2024“华为杯”中国研究生数学建模竞赛（E题）深度剖析_数学建模完整过程+详细思路+代码全解析

问题1详细解答过程

(1) 交通流参数统计

数据预处理

数据读取：

从四个视频观测点提取交通流数据，包括每个时间段内的车流量、车速和车道占用率等。

交通流参数计算
3. 计算流量 (Q)：

$\frac{N(t)}{\Delta t}$

其中 $N (t)$ 是在时间段 $\Delta t$ 内通过某个观测点的车辆数。

计算密度 (K)：

$\frac{N(t)}{L}$

其中 $L$ 是路段的长度（例如5000m）。
计算速度 (V)：

$\frac{Q(t)}{K(t)}$
时间序列分析：
- 利用统计方法对流量、密度和速度进行时间序列分析。可以绘制流量、密度和速度随时间变化的曲线图。
- 识别趋势、季节性、周期性和异常值。

(2) 拥堵模型建立

模型假设

流量和密度关系：

假设车辆流量与密度之间的关系遵循某种线性或非线性模型。例如，使用基本的交通流模型：

$\cdot V$

其中 $Q$ 是流量， $K$ 是密度， $V$ 是速度。

拥堵阈值：
- 设定一个密度阈值 $K_{threshold}$ ，当密度超过该值时，即认为可能发生拥堵。
- 可设定 $K_{threshold} = 0.8 \cdot K_{max}$ ，其中 $K_{max}$ 为饱和密度。

实时预警机制
3. 滑动窗口法：

设定一个时窗（例如30分钟），在每个时间点 $t$ 监测从第三点到第四点的交通流参数。

预警机制：

当监测到密度 $K (t)$ 超过 $K_{threshold}$ ，且这种状态持续超过10分钟，则系统发出预警。

$\text{If } K(t) > K_{threshold} \text{ for } t > t_0 + 10 \text{ minutes, then alert.}$

M/G/1 排队理论应用
5. 模型构建：

假设车辆到达过程遵循泊松过程，服务时间服从任意分布，建立M/G/1排队模型。
到达率（ $\lambda$ ）和服务率（$\mu\））的定义：

$\lambda = \frac{Q(t)}{L}$

$\mu = \frac{1}{E[S]}$

其中 $E [S]$ 为车辆通过某路段的平均服务时间。

拥堵概率计算：
- 使用M/G/1排队理论，计算系统的稳态性能指标，如平均排队长度 $L_q$ 和平均等待时间 $W_q$ ：
$L_q = \frac{\lambda^2 \cdot E[S^2]}{2(1 - \rho)}$

$W_q = \frac{L_q}{\lambda}$

其中 $\rho = \frac{\lambda}{\mu}$ 为系统利用率。

(3) 模型有效性验证

数据对比：
- 将模型的预警时间点与实际交通数据对比，记录预警的准确性。
- 统计误报率（False Positive Rate）和漏报率（False Negative Rate）。
指标评估：
- 使用准确率（Precision）、召回率（Recall）和F1分数进行模型性能评估。
- 设定预警模型的有效性标准。

python代码实现

import cv2
import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import poisson# 读取视频数据并计算交通流参数
def read_video_data(video_file):cap = cv2.VideoCapture(video_file)vehicle_count = []frame_count = 0while cap.isOpened():ret, frame = cap.read()if not ret:breakframe_count += 1# 假设每帧处理逻辑已经实现，车辆计数放入vehicle_count中# vehicle_count.append(process_frame(frame))  # 需要实现process_frame方法cap.release()return vehicle_count# 计算流量、密度和速度
def calculate_traffic_parameters(vehicle_counts, road_length, delta_t):flow = [count / delta_t for count in vehicle_counts]density = [count / road_length for count in vehicle_counts]speed = [flow[i] / density[i] if density[i] > 0 else 0 for i in range(len(flow))]return flow, density, speed# 拥堵预警模型
def congestion_warning(density, threshold, duration):alert_times = []for i in range(len(density)):if density[i] > threshold:if all(density[j] > threshold for j in range(i, min(i + duration, len(density)))):alert_times.append(i)return alert_times# M/G/1排队模型计算
def mg1_queue_model(arrival_rate, service_rate):rho = arrival_rate / service_rateLq = (arrival_rate**2) / (2 * service_rate * (1 - rho))Wq = Lq / arrival_ratereturn Lq, Wq# 主函数
def main(video_files, road_length, delta_t, congestion_threshold, warning_duration):all_vehicle_counts = []for video_file in video_files:vehicle_counts = read_video_data(video_file)all_vehicle_counts.append(vehicle_counts)flow, density, speed = zip(*[calculate_traffic_parameters(counts, road_length, delta_t) for counts in all_vehicle_counts])for d in density:alerts = congestion_warning(d, congestion_threshold, warning_duration)print(f"Alerts for density: {alerts}")# 示例参数arrival_rate = np.mean(flow)service_rate = 1.0  # 假设的服务率Lq, Wq = mg1_queue_model(arrival_rate, service_rate)print(f"Average queue length (Lq): {Lq}, Average waiting time (Wq): {Wq}")# 绘制流量、密度和速度变化图plt.figure(figsize=(15, 5))plt.subplot(1, 3, 1)plt.plot(flow)plt.title('Traffic Flow')plt.subplot(1, 3, 2)plt.plot(density)plt.title('Traffic Density')plt.subplot(1, 3, 3)plt.plot(speed)plt.title('Traffic Speed')plt.tight_layout()plt.show()# 设置参数并运行主函数
if __name__ == "__main__":video_files = ["video1.mp4", "video2.mp4", "video3.mp4", "video4.mp4"]road_length = 5000  # 路段长度delta_t = 1  # 时间间隔congestion_threshold = 0.8  # 拥堵阈值warning_duration = 10  # 持续时间main(video_files, road_length, delta_t, congestion_threshold, warning_duration)

