【C++】AVL树

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AVL树通过维护树的平衡来确保搜索、插入和删除操作的时间复杂度始终为O(log n)，其中n是树中节点的数量。这种自平衡特性使得AVL树在数据量较大时仍然能保持较高的效率。由于AVL树是一种二叉搜索树，它能够快速地定位到任何一个节点。这使得在数据量较大的情况下，查找特定节点的效率很高。

AVL树概念

  1. AVL树是最先发明的⾃平衡⼆叉查找树，AVL是⼀颗空树，或者具备下列性质的⼆叉搜索树：它的左右⼦树都是AV树，且左右⼦树的⾼度差的绝对值不超过1。AVL树是⼀颗⾼度平衡搜索⼆叉树，通过控制⾼度差去控制平衡。
  2. AVL树得名于它的发明者G. M. Adelson-Velsky和E. M. Landis是两个前苏联的科学家，他们在1962年的论⽂《An algorithm for the organization of information》中发表了它。
  3. AVL树实现这⾥我们引⼊⼀个平衡因⼦(balance factor)的概念，每个结点都有⼀个平衡因⼦，任何结点的平衡因⼦等于右⼦树的⾼度减去左⼦树的⾼度，也就是说任何结点的平衡因⼦等于0/1/-1，AVL树并不是必须要平衡因⼦，但是有了平衡因⼦可以更⽅便我们去进⾏观察和控制树是否平衡，就像⼀个⻛向标⼀样。
  4. AVL树整体结点数量和分布和完全⼆叉树类似，⾼度可以控制在 ，那么增删查改的效率也可以控制在 ，相⽐⼆叉搜索树有了本质的提升。

思考⼀下为什么AVL树是高度平衡搜索⼆叉树，要求高度差不超过1，⽽不是高度差是0呢？0不是更好的平衡吗？
画画图分析我们发现，不是不想这样设计，⽽是有些情况是做不到⾼度差是0的。⽐如⼀棵树是2个结点，4个结点等情况下，⾼度差最好就是1，⽆法作为⾼度差是0
在这里插入图片描述

AVL树的结构

template<class K,class V>
struct AVLTreeNode
{pair<K, V> _kv;AVLTreeNode<K, V>* _left;AVLTreeNode<K, V>* _right;AVLTreeNode<K, V>* _parent;int _bf;AVLTreeNode(const pair<K,V>& kv)_kv(kv),_left(nullptr),_right(nullptr),_parent(nullptr),_bf(0){}
};template<class K,class V>
class AVLTree
{typedef AVLTreeNode Node;
public:
.........
private:Node* _root=nullptr;

AVL树是一种二叉搜索树，先构造AVL树的节点，这里用pair<Key,T>存储键值对数据。前面的map和set文章中讲过键值对。AVL树的节点需要键值对数据，以及左指针、右指针、和链接父亲节点的指针、还得存储平衡因子。后构造这棵AVL树。

AVL树的实现

AVL树的插入

  1. 先按照搜索二叉树的规则对所需要的值进行插入。
  2. 进行插入后，影响祖先节点的高度，平衡因子肯定会发生变化。平衡因子需要进行更新大致分两种情况，最坏情况下平衡因子需要更新的跟节点才能平衡，另一种情况跟新到中间可能就已经平衡了。
  3. 更新平衡因子过程中，没有出现问题就结束了
  4. 更新平衡因⼦过程中出现不平衡，对不平衡⼦树旋转，旋转后本质调平衡的同时，本质降低了⼦树的⾼度，不会再影响上⼀层，所以插⼊结束。

平衡因子的更新

  1. 平衡因⼦ = 右⼦树⾼度-左⼦树⾼度
  2. 只有⼦树⾼度变化才会影响当前结点平衡因⼦。
  3. 插⼊结点，会增加⾼度，所以新增结点在parent的右⼦树，parent的平衡因⼦++，新增结点在parent的左⼦树，parent平衡因⼦–
  4. parent所在⼦树的⾼度是否变化决定了是否会继续往上更新

