1.并查集

1. 并查集原理

在一些应用问题中，需要将n个不同的元素划分成一些不相交的集合。开始时，每个元素自成一个单元素集合，然后按一定的规律将归于同一组元素的集合合并。在此过程中要反复用到查询某一个元素归属于那个集合的运算。适合于描述这类问题的抽象数据类型称为并查集(union-find
set)。

比如：某公司今年校招全国总共招生10人，西安招4人，成都招3人，武汉招3人，10个人来自不
同的学校，起先互不相识，每个学生都是一个独立的小团体，现给这些学生进行编号：{0, 1, 2, 3,4, 5, 6, 7, 8, 9}; 给以下数组用来存储该小集体，数组中的数字代表：该小集体中具有成员的个
数。(负号下文解释)

毕业后，学生们要去公司上班，每个地方的学生自发组织成小分队一起上路，于是：

西安学生小分队s1={0,6,7,8}，成都学生小分队s2={1,4,9}，武汉学生小分队s3={2,3,5}就相互认识了，10个人形成了三个小团体。假设右三个群主0,1,2担任队长，负责大家的出行。

一趟火车之旅后，每个小分队成员就互相熟悉，称为了一个朋友圈。

从上图可以看出：编号6,7,8同学属于0号小分队，该小分队中有4人(包含队长0)；编号为4和9的同学属于1号小分队，该小分队有3人(包含队长1)，编号为3和5的同学属于2号小分队，该小分队有3个人(包含队长1)。
仔细观察数组中内融化，可以得出以下结论：

1. 数组的下标对应集合中元素的编号
2. 数组中如果为负数，负号代表根，数字代表该集合中元素个数
3. 数组中如果为非负数，代表该元素双亲在数组中的下标

在公司工作一段时间后，西安小分队中8号同学与成都小分队1号同学奇迹般的走到了一起，两个
小圈子的学生相互介绍，最后成为了一个小圈子：

现在0集合有7个人，2集合有3个人，总共两个朋友圈。
通过以上例子可知，并查集一般可以解决一下问题：

1. 查找元素属于哪个集合
   沿着数组表示树形关系以上一直找到根(即：树中中元素为负数的位置)
2. 查看两个元素是否属于同一个集合
   沿着数组表示的树形关系往上一直找到树的根，如果根相同表明在同一个集合，否则不在
3. 将两个集合归并成一个集合
   -将两个集合中的元素合并
   -将一个集合名称改成另一个集合的名称
4. 集合的个数
   遍历数组，数组中元素为负数的个数即为集合的个数。

2. 并查集实现

template<class T>
class UnionFindSet
{
public:UnionFindSet(size_t n):_ufs(n,-1){}int Find(int x)//查找根{int root = x;while (_ufs[root] >= 0){root = _ufs[root];}return root;}void Union(int x1, int x2){int x = Find(x1);int y = Find(x2);if (x == y)return;//本来就在一个团体_ufs[x] += _ufs[y];_ufs[y] = x;}bool Inset(int x1, int x2){return Find(x1) == Find(x2);}size_t SetSize(){size_t size = 0;for (size_t i = 0; i < _ufs.size(); i++){if (_ufs[i] < 0)size++;}return size;}private:vector<T> _ufs;
};

此外为了学习图这个非常难得数据结构我这里补充一下通过编号找名字，通过名字找编号如何实现：

//template<class T>
//class UnionFindSet
//{
//public:
//
//	UnionFindSet(const T* a, const size_t n)
//	{
//		for (size_t i = 0; i < n; i++)
//		{
//			_a.push_back(a[i]);
//			_indexMap[a[i]] = i;
//		}
//	}
//
//private:
//	vector<T> _a;//编号找名字
//	map<T, int> _indexMap;//名字找编号
//};

