海明码校验和纠错

1.计算1011海明码的校验位

根据公式n+k<= $2^{k}$ -1 （n是信息码位数，1011就是4）

则 k=3

4+3<= $2^{3}$ -1

由上可知校验码有3个

又因为

$2^{2}$ =4 $2^{1}$ =2 $2^{0}$ =1

可以列出下列表格

7	6	5	4	3	2	1
d3	d2	d1	x2	d0	x1	x0
1	0	1		1

x0 x1 x2 分别为3个校验码的位置

又因为

7=4+2+1 6=4+2 5=4+1 3=2+1

2 1 0 2 1 2 0 1 0 此行表示校验码位置，例如7里面包含 x2 x1 x0而6只有 x1 x0

因此得到分组

x2（d3 d2 d1）x1（d3 d2 d0）x0（d3 d1 d0）

将分组里的值进行异或操作

d3 $\bigoplus$ d2 $\bigoplus$ d1 =1 $\bigoplus$ 0 $\bigoplus$ 1=0=x2

d3 $\bigoplus$ d2 $\bigoplus$ d0 =1 $\bigoplus$ 0 $\bigoplus$ 1=0=x1

d3 $\bigoplus$ d1 $\bigoplus$ d0 =1 $\bigoplus$ 1 $\bigoplus$ 1=1=x0

最终可得

7	6	5	4	3	2	1
d3	d2	d1	x2	d0	x1	x0
1	0	1	0	1	0	1

信息码加上校验码后的结果为

1010101

2.海明码校验和纠错

（因为网上说海明码最多只能纠错1位，我也不太理解，因此只用1位做例子）

当发送端发送1010101时，接收端接收到的是1110101（这里设置第2位错误）

二进制			十进制	正确	错误
0	0	1	1	1	1
0	1	0	2	0	1
0	1	1	3	1	1
1	0	0	4	0	0
1	0	1	5	1	1
1	1	0	6	0	0
1	1	1	7	1	1

根据上表进行分组

将二进制各个位上为1对应的码数找出来后进行异或操作，为0正确，为1代表有错误

二进制第一位 X1 1 $\bigoplus$ 1 $\bigoplus$ 1 $\bigoplus$ 1=0

二进制第二位 X2 1 $\bigoplus$ 1 $\bigoplus$ 0 $\bigoplus$ 1=1 这里有错误

二进制第三位 X3 0 $\bigoplus$ 1 $\bigoplus$ 0 $\bigoplus$ 1=0

上面发现错误，然后将上面按位排列X3X2X1,得二进制数 010 转换为十进制 2

因此可对应上表找到十进制2所对应的错误码位置

纠错只要把该码取反即可，即上面的1变成0就行了

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