【问题】
当x是正实数时，求函数f(x)=x/(1+x^2)的最大值？
【解答】
解：
f(x)=x/(1+x^2)=1/(x+1/x))<=1/2倍根号下(x*1/x)=1/2
所以函数在[0,+∞)的区域最大值为0.5
【函数图像】
f(x)=x/(1+x^2)是奇函数，没有断点，是可以一笔从头画到尾的。
由图可见，在x正轴上，函数的最大值在(1,0.5)处，这与之前用基本不等式得到的结果是一致的。
【Canvas代码】
<!DOCTYPE html>
<html lang="utf-8">
<meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=utf-8"/>
<head><title>UNASSIGNED</title><style type="text/css">.centerlize{margin:0 auto;border:0px solid red;width:1200px;height:600px;}</style></head><body οnlοad="draw();"><div class="centerlize"><canvas id="myCanvas" width="10px" height="10px" style="border:1px dashed black;">如果看到这段文字说您的浏览器尚不支持HTML5 Canvas，请更换浏览器再试.</canvas></div></body>
</html>
<script type="text/javascript">
<!--
/*****************************************************************
* 将全体代码拷贝下来，粘贴到文本编辑器中，另存为.html文件，
* 再用chrome浏览器打开，就能看到动画效果。
******************************************************************/// 系统常量定义处
const TITLE="函数y=x/(x*x+1) 图线展示"; // 图像标题
const WIDTH=1200; // 画布宽度
const HEIGHT=600; // 画布高度
const ScaleUnit=50; // 缩放比例// 系统变量定义处
var context=0; // 画布环境
var stage; // 舞台对象
var timeElapsed=0; // 消逝的时间//-------------------------------
// Canvas开始运作，由body_onload调用
//-------------------------------
function draw(){document.title=TITLE;// 画图前初始化var canvas=document.getElementById('myCanvas'); canvas.width=WIDTH;canvas.height=HEIGHT; context=canvas.getContext('2d'); // 进行屏幕坐标系到笛卡尔坐标系的变换// 处置完成前，原点在左上角，向右为X正向，向下为Y的正向// 处置完毕后，原点移动到画布中央，向右为X正向，向上为Y的正向context.translate(WIDTH/2,HEIGHT/2);context.rotate(Math.PI);context.scale(-1,1);// 初始化舞台stage=new Stage();// 开始动画animate();
};//-------------------------------
// 画图
//-------------------------------
function animate(){ timeElapsed+=1;// 时间每轮增加1stage.update(timeElapsed);stage.paintBg(context);stage.paint(context);if(timeElapsed<2400){ window.requestAnimationFrame(animate);}
}//-------------------------------
// 舞台对象定义处
//-------------------------------
function Stage(){var obj=new Object;obj.curve1={name:"曲线:y=x/(x*x+1)",x:-12,y:0,color:"maroon",breaks:[],setY:function(x){this.y=x/(x*x+1);// 解析式// 制成坐标let coord={"x":x,"y":this.y};//if(coord.x<this.breaks[0]){this.pts0.push(coord);/*}else if(this.breaks[0]<coord.x && coord.x<this.breaks[1]){this.pts1.push(coord);}else if(coord.x>this.breaks[1]){this.pts2.push(coord);}*/},"pts0":[],"pts1":[],"pts2":[],};// 随时间更新位置obj.update=function(t){// 记录曲线1的xy值obj.curve1.x+=0.01;obj.curve1.setY(obj.curve1.x); };// 画前景obj.paint=function(ctx){ // 写曲线名称drawText(ctx,this.curve1.name,-400,145,this.curve1.color,18);// 写当前点坐标drawText(ctx,"当前 X:"+this.curve1.x.toFixed(3)+" Y:"+this.curve1.y.toFixed(3),-400,125,this.curve1.color,18);// 