实现后的效果如图：

将以上内容理解清楚我们才能进入更好地进入图的学习。

3. 并查集应用

https://leetcode.cn/problems/bLyHh0/

https://leetcode-cn.com/problems/satisfiability-of-equality-equations/comments/

以上两个题就是并查集能解决的问题，由于我们主要的目标是学习图，所以需要答案可以私信我

2.图的基本概念

图是由顶点集合及顶点间的关系组成的一种数据结构：G = (V， E)，其中：
顶点集合V = {x|x属于某个数据对象集}是有穷非空集合；

E = {(x,y)|x,y属于V}或者E = {<x, y>|x,y属于V && Path(x, y)}是顶点间关系的有穷集合，也叫
做边的集合。

(x, y)表示x到y的一条双向通路，即(x, y)是无方向的；Path(x, y)表示从x到y的一条单向通路，即
Path(x, y)是有方向的。

顶点和边：图中结点称为顶点，第i个顶点记作vi。两个顶点vi和vj相关联称作顶点vi和顶点vj之间
有一条边，图中的第k条边记作ek，ek = (vi，vj)或<vi，vj>。

有向图和无向图：在有向图中，顶点对<x, y>是有序的，顶点对<x，y>称为顶点x到顶点y的一条
边(弧)，<x, y>和<y, x>是两条不同的边，比如下图G3和G4为有向图。在无向图中，顶点对(x, y)
是无序的，顶点对(x,y)称为顶点x和顶点y相关联的一条边，这条边没有特定方向，(x, y)和(y，x)
是同一条边，比如下图G1和G2为无向图。注意：无向边(x, y)等于有向边<x, y>和<y, x>。

完全图：在有n个顶点的无向图中，若有n * (n-1)/2条边，即任意两个顶点之间有且仅有一条边，
则称此图为无向完全图，比如上图G1；在n个顶点的有向图中，若有n * (n-1)条边，即任意两个
顶点之间有且仅有方向相反的边，则称此图为有向完全图，比如上图G4。

邻接顶点：在无向图中G中，若(u, v)是E(G)中的一条边，则称u和v互为邻接顶点，并称边(u,v)依附于顶点u和v；在有向图G中，若<u, v>是E(G)中的一条边，则称顶点u邻接到v，顶点v邻接自顶点u，并称边<u, v>与顶点u和顶点v相关联。

顶点的度：顶点v的度是指与它相关联的边的条数，记作deg(v)。在有向图中，顶点的度等于该顶点的入度与出度之和，其中顶点v的入度是以v为终点的有向边的条数，记作indev(v);顶点v的出度是以v为起始点的有向边的条数，记作outdev(v)。因此：dev(v) = indev(v) + outdev(v)。注
意：对于无向图，顶点的度等于该顶点的入度和出度，即dev(v) = indev(v) = outdev(v)。
路径：在图G = (V， E)中，若从顶点vi出发有一组边使其可到达顶点vj，则称顶点vi到顶点vj的顶
点序列为从顶点vi到顶点vj的路径。

路径长度：对于不带权的图，一条路径的路径长度是指该路径上的边的条数；对于带权的图，一
条路径的路径长度是指该路径上各个边权值的总和。

简单路径与回路：若路径上各顶点v1，v2，v3，…，vm均不重复，则称这样的路径为简单路
径。若路径上第一个顶点v1和最后一个顶点vm重合，则称这样的路径为回路或环。

子图：设图G = {V, E}和图G1 = {V1，E1}，若V1属于V且E1属于E，则称G1是G的子图。

连通图：在无向图中，若从顶点v1到顶点v2有路径，则称顶点v1与顶点v2是连通的。如果图中任意一对顶点都是连通的，则称此图为连通图。

强连通图：在有向图中，若在每一对顶点vi和vj之间都存在一条从vi到vj的路径，也存在一条从vj
到vi的路径，则称此图是强连通图。

生成树：一个连通图的最小连通子图称作该图的生成树。有n个顶点的连通图的生成树有n个顶点
和n-1条边。

3. 图的存储结构

因为图中既有节点，又有边(节点与节点之间的关系)，因此，在图的存储中，只需要保存：节点和边关系即可。节点保存比较简单，只需要一段连续空间即可，那边关系该怎么保存呢？

