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七、二维随机变量函数的分布

7.1 二维随机变量函数分布的基本情形

设 $(X,Y)$ 为二维随机变量，以 $X,Y$ 为变量所构成的二元函数 $Z=\phi (X,Y)$ ，称为随机变量 $(X,Y)$ 的函数，其分布一般有如下几种情形：

$(X,Y)$ 为二维离散型随机变量

设 $(X,Y)$ 联合分布律为 P { X = x i , Y = y j ) = p i j P\{X=x_i,Y=y_j)=p_{ij} P{X=xi​,Y=yj​)=pij​ ，则 $Z=\phi (X,Y)$ 的分布律如下：$$Z\sim \left(\begin{array}{ccccc}\phi (x_1,y_1)& \phi (x_1,y_2)& \cdots & \phi (x_m,y_1)& \cdots \\ p_{11}& p_{12}& \cdots & p_{m1}& \cdots \end{array}\right),$$ 相同的取值需要合并。

$(X,Y)$ 为二维连续型随机变量

设 $(X,Y)$ 联合密度函数为 $f(x,y)$ 。

（1）当 $Z=\phi (X,Y)$ 为离散型时

求出 $Z$ 的所有可能取值，再求出其对应的概率。

（2）当 $Z=\phi (X,Y)$ 为连续型时

首先计算 $Z$ 的分布函数 F Z ( z ) = P { Z ≤ z } = ∬ φ ( x , y ) ≤ z f ( x , y ) d x d y F_Z(z)=P\{Z\leq z\}=\iint_{\varphi(x,y)\leq z}f(x,y)dxdy FZ​(z)=P{Z≤z}=∬φ(x,y)≤z​f(x,y)dxdy ，那么 $Z$ 的密度函数为：$$f_Z(z)=\{\begin{array}{ll}{F}_Z^{\prime }(z),& z为可导点\\ 0,& z为不可导点\end{array}$$

$X$ 为离散型变量，$Y$ 为连续型变量

给出 $X$ 的分布律，$Y$ 的概率密度，求 $Z=\phi (X,Y)$ 的分布时，一般用全概率公式。

若 $X\sim \left(\begin{array}{cccc}{x}_1& x_2& \cdots & x_n\\ p_1& p_2& \cdots & p_n\end{array}\right),$ $Y$ 的边缘密度为 $f_Y(y)$ ，则有 F Z ( z ) = P { φ ( X , Y ) ≤ z } = P { X = x 1 , φ ( x 1 , Y ) ≤ z } + P { X = x 2 , φ ( x 2 , Y ) ≤ z } F_Z(z)=P\{\varphi(X,Y)\leq z\}=P\{X=x_1,\varphi(x_1,Y)\leq z\}+P\{X=x_2,\varphi(x_2,Y)\leq z\} FZ​(z)=P{φ(X,Y)≤z}=P{X=x1​,φ(x1​,Y)≤z}+P{X=x2​,φ(x2​,Y)≤z} + ⋯ + P { X = x n , φ ( x n , Y ) ≤ z } . +\cdots+P\{X=x_n,\varphi(x_n,Y)\leq z\}. +⋯+P{X=xn​,φ(xn​,Y)≤z}.

7.2 常见二维随机变量的函数及其分布

Z = min ⁡ { X , Y } Z=\min\{X,Y\} Z=min{X,Y} 的分布

F Z ( z ) = P { Z ≤ z } = 1 − P { Z > z } = P { X > z , Y > z } = 1 − ∬ x > z , y > z f ( u , v ) d u d v F_Z(z)=P\{Z\leq z\}=1-P\{Z>z\}=P\{X>z,Y>z\}=1-\iint_{x>z,y>z}f(u,v)dudv FZ​(z)=P{Z≤z}=1−P{Z>z}=P{X>z,Y>z}=1−∬x>z,y>z​f(u,v)dudv ，特别地，当 $X,Y$ 相互独立时，有 $F_Z(z)=1-[1-F_X(z)][1-F_Y(z)]$ 。

这个变换还是比较巧妙的，同样这也提示我们，对于这类求最大最小的分布，可以去做类似处理。

Z = max ⁡ { X , Y } Z=\max\{X,Y\} Z=max{X,Y} 的分布

F Z ( z ) = P { Z ≤ z } = P { X ≤ z , Y ≤ z } = ∫ − ∞ z d x ∫ − ∞ z f ( x , y ) d y F_Z(z)=P\{Z\leq z\}=P\{X\leq z,Y\leq z\}=\int_{-\infty}^zdx\int_{-\infty}^zf(x,y)dy FZ​(z)=P{Z≤z}=P{X≤z,Y≤z}=∫−∞z​dx∫−∞z​f(x,y)dy ，特别地，当 $X,Y$ 独立时，有 $F_Z(z)=F_X(z)F_Y(z).$

$Z=X+Y$ 的分布

F Z ( z ) = P { X + Y ≤ z } = ∬ x + y ≤ z f ( x , y ) d x d y . F_Z(z)=P\{X+Y\leq z\}=\iint_{x+y\leq z}f(x,y)dxdy. FZ​(z)=P{X+Y≤z}=∬x+y≤z​f(x,y)dxdy.

$Z=XY$ 的分布

$Z=\frac{Y}{X}$ 的分布

下面给出一些常见的二维随机变量的函数分布：

设 $X,Y$ 独立，则：

（1）若 $X\sim B(m,p),Y\sim B(n,p)$ ，则 $X+Y\sim B(m+n,p).$

（2）若 $X\sim P({\lambda }_1),Y\sim P({\lambda }_2)$ ，则 $X+Y\sim P({\lambda }_1+{\lambda }_2).$

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写在最后

那到此，二维随机变量的理论内容就结束啦，掌握一维随机变量，再加上高数的二重积分的基础，这一章应该就问题不大。