一、剩余类

定义：设 m 是一个正整数，a 是任意整数。模 m 的 a 的剩余类定义为集合 Ca​={c∣c∈Z,c≡a(modm)}。这个集合包含了所有模 m 余数为 a 的整数。

解释：剩余类实际上是将整数集 Z 分成了 m 个等价类，每个类中的元素在模 m 运算下是等价的，即它们除以 m 的余数相同。

二、完全剩余系

定义：设 m 是一个正整数，从模 m 的每个剩余类中各取一个元素组成的集合，称为模 m 的一个完全剩余系。

性质：

1. 存在性：对于任意正整数 m，都存在模 m 的完全剩余系。
2. 唯一性（在等价意义下）：虽然完全剩余系不是唯一的（因为可以从每个剩余类中选择不同的元素），但任何两个完全剩余系都可以通过重新排列和可能的模 m 加法（即加上 m 的倍数）相互转换。
3. 大小：模 m 的完全剩余系包含 m 个元素。

常见形式：一个常见的模 m 的完全剩余系是 {0,1,2,…,m−1}。这个集合中的每个元素都代表了一个不同的剩余类。

例子：考虑 m=5，模 5 的一个完全剩余系是 {0,1,2,3,4}。这个集合中的每个元素都代表了一个模 5 的剩余类：

• C0​={…,−10,−5,0,5,10,…}
• C1​={…,−9,−4,1,6,11,…}
• C2​={…,−8,−3,2,7,12,…}
• C3​={…,−7,−2,3,8,13,…}
• C4​={…,−6,−1,4,9,14,…}

三、应用

       在信息安全领域，剩余类和完全剩余系的概念对于理解模运算、设计加密算法和协议至关重要。例如，在RSA加密算法中，公钥和私钥的生成涉及到大素数的模幂运算，这些运算都是在模某个大整数（通常是两个大素数的乘积）的剩余类上进行的。此外，在哈希函数和伪随机数生成器中，也常常利用模运算和剩余类的性质来确保输出的均匀性和不可预测性。

 结语 

心态若改变，态度跟着改变

态度改变，习惯跟着改变

习惯改变，性格跟着改变

性格改变，人生就跟着改变

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