3.1 邻接矩阵

因为节点与节点之间的关系就是连通与否，即为0或者1，因此邻接矩阵(二维数组)即是：先用一
个数组将定点保存，然后采用矩阵来表示节点与节点之间的关系。

注意：

1. 无向图的邻接矩阵是对称的，第i行(列)元素之和，就是顶点i的度。有向图的邻接矩阵则不一
   定是对称的，第i行(列)元素之后就是顶点i 的出(入)度。
2. 如果边带有权值，并且两个节点之间是连通的，上图中的边的关系就用权值代替，如果两个
   顶点不通，则使用无穷大代替。
   
3. 用邻接矩阵存储图的有点是能够快速知道两个顶点是否连通，缺陷是如果顶点比较多，边比
   较少时，矩阵中存储了大量的0成为系数矩阵，比较浪费空间，并且要求两个节点之间的路
   径不是很好求。

3.2 邻接矩阵的代码实现

namespace matrix
{template<class V, class W, W MAX = INT_MAX, bool Direction = false>class Graph{public:Graph(const V* a, size_t n){_vertexs.reserve(n);for (size_t i = 0; i < n; i++){_vertexs.push_back(a[i]);//存放顶点_IndexMap[a[i]] = i;//存放顶点，并建立顶点与下标的映射关系}_matrix.resize(n);for (int i = 0; i < _matrix.size(); i++){_matrix[i].resize(n, MAX);}}size_t GetIndexMap(const V& v){auto it = _IndexMap.find(v);if (it != _IndexMap.end())return it->second;else{return -1;}}void AddEdge(const V& src, const V& dst, const W& w){size_t srci = GetIndexMap(src);size_t dsti = GetIndexMap(dst);_matrix[srci][dsti] = w;if (Direction == false){_matrix[dsti][srci] = w;}}void Print(){cout <<"  ";for (size_t i = 0; i < _vertexs.size(); i++){printf("%4d", i);}cout << endl;for (size_t i = 0; i < _matrix.size(); i++){cout << i << ' ';for (size_t j = 0; j < _matrix[i].size(); j++){if (_matrix[i][j] == MAX)printf("%4c", '&');elseprintf("%4d", _matrix[i][j]);}cout << endl;}}private:vector<V> _vertexs;//顶点集map<V,int> _IndexMap;//下标和顶点映射关系vector<vector<W>> _matrix;//邻接矩阵};void test1(){Graph<char, int, INT_MAX, false> g("0123", 4);g.AddEdge('0', '0', 1);g.AddEdge('1', '1', 2);g.AddEdge('2', '2', 3);g.AddEdge('3', '3', 4);g.Print();}}

3.3 邻接表

邻接表：使用数组表示顶点的集合，使用链表表示边的关系。

1. 无向图邻接表存储
   
   注意：无向图中同一条边在邻接表中出现了两次。如果想知道顶点vi的度，只需要知道顶点
   vi边链表集合中结点的数目即可。

2. 有向图邻接表存储
   
   注意：有向图中每条边在邻接表中只出现一次，与顶点vi对应的邻接表所含结点的个数，就
   是该顶点的出度，也称出度表，要得到vi顶点的入度，必须检测其他所有顶点对应的边链
   表，看有多少边顶点的dst取值是i。

3.4 邻接表的代码实现

namespace Link_table
{template<class W>struct Edge{W _w;//int _srci;size_t _dsti;//指向的点Edge<W>* _next;Edge(size_t dsti,const W& w):_dsti(dsti),_w(w),_next(nullptr){}};template<class V, class W, bool Direction = false>class Graph{typedef Edge<W> Edge;public:Graph(const V* a, size_t n){_vertexs.reserve(n);for (size_t i = 0; i < n; i++){_vertexs.push_back(a[i]);//存放顶点_IndexMap[a[i]] = i;//存放顶点，并建立顶点与下标的映射关系}_linktable.resize(n,nullptr);}size_t GetIndexMap(const V& v){auto it = _IndexMap.find(v);if (it != _IndexMap.end()){return it->second;}else{return -1;}}void AddEdge(const V& src, const V& dst, const W& w){size_t srci = GetIndexMap(src);size_t dsti = GetIndexMap(dst);Edge* eg = new Edge(dsti, w);eg->_next = _linktable[srci];_linktable[srci] = eg;if (Direction == false){Edge* eg = new Edge(srci, w);eg->_next = _linktable[dsti];_linktable[dsti] = eg;}}void Print(){for (size_t i = 0; i < _linktable.size(); i++){cout << _vertexs[i] << "   ";Edge* cur = _linktable[i];while (cur){cout << _vertexs[cur->_dsti] << ":" << cur->_w << "->";cur = cur->_next;}cout << "nullptr";cout << endl;}}private:vector<V> _vertexs;//顶点集map<V, int> _IndexMap;//下标和顶点映射关系vector<Edge*> _linktable;//};void test1(){string a[] = { "张三", "李四", "王五", "赵六" };Graph<string, int, true> g1(a, 4);g1.AddEdge("张三", "李四", 100);g1.AddEdge("张三", "王五", 200);g1.AddEdge("王五", "赵六", 30);g1.Print();}}

