置信区间

置信区间是总体参数落在测量结果周围的程度

点估计和区间估计

点估计：通过样本数据估计总体参数$\Rightarrow$使用样本统计量（如样本均值、样本方差）作为总体参数的点估计

• 例子：如果我们想要一个学校学生的身高情况，可以把所有的学生测量一遍，然后得到答案。然而，如果学生数量庞大，全面测量将会非常繁琐和耗时。为此，我们可以随机抽取一部分学生，测量他们的身高，并计算平均值，从而估算整体学生的身高情况
• 缺点：无法给出估计结果的精确程度

区间估计：通过区间数据估计总体参数$\Rightarrow$通过样本数据和置信水平计算得到区间

• 例子：通过样本数据计算出学校学生平均身高的区间估计为[168厘米, 172厘米]，并且这个估计区间是基于95%的置信水平，这意味着有95%的把握认为总体平均身高落在这个区间内

置信度

置信度用来判断区间估计中估算区间的准确度
拿高考成绩举例，我有95%的把握估计我的高考分数是600-650$\Rightarrow$置信区间是[600,650]，置信度是95%
也可以说，我有100%的把握估计我高考分数是 0-750，这里的置信区间是 [0,750]，置信度肯定是100%

置信区间的计算

1. 明确需要求解的问题

2. 计算抽样样本的平均值和标准误差
   标准差：整体样本对样本均数的离散程度
   标准误差：样本均数对总体均数的变异程度$\Rightarrow$样本数据的标准误差：$SE=\frac{s}{\sqrt{n}}$，其中$s$是样本数据的标准差，$n$是样本数据的数量

3. 确定置信水平/置信度

4. 查z表（标准正态分布表，反映标准分与概率值之间的关系），确定z值
   以下提供的z表展示了z值与其对应概率之间的关系，反映的是正态分布单侧的概率
   
   

5. 计算置信区间
   $a=\text{样本均值}-z\times \text{标准误差}$
   $b=\text{样本均值}+z\times \text{标准误差}$
   置信区间：$[a,b]$

置信区间计算的具体例子

假设我们有一个随机抽样的样本，想要估计某个城市居民的平均收入
题目背景：

1. 我们从100名居民中随机抽取了一个样本
2. 样本均值$\bar{x}=50000$美元
3. 样本标准差$s=10000$
4. 样本大小$n=100$
5. 我们需要计算95%的置信区间

计算置信区间的步骤：

1. 计算标准误差：$SE=\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{10,000}{\sqrt{100}}=\frac{10,000}{10}=1,000$
2. z值：对于95%的置信水平，Z值为1.96
3. 计算置信区间：$\begin{array}{c}CI=50,000\pm 1.96\times 1,000\\ CI=50,000\pm 1,960\end{array}$$\Rightarrow$ 95%的置信区间为：$CI=[48,040,51,960]$
4. 我们有95%的信心认为该城市居民的总体平均收入在48,040美元到51,960美元之间

参考文献

1、置信度&置信区间
2、置信区间究竟是什么
3、正态分布表（Normal Distribution Table）
4、ChatGPT4o