绘制第一段曲线paintCurve(ctx,this.curve1.color,this.curve1.pts0);var mm=findMaxMin(this.curve1.pts0);markMaxMin(ctx,mm,"red");/*// 绘制第二段曲线paintCurve(ctx,this.curve1.color,this.curve1.pts1);var mm=findMaxMin(this.curve1.pts1);markMaxMin(ctx,mm,"blue");// 绘制第三段曲线paintCurve(ctx,this.curve1.color,this.curve1.pts2);var mm=findMaxMin(this.curve1.pts2);markMaxMin(ctx,mm,"green");*/};// 画背景obj.paintBg=function(ctx){// 清屏ctx.clearRect(-600,-300,1200,600);ctx.fillStyle="white";ctx.fillRect(-600,-300,1200,600);// 画X轴drawAxisX(ctx,-600,600,50);// 画Y轴drawAxisY(ctx,-300,300,50);// 画网格线drawGrid(ctx,-600,-300,50,1200,600,50,"lightGrey");// 左上角标题var metrics = ctx.measureText(TITLE);var textWidth = metrics.width;drawText(ctx,TITLE,-WIDTH/2+textWidth,HEIGHT/2-30,"grey",18);// 右下角作者，日期const waterMarkTxt="逆火原创@"+(new Date()).toLocaleDateString();metrics = ctx.measureText(waterMarkTxt);textWidth = metrics.width;drawText(ctx,waterMarkTxt,WIDTH/2-textWidth,-HEIGHT/2,"lightGrey",16);};return obj;
}// 连点成线画曲线
function paintCurve(ctx,color,cds){ctx.strokeStyle = color;ctx.beginPath(); for(var i=0; i<cds.length; i++){let y=cds[i].y;if(Math.abs(cds[i].y*ScaleUnit)<300){ctx.lineTo(cds[i].x*ScaleUnit,cds[i].y*ScaleUnit);}} ctx.stroke();
}// 找到坐标数组的最大最小值
function findMaxMin(cds){if(cds.length<1){return null;}var retval={max:-10000,max_x:0,min:10000,min_x:0};for(var i=0;i<cds.length;i++){var y=cds[i].y;if(y>retval.max){retval.max=y;retval.max_x=cds[i].x;}if(y<retval.min){retval.min=y;retval.min_x=cds[i].x;}} return retval;
}// 绘出最大最小值
function markMaxMin(ctx,mm,color){if(mm==null){return;}// 最大值var x=mm.max_x;var y=mm.max;ctx.strokeStyle=color;ctx.beginPath();ctx.arc(x*ScaleUnit,y*ScaleUnit,5,0,Math.PI*2,false);ctx.closePath();ctx.stroke();var text="max@x="+x.toFixed(3)+" y="+y.toFixed(3);drawText(ctx,text,x*ScaleUnit,y*ScaleUnit,"black",12);// 最小值var x=mm.min_x;var y=mm.min;ctx.strokeStyle=color;ctx.beginPath();ctx.arc(x*ScaleUnit,y*ScaleUnit,5,0,Math.PI*2,false);ctx.closePath();ctx.stroke();var text="min@x="+x.toFixed(3)+" y="+y.toFixed(3);drawText(ctx,text,x*ScaleUnit,y*ScaleUnit,"black",12);
}// 定点画实心圆
function drawSolidCircle(ctx,x,y,r,color){ctx.save();ctx.beginPath();ctx.arc(x,y,r,0,2*Math.PI);ctx.fillStyle=color;ctx.fill();ctx.stroke();ctx.restore();
}// 两点之间画线段
function drawLine(ctx,x1,y1,x2,y2,color){ctx.save();ctx.lineWidth=0.25;ctx.strokeStyle=color;ctx.fillStyle=color;ctx.beginPath();ctx.moveTo(x1,y1);ctx.lineTo(x2,y2);ctx.stroke();ctx.closePath();ctx.restore();
}// 画横轴
