Chapter 1

继续第一章, 我们从第一章的最后一节开始

1.C

这一节我们围绕子空间的概念展开, 下面我们给出子空间的定义

若$V$的子集$U$是一个向量空间, 那么这个空间被称作$V$的子空间(使用与定义于$V$上的一样的加法和标量乘法)

比如说1.33 Example: $\{(x_1,x_2,0):x_1,x_2\in F\}$就是$F^3$的子空间

有些数学家使用线性空间这样的术语, 这和子空间的意义相同

由上一节学习到的概念我们可以知道, 如果我想判定一个集合是否是向量空间, 我们得从六个定义入手, 也就是我们所说的三率三元

接下来我将给出方法来确定一个向量空间的子集是否是其子空间

1.34

$V$的子集$U$当且仅当在满足下面三个条件时是一个子空间

• 加法单位元

  $0\in U$

• 加法封闭

  $\forall u,w\in U,u+w\in U$

• 标量乘法封闭

  $\forall a\in F,u\in U,au\in U$

这里我们来证明一下这三个条件的满足能否证明出$U$是向量空间

• proof.

  三元: 加法单位元, 加法逆元, 乘法单位元

  • 第一个条件直接给出了加法单位元, 其次由条件三$\forall v\in U$有$-1\in F,(-1)v\in U$, 得到加法逆元, 乘法单位元同理$\forall v\in U$有$1\in F,1v\in U$

  三率: 交换律, 结合律, 分配律

  • 条件二和条件三保证了这个子集在加法和数乘上有意义, 且集合$U$是$V$的子集, $V$是向量空间, 显然$U$也会满足向量空间$V$满足的交换律,结合律和分配律

如此一来对于子空间的判定我们就只需要看看这个子集是是否有加法单位元以及是否在加法和数乘上封闭

实际上第一个条件可以用集合$U$非空来替代, 因为$U$非空, 那么一定存在$u\in U$根据条件三有$0\in F,0u=0\in U$, 这样可以直接证明出加法单位元, 实际上笔者在这里认为条件三其实包含了集合$U$非空的前提, 因为条件三要求就是有$u\in U$, 那么如果我们这样看的话实际上只需要记忆后两个条件即可

1.35 Example

这里我将列举出书上列举的一系列子空间的例子:

• 如果$b\in F,\{(x_1,x_2,x_3,x_4)\in F^4:x_3=5x_4+b\}$

  当且仅当$b=0$时这是$F^4$的子空间

• 从区间$[0,1]$映射到连续实数的函数集合是$R^{[0,1]}$的子空间

• 从集合$R$映射到可微实数的函数集合的$R^R$的子空间

• 从区间$(0,3)$映射到可微实数的函数集合$f$有$f^{\prime }(2)=b$, 当且仅当$b=0$时是$R^{(0,3)}$的子空间

• 极限为0的复数序列组成的集合是$C^{\infty }$的子空间

比如说第四项中, 对于函数$f$, 有$f^{\prime }(2)=b$, 我们知道子空间要求加法封闭, 那么假设$h,g\in f$, 有$(h+g{)}^{\prime }(2)=b=h^{\prime }(2)+g^{\prime }(2)=2b$, 则有$b=0$

形象来理解一下, $R^2$的子空间是 { 0 } , R 2 \{0\},R^2 {0},R2, 以及$R^2$中的所有的穿过原点的线, $R^3$的子空间是 { 0 } , R 3 \{0\},R^3 {0},R3和所有经过原点的$R^3$上的线和平面, 当然这是在我们人类可以理解的维度下对子空间的理解, 证明上面提及的子空间很容易, 但是难的是去证明只有这些子空间是$R^2$和$R^3$的子空间, 这个方面的内容我们会在下一章进行介绍

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当我们在处理向量空间有关的问题时, 因为子空间的良好性质, 我们一般对子空间更感兴趣, 而不是任意的子集, 那么下面的子空间和的概念将十分有用

