推荐系统FM模型

好的，我们通过一个电影评分预测的示例来解释因子分解机（Factorization Machines, FM）在推荐系统中的应用。

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问题背景

假设有以下4个用户对电影的评分数据：

用户ID	电影ID	用户年龄	电影类型	评分
U1	M1	25	动作	5
U1	M2	25	爱情	3
U2	M1	30	动作	4
U3	M3	20	科幻	2

目标：预测用户对未评分电影的评分（如预测用户U2对电影M3的评分）。

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数据预处理

将分类特征转换为数值特征（独热编码）：

假设特征维度如下：

• 用户ID：U1, U2, U3 → 3维
• 电影ID：M1, M2, M3 → 3维
• 用户年龄：直接保留数值
• 电影类型：动作, 爱情, 科幻 → 3维

最终特征向量维度 = 3（用户） + 3（电影） + 1（年龄） + 3（类型） = 10维。

例如，第一条样本 U1, M1, 25, 动作 的编码为：

[1,0,0, 1,0,0, 25, 1,0,0]

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FM模型原理

FM的预测公式为：
$$\hat{y}=w_0+\sum _{i=1}^n{w}_i{x}_i+\sum _{i=1}^n\sum _{j=i+1}^n⟨v_i,v_j⟩x_i{x}_j$$
其中：

• $w_0$ 是全局偏置项
• $w_i$ 是第i个特征的权重
• $v_i\in {\mathbb{R}}^k$ 是第i个特征的隐向量（长度为k）
• $⟨v_i,v_j⟩$ 是隐向量的点积，建模特征交互。

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具体计算示例

假设我们为每个特征分配隐向量（设k=2），初始化参数如下：

特征	权重 $w_i$	隐向量 $v_i$
用户U1	0.1	[0.2, -0.3]
用户U2	0.3	[0.5, 0.1]
用户U3	-0.2	[-0.4, 0.2]
电影M1	0.5	[0.1, 0.6]
电影M2	-0.3	[-0.2, 0.4]
电影M3	0.2	[0.3, -0.1]
年龄25	0.4	[0.1, -0.2]
动作类型	0.6	[0.5, 0.3]
爱情类型	-0.1	[-0.2, 0.4]
科幻类型	0.3	[0.2, -0.1]

以第一条样本 U1, M1, 25, 动作 为例（评分=5）：

1. 线性项：
   $$0.1(\text{U1})+0.5(\text{M1})+0.4(\text{年龄25})+0.6(\text{动作})=0.1+0.5+0.4+0.6=1.6$$

2. 交叉项（计算交互特征对的隐向量点积）：

   • U1 & M1: $⟨[0.2,-0.3],[0.1,0.6]⟩=0.2\ast 0.1+(-0.3)\ast 0.6=-0.16$
   • U1 & 年龄25: $⟨[0.2,-0.3],[0.1,-0.2]⟩=0.2\ast 0.1+(-0.3)\ast (-0.2)=0.08$
   • U1 & 动作: $⟨[0.2,-0.3],[0.5,0.3]⟩=0.2\ast 0.5+(-0.3)\ast 0.3=0.1-0.09=0.01$
   • M1 & 年龄25: $⟨[0.1,0.6],[0.1,-0.2]⟩=0.1\ast 0.1+0.6\ast (-0.2)=-0.11$
   • M1 & 动作: $⟨[0.1,0.6],[0.5,0.3]⟩=0.1\ast 0.5+0.6\ast 0.3=0.23$
   • 年龄25 & 动作: $⟨[0.1,-0.2],[0.5,0.3]⟩=0.1\ast 0.5+(-0.2)\ast 0.3=-0.01$

   交叉项总和 = -0.16 + 0.08 + 0.01 - 0.11 + 0.23 - 0.01 = 0.04

3. 最终预测值：
   $$\hat{y}=w_0+1.6+0.04=1.64(\text{假设 }{w}_0=0)$$

4. 计算损失：
   真实评分=5，预测评分=1.64，平方误差为 $(5-1.64{)}^2=11.28$，通过梯度下降更新参数。

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FM的优势

1. 自动学习特征交互：即使某些组合（如U3和科幻类型）在训练集中未出现，隐向量也会通过其他交互学习到泛化能力。
2. 处理稀疏数据：适合推荐系统中的高维稀疏特征（如用户ID和物品ID）。
3. 线性时间复杂度：通过公式变形，二阶交叉项的计算复杂度从 $O(k{n}^2)$ 降低到 $O(kn)$。

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总结

FM通过隐向量建模特征交互，解决了传统线性模型无法捕捉特征组合的问题。在推荐系统中，它特别适合处理用户-物品交互数据中的稀疏性和隐式关系。