问题2详细解答过程

1. 模型构建

目标

建立一个模型，为高速公路应急车道的临时启用提供决策支持，以最小化交通拥堵的影响，优化通行效率。

决策变量

设定决策变量 $x$ ，表示是否启用应急车道：

$\begin{cases} 1 & \text{启用应急车道} \\ 0 & \text{不启用应急车道} \end{cases}$

参数定义

$Q (t)$ ：在时间 $t$ 的流量（单位：辆/分钟）。
$K (t)$ ：在时间 $t$ 的密度（单位：辆/km）。
$V (t)$ ：在时间 $t$ 的速度（单位：km/h）。
$C$ ：道路的通行能力（单位：辆/分钟）。
$T_{avg}$ ：车辆的平均通过时间（单位：分钟）。
$T_{delay}$ ：车辆因拥堵造成的平均延迟时间（单位：分钟）。

2. 目标函数

最小化延迟

目标是最小化总的延迟时间：

$\text{Minimize } T_{total} = \sum_{i} T_{delay}^i \cdot N_i$

其中 $N_i$ 为在第 $i$ 个时间段内受到拥堵影响的车辆数。

3. 约束条件

流量与密度约束

应急车道启用的情况下，流量与密度之间的关系可以表示为：

$\cdot V(t)$

通行能力约束

道路通行能力限制：

$\leq C$

当 $K (t)$ 超过某个阈值（如 $K_{threshold}$ ）时，考虑启用应急车道。

延迟计算

在不启用应急车道的情况下，延迟时间可以通过流量和通行能力的关系得到：

$T_{delay} = \max\left(0, \frac{K(t)}{C} - 1\right) \cdot T_{avg}$

应急车道启用条件

设定条件，当流量接近通行能力时，启用应急车道的决策变量可以表示为：

$\begin{cases} 1 & \text{if } Q(t) \geq \alpha C \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$

其中 $\alpha$ 为阈值系数（例如 0.8）。

4. 决策支持系统

模型实施

结合实时监测的数据（流量、密度、速度），使用线性规划或整数规划技术求解：

$\text{Find } x^* = \arg\min T_{total}$

反馈机制

启用应急车道后，实时监测新流量 $Q_{new}(t)$ 和密度 $K_{new}(t)$ ，更新延迟时间 $T_{delay}$ ，根据情况调整决策变量 $x$ 。

5. 模型有效性评估

效果评估指标

通过对比启用应急车道前后的平均延迟时间、交通流量变化等指标，评估模型的有效性：

$\text{Efficiency Gain} = \frac{T_{delay, before} - T_{delay, after}}{T_{delay, before}}$

统计分析

收集数据，计算各项指标的均值、方差和变化趋势，分析应急车道启用对缓解交通拥堵的作用。

python代码实现

import numpy as np
import pandas as pd
from scipy.optimize import linprog
import matplotlib.pyplot as plt# 假设数据
def generate_traffic_data(num_time_slots):np.random.seed(0)flow = np.random.randint(50, 150, size=num_time_slots)density = np.random.uniform(0.1, 0.7, size=num_time_slots)return flow, density# 参数设置
road_length = 5000  # 路段长度（米）
delta_t = 1  # 时间间隔（分钟）
capacity = 100  # 道路通行能力（辆/分钟）
alpha = 0.8  # 启用应急车道的阈值系数
avg_delay_time = 5  # 平均通过时间（分钟）# 延迟计算
def calculate_delay(flow):delay = np.maximum(0, (flow / capacity - 1) * avg_delay_time)return delay# 优化模型
def emergency_lane_decision(flow, density):num_time_slots = len(flow)total_delay = calculate_delay(flow)c = total_delayA_ub = np.zeros((num_time_slots, num_time_slots))b_ub = np.zeros(num_time_slots)for i in range(num_time_slots):A_ub[i, i] = 1if flow[i] >= alpha * capacity:b_ub[i] = 1  # 启用应急车道的约束条件bounds = [(0, 1) for _ in range(num_time_slots)]result = linprog(c, A_ub=A_ub, b_ub=b_ub, bounds=bounds, method='highs')return result# 主函数
def main():num_time_slots = 60  # 假设有60个时间段flow, density = generate_traffic_data(num_time_slots)result = emergency_lane_decision(flow, density)print("Optimization Result:")if result.success:print("Optimal Decision Variables (x):")print(result.x)print("Total Delay Reduction:", sum(result.x * calculate_delay(flow)))else:print("Optimization failed.")# 可视化plt.figure(figsize=(12, 6))plt.plot(flow, label='Traffic Flow', color='blue')plt.plot(density * capacity, label='Density Capacity', color='orange', linestyle='--')plt.axhline(y=alpha * capacity, color='red', linestyle='--', label='Emergency Lane Threshold')plt.title('Traffic Flow and Density')plt.xlabel('Time Slots')plt.ylabel('Vehicles')plt.legend()plt.show()if __name__ == "__main__":main()