我们先来提出子集的和的概念

1.36 Definition

如果$U_1,U_2,\cdots ,U_m$是$V$的子集, 那么$U_1,U_2,\cdots ,U_m$的和$U_1+\cdots +U_m$表示了所有可能的$U_1,\cdots ,U_m$的元素的和, 更准确地说:
U 1 + U 2 + ⋯ + U m = { u 1 + u 2 + ⋯ + u m : u 1 ∈ U 1 , ⋯ , u m ∈ U m } U_1+U_2+\cdots+U_m=\{u_1+u_2+\cdots+u_m:u_1\in U_1,\cdots,u_m\in U_m\} U1​+U2​+⋯+Um​={u1​+u2​+⋯+um​:u1​∈U1​,⋯,um​∈Um​}

1.37 Example

如果有$U=\{(x,0,0)\in F^3:x\in F\},W=\{(0,y,0)\in F^3,y\in F\}$

那么$U+W=\{(x,y,0):x,y\in F\}$

1.38 Example

如果有$U=\{(x,x,y,y)\in F^4:x,y\in F\},W=\{(x,x,y,z)\in F^4:x,y,z\in F\}$

那么$U+W=\{(x,x,y,z)\in F^4:x,y,z\in F\}$

1.39

对于上面的子集的和的定义, 如果我稍微修改一下改成子空间的和, 即如果$U_1,\cdots ,U_m$ 是向量空间$V$的子空间, 那么$U_1+\cdots +U_m$就是$V$中的包含$U_1,\cdots ,U_m$的最小的子空间

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• proof.

  显然$0\in U_1+\cdots +U_m$且$U_1+\cdots +U_m$在加法和数乘上封闭, 这表示其是$V$的子空间

  假设有一个向量空间$W\in V$, 且这个向量空间是包含了$U_1,\cdots ,U_m$的最小子空间

  首先, $U_1,\cdots ,U_m$都被包含于$U_1+\cdots +U_m$(当$U_1+\cdots +U_m$除了一项其他都为加法单位元时), 那么$W\subseteq U_1+\cdots +U_m$

  其次, 对于包含了$U_1,\cdots ,U_m$的向量空间, 由于加法的上的封闭, 一定包含了$U_1+\cdots +U_m$, 这样$U_1+\cdots +U_m\subseteq W$

  所以$U_1+\cdots +U_m=W$是包含了$U_1,\cdots ,U_m$的最小子空间

子空间的求和可以类比为子集的求并, 比如说包含两个子空间的最小子空间的这两个子空间的和, 包含两个集合的最小集合是这两个集合的并集

接下来我们给出一个特殊的定义: 直和

1.40 Definition

如果$U_1,U_2,\cdots ,U_m$是$V$ 的子空间, 那么

• 当$U_1+\cdots +U_m$的元素只能由唯一的求和方式表示: $u_1+u_2+\cdots +u_m,u_j\in U_j$, 这样的和被称作直和
• 如果$U_1+\cdots +U_m$是直和, 我们写作$U_1⨁\cdots ⨁U_m$

1.41 Example

比如说对于$U=\{(x,y,0)\in F^3:x,y\in F\},W=\{(0,0,z)\in F^3:z\in F\}$

有$F^3=U⨁W$

比如说$(1,2,3)\in F^3$, 而$(1,2,3)$只能由$u+w,u\in U,w\in W$表示, 那么$u,w$一定只能为分别为$(1,2,0)$和$(0,0,3)$

1.42 Example

对于$U_1=\{(x,0,\cdots ,0)\in F^n,x\in F\},U_2=\{(0,x,\cdots ,0)\in F^n,x\in F\},\cdots ,U_n=\{(0,0,\cdots ,x)\in F^n,x\in F\}$

有$F^n=U_1⨁U_2⨁\cdots ⨁U_n$

同时, 反例也能让我们对这一概念理解更加深刻

1.43 Example

有
$$\begin{gathered} U_1=\{(x,y,0)\in F^3:x,y\in F\} \\ {U}_2=\{(0,0,z)\in F^3:z\in F\} \\ {U}_3=\{(0,y,y)\in F^3:y\in F\} \end{gathered}$$
$U_1+U_2+U_3$就不是直和