function drawAxisX(ctx,start,end,step){ctx.save();ctx.lineWidth=0.25;ctx.strokeStyle='navy';ctx.fillStyle='navy';// 画轴ctx.beginPath();ctx.moveTo(start, 0);ctx.lineTo(end, 0);ctx.stroke();ctx.closePath();// 画箭头ctx.beginPath();ctx.moveTo(end-Math.cos(getRad(15))*10, Math.sin(getRad(15))*10);ctx.lineTo(end, 0);ctx.lineTo(end-Math.cos(getRad(15))*10, -Math.sin(getRad(15))*10);ctx.stroke();ctx.closePath();// 画刻度var x,y;y=5;for(x=start;x<end;x+=step){ctx.beginPath();ctx.moveTo(x, 0);ctx.lineTo(x, y);ctx.stroke();ctx.closePath();drawText(ctx,x/ScaleUnit+"",x,y-20,"navy",12);}ctx.restore();
}// 画纵轴
function drawAxisY(ctx,start,end,step){ctx.save();ctx.lineWidth=0.5;ctx.strokeStyle='navy';ctx.fillStyle='navy';// 画轴ctx.beginPath();ctx.moveTo(0, start);ctx.lineTo(0, end);ctx.stroke();ctx.closePath();// 画箭头ctx.beginPath();ctx.moveTo(Math.sin(getRad(15))*10, end-Math.cos(getRad(15))*10);ctx.lineTo(0, end);ctx.lineTo(-Math.sin(getRad(15))*10, end-Math.cos(getRad(15))*10);ctx.stroke();ctx.closePath();// 画刻度var x,y;x=5;for(y=start;y<end;y+=step){ctx.beginPath();ctx.moveTo(x, y);ctx.lineTo(0, y);drawText(ctx,y/ScaleUnit+"",x-15,y,"navy",12);ctx.stroke();ctx.closePath();}ctx.restore();
}// 画网格线
function drawGrid(ctx,x1,y1,step1,x2,y2,step2,color){ctx.save();ctx.lineWidth=0.5;ctx.strokeStyle=color;ctx.fillStyle=color;ctx.setLineDash([4,4]);// 设置虚线var x,y;for(x=x1;x<x2;x+=step1){ctx.beginPath();ctx.moveTo(x, y1);ctx.lineTo(x, y2);ctx.stroke();ctx.closePath();}for(y=y1;y<y2;y+=step2){ctx.beginPath();ctx.moveTo(x1, y);ctx.lineTo(x2, y);ctx.stroke();ctx.closePath();}ctx.restore();
}//-------------------------------
// 角度得到弧度
//-------------------------------
function getRad(degree){return degree/180*Math.PI;
}//-------------------------------
// 得到颜色
//-------------------------------
function getColor(index){var arr=["aqua"/* aqua湖绿色*/,"black"/* black黑色*/,"blue"/* blue蓝色*/,"fuchsia"/* fuchsia 紫红*/,"green"/* green 绿色*/,"grey"/* grey 草木灰*/,"lime"/* lime 亮绿色*/,"maroon"/* maroon 棕色*/,"navy"/* navy 海军蓝*/,"orange"/* orange 橙色*/,"purple"/* purple 紫色*/,"red"/* red 大红*/, "skyblue"/* skyblue 天蓝*/,"teal"/* teal 蓝绿色*/,"yellow"/* yellow 亮黄*/,"#aa0000"/* #aa0000 铁锈红*/, ];if(index>arr.length){index=index % arr.length;}return arr[index];
}//-------------------------------------
// 绘制文字,指定颜色
// ctx:绘图环境
// text:文字
// x,y:坐标
// color:颜色
// size:字体大小
//-------------------------------------
function drawText(ctx,text,x,y,color,size){ctx.save();ctx.translate(x,y)ctx.rotate(getRad(180))ctx.scale(-1,1)ctx.textBaseline="bottom";ctx.textAlign="center";ctx.fillStyle=color;ctx.font = size+"px consolas";ctx.fillText(text,0,0);ctx.restore();
}
//-->
/**************************************
* 孤独是关上灯，与发光的灵魂为伴。
**************************************/
</script>
