一个4T(n)个token的输入序列。这个序列包含了电路的完整描述，每个门用4个连续的token表示：门类型、两个输入门的索引和当前门的索引，并用输入序列中的第一个token指示电路的输入值。

作者构造了一个常数深度的Transformer，该Transformer的嵌入维度只需要O(log n)，就足以对T(n)个门进行编码。通过将电路“展开”为一个长度为O(T(n))的思维链，Transformer逐步执行电路中的计算，并将中间结果存储在思维链中。最终，最后一个门的输出就对应了电路的最终输出。

在此基础上，作者进一步证明，具有O(T(n))长度CoT的常数深度Transformer，可以模拟任意T(n)大小的电路，因此其计算能力等价于多项式大小的电路。

理论打通，实际可行吗？

能够模拟电路的计算过程，意味着CoT+Transformer能够解决可计算问题。这也说明，只要有足够的CoT思考时间，大模型无需扩展尺寸也能解决复杂问题。

有专业人士用一篇长文解释了CoT和图灵完备性之间的关系：如果没有CoT，Transformer仅限于执行AC0复杂度类中的并行任务；而CoT推理从根本上改变了这一格局，使Transformer能够通过中间推理token处理串行计算，进入P/poly领域。

理论上，只要有足够的CoT步骤，Transformer就能模拟多项式大小电路可以执行的任何计算，缩小与图灵机之间的差距。

然而，实际应用的限制仍然存在，例如有限的上下文窗口和计算资源。要充分利用这一潜力，需要精细的模型设计和优化。

与OpenAI的“草莓”模型的联系

有人将这项成果与OpenAI的“草莓”模型o1联系到了一起——草莓同样是思考时间越长，准确性越高。按照这个思路，只要有好的模型，就有可能解决人类面临的一系列难题。

甚至有人表示，如果这项研究是真的，那么AGI（通用人工智能）就已经在到来的路上了。

然而，也有观点认为这只是一个理论结果，与实际应用还有较大差距。即使忽略理论与实际条件的不同，时间和成本问题也是重要的限制因素。

同时，实验假设模型权重已正确设置，但实际模型的训练很难达到这一程度。此外，这种模拟门电路运算并不是大模型实际学习和工作的方式。如何将实际问题用布尔电路表示，是Transformer从能解决运算问题到实际问题的关键。而现实中，诸如“如何治疗癌症”这类问题，很难以电路的形式去描述。

作者简介

该论文共有四位作者，皆为华人。

按署名顺序，第一位作者是清华姚班校友李志远，他是马腾宇已毕业的博士生，现任芝加哥丰田技术学院（TTIC）的终身助理教授。

第二位作者是Hong Liu，马腾宇的博士生，本科就读于清华，曾获特等奖学金及优秀毕业生荣誉。

第三位是Google Brain推理团队创建者Denny Zhou，他是中科院博士，2017年加入Google前在微软担任了11年的高级研究员。

最后一位是2021年斯隆奖得主、斯坦福大学助理教授马腾宇，他是姚班校友、陈丹琦的同班同学。

论文地址：
https://arxiv.org/abs/2402.12875
参考链接：
[1]https://x.com/denny_zhou/status/1835761801453306089
[2]https://www.reddit.com/r/singularity/comments/1fiemv4/denny_zhou_founded_lead_reasoning_team_at_google/

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