比如说对于$(0,0,0)$

同时有
$$\begin{gathered} (0,0,0)=(0,0,0)+(0,0,0)+(0,0,0) \\ (0,0,0)=(0,1,0)+(0,0,1)+(0,-1,-1) \end{gathered}$$
显然不成立

但是在看了这么多的例子之后, 我们虽然理解了直和的概念, 但是总感觉还差了些什么, 我们可以发现我们好像并不知道改如何具体证明一个直和的定义, 因为正式的直和的定义是有唯一的求和形式, 但是我们总不能遍历证明出所有元素的所有形式都是唯一的吧, 接下来我们就提出了一个方法来帮助证明直和

**1.44 **

如果$U_1,U_2,\cdots ,U_m$是$V$ 的子空间, 那么当且仅当在$0$能被唯一的$u_1+u_2+\cdots +u_m$表示时(显然$u_i=0$), $U_1+\cdots +U_m$是直和

对于上面的定理我们给出证明:

• proof.

  首先显然能证明出$U_1+\cdots +U_m$是直和时$0$能被唯一的$u_1+u_2+\cdots +u_m$表示

  其次当$0$能被唯一的$u_1+u_2+\cdots +u_m$表示时, 我们假设有$V\in U_1+\cdots +U_m$

  且$v=u_1+u_2+\cdots +u_m=v_1+v_2+\cdots +v_m(u_i,v_i\in U_i)$

  则有$0=(u_1-v_1)+(u_2+v_2)+\cdots +(u_m-v_m)$

  则$u_1=v_1,u_2=v_2,\cdots ,u_m=v_m$, 所以$U_1+\cdots +U_m$的元素只能被唯一的$u_1+u_2+\cdots +u_m$表示

  所以$U_1+\cdots +U_m$是直和

1.45

特别的, 我们讨论一下两个子空间的直和

对于$V$的子空间$U,W$, 当且仅当 U ∩ W = { 0 } U\cap W=\{0\} U∩W={0}时, $U+W$是直和

• proof.

  首先假设$U+W$是直和, 不妨令$v\in U\cap W$, 也就是说有$v\in U$且$v\in W$, 那么就有$(-1)v\in W$

  而同时有$v+(-1)v=0$, 且由$U+W$是直和可知, $v=(-1)v=0$, 那么显然 U ∩ W = { 0 } U\cap W=\{0\} U∩W={0}

  另一方面, 假设 U ∩ W = { 0 } U\cap W=\{0\} U∩W={0}, 不妨令$u\in U,w\in W$, 且$u+w=0$, 我们需要证明的就是$u=w=0$

  首先等式表明$u=-w\in W$, 所以有$u\in U\cap W$, 但是 U ∩ W = { 0 } U\cap W=\{0\} U∩W={0}, 所以$u=0$, 且$u+w=0$, 所以$w=0$

  得证

上面的结论讨论了两个子空间的求和和直和的关系, 但是当我们讨论超过两个子空间的求和的话就无法使用这个结论, 比如说1.43的例子中有 U 1 ∩ U 2 = U 1 ∩ U 3 = U 2 ∩ U 3 = { 0 } U_1\cap U_2=U_1\cap U_3=U_2\cap U_3=\{0\} U1​∩U2​=U1​∩U3​=U2​∩U3​={0}, 但是$U_1+U_2+U_3$不是直和

之前我们提到了, 子空间求和可以类比为子集求并集, 相同的, 子空间的直和可以类比成非相邻集合求并集, 但是同一向量空间的两个子空间不可能是非相邻的, 因为他们肯定都包含了加法单位元, 也就是 { 0 } \{0\} {0}, 所以这里可以特殊一点, 可以把非相邻改成只在0处相交

以上就是第一章的全部内容了, 这一章我们讨论了向量空间的概念, 从最基本的集合的概念开始引入, 通过详细的数学语言定义和证明给出了向量空间和子空间的相关性质, 这些都将是后续学习的最基础的知识