指数分布的原理和应用

本文介绍指数分布，及其推导原理。

Ref: 指数分布

开始之前，先看个概率密度函数的小问题：
问题描述：你于上午10点到达车站，车在10点到10:30 之间到达的时刻 X 的概率密度函数如图：

则使用分段积分，可以求出等车时间超过 12 分钟的概率：
$P\{ X \geq 12 \} = 0.65$

如果10点12分车还没有来，那么你还要至少等待12分钟的概率：(条件概率)
$P\{X \gt 24 \mid X \gt 12\} = \frac{P\{X \gt 24\}}{P\{X \gt 12\}} = \frac{0.15}{0.65}=0.23$

有了上述开胃示例后，那么我们来看看指数分布吧。

指数分布

场景：美国西部发生地震的强度 $\lambda$ （以一周为单位时间），求以现在开始直到下次发生地震的间隔时间的概率分布。

在 $t$ 周内发生地震的次数 $X$ 的概率分布：(泊松分布)
$\sim \text{Poisson}(\lambda t)$

即：
$P\{ X = k\} = \frac{(\lambda t)^k \cdot e^{-\lambda t}}{k!}, 其中 k=0,1, \dots$

那么在 $t$ 周内没有发生地震的概率：
$P\{ X = 0\} = e^{-\lambda t}\tag1$

重点来了~

(刚刚发生了一次地震开始) 从现在开始直到下次发生地震的间隔时间为 $T$

$T$ 的分布函数：
$\leq t) = 1 - P(T \gt t)\tag2$

其中 $\gt t)$ 表示从现在开始，未来的 t 周内没有发生地震。

很容易理解， $\gt t)$ 等同于式子(1) 描述的 $P (X = 0)$ .

结合式子(1),式子(2)，可得：
$\begin{cases} 1 - e^{-\lambda t}, \qquad t \geq 0 \\ 0 \qquad \qquad \quad t \lt 0 \end{cases}$

对分布函数进行求导，可得概率密度函数：
$\begin{cases} \lambda e^{\lambda t}, \qquad t \geq 0 \\ 0 \qquad \qquad t \lt 0 \end{cases}$

将上述 T 替换为变量 $X$ 则可以得到 $X$ 分布函数于概率密度函数：

$\begin{cases} 1 - e^{-\lambda x}, \qquad x \geq 0 \\ 0 \qquad \qquad \quad x \lt 0 \end{cases}$
$\begin{cases} \lambda e^{\lambda x}, \qquad x \geq 0 \\ 0 \qquad \qquad x \lt 0 \end{cases}$

称 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的指数分布，记作 $\sim Exp(\lambda)$

指数分布常用来描述某个事件发生的等待时间，比如电子产品的使用寿命，排队等待服务的时间，地震发生的时间间隔。

有了指数分布的理解了，我们回到一开始的（开胃问题）上，修改问题描述为：
问题描述(修改版) 你于上午10点到达车站，车在10点之后到达的时刻 $X$ 服从参数是 0.1 的指数分布， $X$ 即你的等待时间。

那么，

等车超过10分钟的概率：
$P\{X \gt 10\} = 1 - P\{ X \leq 10 \} = 1 - F(10) = e^{-1}$

如果10点12分车还没有来，那么你还要至少等待10分钟的概率：（条件概率）
$P\{ X \gt 22 \mid X \gt 12 \} = \frac{P\{ X \gt 22 \}}{P\{ X \gt 12 \}} = \frac{e^{-2.2}}{e^{-1.2}} = e^{-1}$