更新停⽌条件：

更新后parent的平衡因⼦等于0，更新中parent的平衡因⼦变化为-1->0 或者 1->0，说明更新前
parent⼦树⼀边⾼⼀边低，新增的结点插⼊在低的那边，插⼊后parent所在的⼦树⾼度不变，不会
影响parent的⽗亲结点的平衡因⼦，更新结束。

更新后parent的平衡因⼦等于1 或 -1，更新前更新中parent的平衡因⼦变化为0->1 或者 0->-1，说
明更新前parent⼦树两边⼀样⾼，新增的插⼊结点后，parent所在的⼦树⼀边⾼⼀边低，parent所
在的⼦树符合平衡要求，但是⾼度增加了1，会影响arent的⽗亲结点的平衡因⼦，所以要继续向上
更新。

更新后parent的平衡因⼦等于2 或 -2，更新前更新中parent的平衡因⼦变化为1->2 或者 -1->-2，说
明更新前parent⼦树⼀边⾼⼀边低，新增的插⼊结点在⾼的那边，parent所在的⼦树⾼的那边更⾼
了，破坏了平衡，parent所在的⼦树不符合平衡要求，需要旋转处理，旋转的⽬标有两个：1、把
parent⼦树旋转平衡。2、降低parent⼦树的⾼度，恢复到插⼊结点以前的⾼度。所以旋转后也不
需要继续往上更新，插⼊结束。
在这里插入图片描述

template<class K,class V>
class AVLTree
{typedef AVLTreeNode Node;
public:bool Insert(const pair<K, V>& kv){if (_root == nullptr){_root = new node(kv);return true;}Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_kv.first > kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else if (cur->_kv.first < kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else{return false;}}cur = new Node(kv);if (parent->_kv.first > kv.first){parent->_left = cur;}else{parent->_right = cur;}cur->_parent = parent;//控制平衡因子while (parent){if (cur == parent->_left){parent->_bf--;}else{parent->_bf++;}if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1){parent = cur;parent->_parent = parent;}else if(parent->_bf == 2 || parent->_bf ==-2){//旋转代码}else if{return false;}}}

旋转

  1. 保持搜索树的规则
  2. 让旋转的树从不满⾜变平衡，其次降低旋转树的⾼度
    旋转总共分为四种，左单旋/右单旋/左右双旋/右左双旋。

右旋

在这里插入图片描述

  1. 本图1展⽰的是10为根的树，有a/b/c抽象为三棵⾼度为h的⼦树(h>=0)，a/b/c均符合AVL树的要求。10可能是整棵树的根，也可能是⼀个整棵树中局部的⼦树的根。这⾥a/b/c是⾼度为h的⼦树，是⼀种概括抽象表⽰，他代表了所有右单旋的场景
  2. 在a⼦树中插⼊⼀个新结点，导致a⼦树的⾼度从h变成h+1，不断向上更新平衡因⼦，导致10的平衡因⼦从-1变成-2，10为根的树左右⾼度差超过1，违反平衡规则。10为根的树左边太⾼了，需要往右边旋转，控制两棵树的平衡。
  3. 旋转核⼼步骤，因为5 < b⼦树的值 < 10，将b变成10的左⼦树，10变成5的右⼦树，5变成这棵树新的根，符合搜索树的规则，控制了平衡，同时这棵的⾼度恢复到了插⼊之前的h+2，符合旋转原则。如果插⼊之前10整棵树的⼀个局部⼦树，旋转后不会再影响上⼀层，插⼊结束了。
//右旋
void RtateR(Node* parent)
{Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;parent->_left = subLR;if (subLR){subLR->_parent = parent;}Node* Pparent=parent->_parent;subL->_right = parent;parent->_parent = subL;if (parent==_root){_root = subL;subL->_parent = nullptr;}else{if (Pparent->_left == parent){Pparent->_left = subL;}else{Pparent->_right=subL}subL->_parent = Pparent;}subL->_bf = 0;parent->_bf = 0;	
}

subL为父节点的左节点，subLR为为父节点左节点的右节点。如果subLR不为空，父节点的左指针链接subLR。找到父节点的父节点（下面称为祖父节点），让subL的右指针链接父节点，父节点的父节点链接subL。让subL节点成为新的父节点，之前的父节点成为了subL的孩子。

