二次型和线性变换的问题都是定义在先验的数域P上的(数乘运算包含了)。无特殊说明,默认P=R;特殊情况,P=C。
矩阵,行列式和多项式
- 初等变幻、秩(矩阵的行秩==列秩)、线性相关
- 一次线性方程组
- 一次齐次线性方程组的解空间
- 一次线性方程组的有解的判定
- 克拉默法则
- 行列式
- 拉普拉斯展开
- 基本的运算性质(例如,第i行加上你n倍第j行,行列式值不变)
- 矩阵
- 矩阵乘法不可交换,但一元多项式乘法可以交换
- 逆矩阵、伴随矩阵
- 分块矩阵
- 多项式
- C、R、Q上分解
- 除法理论、互素理论(最小公因式)(辗转相除法&裴蜀定理)
【例题】A、B均可逆求A·B的逆矩阵。
二次型及其配方形式
二次型是用对称矩阵刻画多元二次齐次多项式及其配方形式。
解方程组初等变幻 | 等价 | M=LNR |
二次型配方 | 合同 | M=K^TNK |
线性空间变幻/基变幻 | 相似 | M=K^-1NK |
实对称矩阵可以变幻成合同的对角阵/正交矩阵变幻成对角阵。
正定的充要条件:顺序主子行列式均大于0;合同于E
线性变幻和线性函数
线性空间的定义:集合V、数域P、2个运算函数(8条运算律)
子空间的性质类似子群格,不同于子集格的交、补,取上界、取下界的运算是交、和。
直和⊕的构造:基(线性无关向量组)生成(张成)的空间L(v_1,...,v_n)
线性变换的定义:保持2个运算函数的V →V的映射(维数相同,则存在双射/同构映射)(线性变幻也构成线性空间,还多2种运算(复合乘法、求逆))<ε>=<η>Trans,M_ε=Trans^TM_ηTrans
线性函数的定义:V →P,f(v)=f(<ε>x)=a^Tx=Σλ_ix_i。对偶空间的构造:f_i(ε_i)=1 & f_i(ε_j)=0(对偶基);x**(f*) = f*(x)。<ε>=<η>Trans,<f_ε>=<f_η>Trans^T^-1
双线性函数的定义:V*V →P,f(u,v)=f(<ε>x,<ε>y)=x^TAy=Σλ_ijx_iy_j。λ_i:f(ε_i);λ_ij:f(ε_i,ε_j)。
欧几里得空间【定义在ℝ上】的正交变幻
内积:交换、双线性、正定(长度:√(内积))(柯西不等式)
单位长度、正交基:施密特正交化
拓展线性空间,讨论同构、子空间。正交补,是直和补的特殊情形(唯一)。子空间正交时距离最小(最小二乘法)。
正交变幻,内积不变。(充要条件:标准正交基保持标准正交,长度不变(2ab=(a+b)(a+b)-aa-bb),正交矩阵:={M|M^-1==M^T})
一些证明的角度
对称矩阵必然合同于Diag(1,...,0,...):归纳
正定的充要条件是顺序主子行列式均大于0:=>正定的语义;<=归纳
合同变换(C)秩和(R)正惯性系数的唯一性:分解成初等矩阵,反证/同一
维数公式(dim(V_1) + dim(V_2) = dim(V_1+V_2) + dim(V_1∩V_2))、值域与核的秩的关系:最原始的【(极大)线性无关 向量组】。这类向量组的证明题中,(列)向量是一个整体(V的一般元素),不能拆成分量。
直和的充要条件:最终都还原到直和的定义中的【唯一性】,而基确定时,系数就唯一确定;因此还是用最原始的【(极大)线性无关 向量组】