【考研数学】概率论与数理统计 —— 第三章 | 二维随机变量及其分布（2，常见的二维随机变量及二维变量的条件分布和独立性）

文章目录

引言
四、常见的二维随机变量
- 4.1 二维均匀分布
- 4.2 二维正态分布
五、二维随机变量的条件分布
- 5.1 二维离散型随机变量的条件分布律
- 5.2 二维连续型随机变量的条件分布
六、随机变量的独立性
- 6.1 基本概念
- 6.2 随机变量独立的等价条件
写在最后

引言

有了上文关于二维随机变量的基本概念与性质后，我们可以往后继续学习更加深入的内容。

四、常见的二维随机变量

4.1 二维均匀分布

设 $(X, Y)$ 为二维随机变量， $D$ 为 $x O y$ 平面的有限区域，其面积为 $A$ ，若 $(X, Y)$ 的联合密度函数为 $f(x,y)=\begin{cases} \frac{1}{A} ,&(x,y)\in D \\ 0,&(x,y) \notin D \end{cases},$ 称 $(X, Y)$ 为区域 $D$ 上的服从均匀分布。

可以回想一下一维的均匀分布，它是长度的倒数。

4.2 二维正态分布

这个我就不手敲了，太长啦，根本记不住。

在这里插入图片描述
其中， $\rho$ 为两个随机变量的相关系数。

若 $(X,Y)\sim N(\mu_1,\mu_2;\sigma_1^2,\sigma_2^2;\rho)$ ，则 $\sim N(\mu_1,\sigma_1^2),Y \sim N(\mu_2,\sigma_2^2).$ 当 $a^2+b^2 \ne 0$ 时，有 $a X + bY$ 服从一维正态分布。随机变量 $X$ 和 $Y$ 独立的充要条件是两个变量不相关，即 $\rho \ne 0$ 。

五、二维随机变量的条件分布

5.1 二维离散型随机变量的条件分布律

设 $(X, Y)$ 为二维离散型随机变量，其联合分布律为 $P\{X=x_i,Y=y_j\}=p_{ij}(i=1,2,\cdots,m;j=1,2,\cdots,n).$ （1）对某个固定的 $i$ ，若 $P\{X=x_i\}>0$ ，则称 $P\{Y=y_j | X=x_i\}=\frac{P\{X=x_i,Y=y_j\}}{P\{X=x_i\}}=\frac{p_{ij}}{p_{i\cdot}}(j=1,2,\cdots,n)$ 为在 $X=x_i$ 条件下随机变量 $Y$ 的条件分布律。

（2）对某个固定的 $j$ ，若 $P\{Y=y_j\}>0$ ，则称 $P\{X=x_i | Y=y_j\}=\frac{P\{X=x_i,Y=y_j\}}{P\{Y=y_j\}}=\frac{p_{ij}}{p_{\cdot j}}(i=1,2,\cdots,m)$ 为在 $Y=y_i$ 条件下随机变量 $X$ 的条件分布律。

5.2 二维连续型随机变量的条件分布

设 $(X, Y)$ 为二维连续型随机变量，联合密度函数为 $f (x, y)$ ，变量 $X, Y$ 的边缘密度函数分别为 $f_X(x),f_Y(y).$

对固定的 $X = x$ ，若 $f_X(x)>0$ ，称 $P\{Y\leq y | X=x\}=\int_{-\infty}^y\frac{f(x,y)}{f_X(x)}dy$ 为在 $X = x$ 条件下 $Y$ 的条件分布函数， $\frac{f(x,y)}{f_X(x)}$ 为条件密度函数。对于固定的 $Y = y$ ，可同理得到类似结论。

我看老汤也没给证明，自己也没想明白为什么，就上网搜了下，发现是做了近似处理。

在这里插入图片描述

六、随机变量的独立性

6.1 基本概念

设 $A, B$ 为两个随机事件，若 $P (A B) = P (A) P (B)$ ，称事件 $A, B$ 独立；设 $(X, Y)$ 为二维随机变量，令 $\{X\leq x\}=A,\{Y\leq y\}=B$ ，则 $P (A B) = P (A) P (B)$ 等价于 $F(x,y)=P\{X\leq x,Y\leq y\}=P\{X\leq x\}P\{Y\leq y\}=F_X(x)F_Y(y).$ 于是有如下定义：