左旋

在这里插入图片描述

  1. 在a⼦树中插⼊⼀个新结点，导致a⼦树的⾼度从h变成h+1，不断向上更新平衡因⼦，导致10的平衡因⼦从1变成2，10为根的树左右⾼度差超过1，违反平衡规则。10为根的树右边太⾼了，需要往左边旋转，控制两棵树的平衡。
  2. 旋转核⼼步骤，因为10 < b⼦树的值 < 15，将b变成10的右⼦树，10变成15的左⼦树，15变成这棵 树新的根，符合搜索树的规则，控制了平衡，同时这棵的⾼度恢复到了插⼊之前的h+2，符合旋转原则。如果插⼊之前10整棵树的⼀个局部⼦树，旋转后不会再影响上⼀层，插⼊结束了。
void RtateL(Node* parent)
{Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;parent->_right = subRL;if (subRL){subRL->_parent = parent;}Node* Pparent = parent->_parent;subR->_left = parent;parent->_parent = subR;if (parent == _root){subR = _root;subR->_parent = nullptr;}else{if (Pparent->_left == parent){Pparent->_left = subR;}else{Pparent->_right = subR;}subR->_parent = Pparent;}subR->_bf = 0;parent->_bf = 0;
}

步骤与右旋相同，只是换了一个方向。

左右双旋

左边⾼时，如果插⼊位置不是在a⼦树，⽽是插⼊在b⼦树，b⼦树⾼度从h变成h+1，引发旋转，右单旋⽆法解决问题，右单旋后，我们的树依旧不平衡。右单旋解决的纯粹的左边⾼，但是插⼊在b⼦树中，10为跟的⼦树不再是单纯的左边⾼，对于10是左边⾼，但是对于5是右边⾼，需要⽤两次旋转才能解决，以5为旋转点进⾏⼀个左单旋，以10为旋转点进⾏⼀个右单旋，这棵树这棵树就平衡了。

跟左右双旋类似，下⾯我们将a/b/c⼦树抽象为⾼度h的AVL⼦树进⾏分析，另外我们需要把b⼦树的
细节进⼀步展开为12和左⼦树⾼度为h-1的e和f⼦树，因为我们要对b的⽗亲15为旋转点进⾏右单
旋，右单旋需要动b树中的右⼦树。b⼦树中新增结点的位置不同，平衡因⼦更新的细节也不同，通
过观察12的平衡因⼦不同，这⾥我们要分三个场景讨论。

• 场景1：h >= 1时，新增结点插⼊在e⼦树，e⼦树⾼度从h-1变为h并不断更新12->15->10平衡因
⼦，引发旋转，其中12的平衡因⼦为-1，旋转后10和12平衡因⼦为0，15平衡因⼦为1。
• 场景2：h >= 1时，新增结点插⼊在f⼦树，f⼦树⾼度从h-1变为h并不断更新12->15->10平衡因⼦，引发旋转，其中12的平衡因⼦为1，旋转后15和12平衡因⼦为0，10平衡因⼦为-1。
• 场景3：h == 0时，a/b/c都是空树，b⾃⼰就是⼀个新增结点，不断更新15->10平衡因⼦，引发旋
转，其中12的平衡因⼦为0，旋转后10和12和15平衡因⼦均为0。