4. 图的遍历

给定一个图G和其中任意一个顶点v0，从v0出发，沿着图中各边访问图中的所有顶点，且每个顶
点仅被遍历一次。"遍历"即对结点进行某种操作的意思。
请思考树以前是怎么遍历的，此处可以直接用来遍历图吗？为什么？

4.1 图的广度优先遍历

4.2 广度优先遍历的代码

namespace matrix
{template<class V, class W, W MAX = INT_MAX, bool Direction = false>class Graph{public:Graph(const V* a, size_t n){_vertexs.reserve(n);for (size_t i = 0; i < n; i++){_vertexs.push_back(a[i]);//存放顶点_IndexMap[a[i]] = i;//存放顶点，并建立顶点与下标的映射关系}_matrix.resize(n);for (int i = 0; i < _matrix.size(); i++){_matrix[i].resize(n, MAX);}}size_t GetIndexMap(const V& v){auto it = _IndexMap.find(v);if (it != _IndexMap.end())return it->second;else{return -1;}}void AddEdge(const V& src, const V& dst, const W& w){size_t srci = GetIndexMap(src);size_t dsti = GetIndexMap(dst);_matrix[srci][dsti] = w;if (Direction == false){_matrix[dsti][srci] = w;}}void BFS(const V& v){size_t scr = GetIndexMap(v);queue<int> q;vector<bool> visited(_vertexs.size(), false);visited[scr] = true;q.push(scr);size_t n = _vertexs.size();while (!q.empty()){size_t front = q.front();q.pop();cout << front << ":" << _vertexs[front] << endl;for (size_t i = 0; i < n; i++){if (_matrix[front][i] != MAX){if (visited[i] == false){q.push(i);visited[i] = true;}}}}}void Print(){cout <<"  ";for (size_t i = 0; i < _vertexs.size(); i++){printf("%4d", i);}cout << endl;for (size_t i = 0; i < _matrix.size(); i++){cout << i << ' ';for (size_t j = 0; j < _matrix[i].size(); j++){if (_matrix[i][j] == MAX)printf("%4c", '&');elseprintf("%4d", _matrix[i][j]);}cout << endl;}}private:vector<V> _vertexs;//顶点集map<V,int> _IndexMap;//下标和顶点映射关系vector<vector<W>> _matrix;//邻接矩阵};void test1(){Graph<char, int, INT_MAX, false> g("0123", 4);g.AddEdge('0', '0', 1);g.AddEdge('1', '1', 2);g.AddEdge('2', '2', 3);g.AddEdge('3', '3', 4);g.Print();}void BDFStest(){string a[] = { "张三", "李四", "王五", "赵六" };Graph<string, int, true> g1(a, 4);g1.AddEdge("张三", "李四", 100);g1.AddEdge("张三", "王五", 200);g1.AddEdge("王五", "赵六", 30);g1.Print();g1.BFS("张三");}
}

效果如下:

后面的深度优先遍历下一节继续，原因是因为这一部分挺难的，大家其实需要花很多时间去理解一下，总的来说图需要我们画很多精力去学习，相信学懂这一部分不光在代码能力上有很大提升，在逻辑思维也会有很大提升的。