问题3详细解答过程

1. 模型构建

目标

设计一个实时决策模型，根据交通流监测数据自动判断是否需要启用应急车道，以最小化交通拥堵和延迟。

决策变量

设定决策变量 $x$ ，表示是否启用应急车道：

$\begin{cases} 1 & \text{启用应急车道} \\ 0 & \text{不启用应急车道} \end{cases}$

输入参数

$Q (t)$ ：在时间 $t$ 的流量（单位：辆/分钟）。
$K (t)$ ：在时间 $t$ 的密度（单位：辆/km）。
$V (t)$ ：在时间 $t$ 的速度（单位：km/h）。
$C$ ：道路的通行能力（单位：辆/分钟）。
$T_{avg}$ ：车辆的平均通过时间（单位：分钟）。
$T_{delay}$ ：车辆因拥堵造成的平均延迟时间（单位：分钟）。
$\theta$ ：拥堵阈值，决定何时启用应急车道（例如，密度超过 $K_{threshold}$ ）。

2. 目标函数

延迟最小化

目标是最小化整体交通延迟：

$\text{Minimize } T_{total} = \sum_{i} T_{delay}^i \cdot N_i$

其中 $N_i$ 是在第 $i$ 个时间段内受到拥堵影响的车辆数。

3. 约束条件

流量与密度约束

在启用应急车道时，流量与密度之间的关系可以表示为：

$\cdot V(t)$

通行能力约束

道路通行能力限制：

$\leq C$

当 $K (t)$ 超过阈值时，考虑启用应急车道。

延迟计算

在不启用应急车道的情况下，延迟时间可以通过流量和通行能力的关系得到：

$T_{delay} = \max\left(0, \frac{K(t)}{C} - 1\right) \cdot T_{avg}$

4. 决策规则

实时决策规则

设定规则：

监测数据更新：实时获取流量 $Q (t)$ 、密度 $K (t)$ 和速度 $V (t)$ 的数据。
判断条件：若 $K(t) > K_{threshold}$ ，并且 $\geq \theta C$ ，则启用应急车道 $x = 1$ 。
延迟监测：在启用应急车道后，持续监测交通流的延迟情况。

5. 模型实施与反馈

动态调整

在应急车道启用后，实时更新流量、密度和延迟数据，依据新数据动态调整决策变量 $x$ 。

模型验证

通过历史数据和模拟结果验证模型的有效性。对比启用应急车道前后的延迟、流量和密度，评估决策的合理性：

$\text{Efficiency Gain} = \frac{T_{delay, before} - T_{delay, after}}{T_{delay, before}}$

python代码实现

import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt# 假设数据生成函数
def generate_traffic_data(num_time_slots):np.random.seed(0)flow = np.random.randint(50, 150, size=num_time_slots)density = np.random.uniform(0.1, 0.7, size=num_time_slots)return flow, density# 参数设置
road_length = 5000
capacity = 100
avg_delay_time = 5
K_threshold = 0.5
theta = 0.8# 延迟计算
def calculate_delay(flow):delay = np.maximum(0, (flow / capacity - 1) * avg_delay_time)return delay# 决策函数
def emergency_lane_decision(flow, density):num_time_slots = len(flow)decisions = np.zeros(num_time_slots)for t in range(num_time_slots):if density[t] > K_threshold and flow[t] >= theta * capacity:decisions[t] = 1return decisions# 主函数
def main():num_time_slots = 60flow, density = generate_traffic_data(num_time_slots)decisions = emergency_lane_decision(flow, density)delays = calculate_delay(flow)print("Flow Data:", flow)print("Density Data:", density)print("Decisions (1:启用应急车道, 0:不启用):", decisions)print("Delays:", delays)plt.figure(figsize=(12, 6))plt.plot(flow, label='Traffic Flow', color='blue')plt.plot(density * capacity, label='Density Capacity', color='orange', linestyle='--')plt.axhline(y=K_threshold * capacity, color='red', linestyle='--', label='Density Threshold')plt.title('Traffic Flow and Density with Emergency Lane Decisions')plt.xlabel('Time Slots')plt.ylabel('Vehicles')plt.legend()plt.show()if __name__ == "__main__":main()