在这里插入图片描述
在这里插入图片描述

if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)
{RotateR(parent);
}
else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)
{RotateL(parent);
}
else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)
{RotateLR(parent);
}
else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)
{RotateRL(parent);
}

	void RtateLR(Node* parent){Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;int bf = subLR->_bf;RotateL(parent->_left);RotateR(parent);if (bf == 0){subL->_bf = 0;subLR->_bf = 0;parent->_bf = 0;}else if (bf == -1){subL->_bf = 0;subLR->_bf = 0;parent->_bf = 1;}else if (bf == 1){subL->_bf = -1;subLR->_bf = 0;parent->_bf = 0;}else{assert(false);}}//右左双旋void RtateLR(Node* parent){Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;int bf = subRL->_bf;RotateR(parent->_right);RotateL(parent);if (bf == 0){subL->_bf = 0;subLR->_bf = 0;parent->_bf = 0;}else if (bf == -1){subL->_bf = 0;subLR->_bf = 0;parent->_bf = -1;}else if (bf == 1){subL->_bf = 1;subLR->_bf = 0;parent->_bf = 0;}else{assert(false);}}
private:Node* _root = nullptr;
};

AVL树的实现的代码

#include<iostream>
using namespace std;template<class K,class V>
struct AVLTreeNode
{pair<K, V> _kv;AVLTreeNode<K, V>* _left;AVLTreeNode<K, V>* _right;AVLTreeNode<K, V>* _parent;int _bf;AVLTreeNode(const pair<K,V>& kv)_kv(kv),_left(nullptr),_right(nullptr),_parent(nullptr),_bf(0){}
};template<class K,class V>
class AVLTree
{typedef AVLTreeNode Node;
public:bool Insert(const pair<K, V>& kv){if (_root == nullptr){_root = new node(kv);return true;}Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_kv.first > kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else if (cur->_kv.first < kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else{return false;}}cur = new Node(kv);if (parent->_kv.first > kv.first){parent->_left = cur;}else{parent->_right = cur;}cur->_parent = parent;//控制平衡因子while (parent){if (cur == parent->_left){parent->_bf--;}else{parent->_bf++;}if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1){parent = cur;parent->_parent = parent;}else if(parent->_bf == 2 || parent->_bf ==-2){if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1){RotateR(parent);}else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1){RotateL(parent);}else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1){RotateLR(parent);}else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1){RotateRL(parent);}else{assert(false);}break;}else if{return false;}}}//右旋void RtateR(Node* parent){Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;parent->_left = subLR;if (subLR){subLR->_parent = parent;}Node* Pparent=parent->_parent;subL->_right = parent;parent->_parent = subL;if (parent==_root){_root = subL;subL->_parent = nullptr;}else{if (Pparent->_left == parent){Pparent->_left = subL;}else{Pparent->_right=subL}subL->_parent = Pparent;}subL->_bf = 0;parent->_bf = 0;	}//左旋void RtateL(Node* parent){Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;parent->_right = subRL;if (subRL){subRL->_parent = parent;}Node* Pparent = parent->_parent;subR->_left = parent;parent->_parent = subR;if (parent == _root){subR = _root;subR->_parent = nullptr;}else{if (Pparent->_left == parent){Pparent->_left = subR;}else{Pparent->_right = subR;}subR->_parent = Pparent;}subR->_bf = 0;parent->_bf = 0;}//左右双旋void RtateLR(Node* parent){Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;int bf = subLR->_bf;RotateL(parent->_left);RotateR(parent);if (bf == 0){subL->_bf = 0;subLR->_bf = 0;parent->_bf = 0;}else if (bf == -1){subL->_bf = 0;subLR->_bf = 0;parent->_bf = 1;}else if (bf == 1){subL->_bf = -1;subLR->_bf = 0;parent->_bf = 0;}else{assert(false);}}//右左双旋void RtateLR(Node* parent){Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;int bf = subRL->_bf;RotateR(parent->_right);RotateL(parent);if (bf == 0){subL->_bf = 0;subLR->_bf = 0;parent->_bf = 0;}else if (bf == -1){subL->_bf = 0;subLR->_bf = 0;parent->_bf = -1;}else if (bf == 1){subL->_bf = 1;subLR->_bf = 0;parent->_bf = 0;}else{assert(false);}}
private:Node* _root = nullptr;
};

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