并查集的原理及实现

目录

0.引例

1.并查集的原理

2.并查集的存储结构

3.并查集的实现

并查集接口总览

构造函数

查找元素属于哪个集合

判断是否属于同一个集合

合并两个集合

集合的个数

4.并查集完整代码附录

5.并查集在OJ中的应用

省份数量

等式方程的可满足性

0.引例

在我们刚上大学的时候，假如一个宿舍10个人，分别来自广东、湖南、江西；一开始谁也不认识谁，于是广东的只和广东的一起玩，湖南的只和湖南的一起玩，江西的只和江西的一起玩，毕竟是老乡嘛~ ，于是一个宿舍整体被划分成了三个小团体。

为了表示方便，我们给10个人编号，从0开始，于是10个人的编号依次为 0~9：

于是，我们可以很直观的看出谁来自于哪里。 

后来呢，湖南的小伙伴和江西的小伙伴因为共同的口味，都喜欢吃辣的东西，玩在了一块，于是这两个小集体组成了一个大的集体。

我们可以这样划分：

于是，我们可以简单直观的看出爱吃辣的有哪些同学，不爱吃辣的有哪些同学。

当我们划分好了集合之后，就能很方便的进行元素和集合之间、集合和集合之间的操作了，适合进行这些操作的数据结构就是并查集。

1.并查集的原理

原理：将n个不同的元素划分成一些不相交的集合，开始时，每个元素自成一个单元素集合，然后按一定的规律将属于同一组元素的集合合并；在此过程中要反复用到查询某一个元素归属于那个集合的运算。（适合描述这种问题的抽象数据结构就叫做 —— 并查集）

简单来说，并查集就是能够快速判断一个元素位于哪个集合中，并且能够根据指定条件将不同的集合进行合并的这么一种数据结构。比如上述引例中，根据地域将10个单集合合并成了三个集合，根据是否爱吃辣，把湖南和江西的同学合并成了一个集合。反之，划分好集合之后，我们也可以快速判断一个同学是否爱吃辣？来自哪里？

2.并查集的存储结构

要想实现一个并查集，首先需要确定其底层存储数据的结构，我们使用顺序表，也就是数组来存储。并查集的底层结构和堆类似，用下标表示当前结点和双亲结点之间的关系（重要）。

使用数组存储的理由如下：

  • 使用并查集的时候需要对每个元素从0开始编号，而数组天然就是从0开始编号的结构。
  • 数组支持随机访问，查找效率高。

数组各字段的含义：

  1. 数组的下标对应集合中元素的编号
  2. 数组中如果为负数，负号代表根，数字代表该集合中元素个数（一般选择编号最小的为根）
  3. 数组中如果为非负数，代表该元素双亲在数组中的下标

以引例为例说明一下：

  • 一开始，为每个元素从0开始编号，并且每个元素都是一个集合，并且都代表该集合的根。 

  •  把引例中的集合转化为并查集的形式

  • 用树形结构表示一下各个集合，更加直观

3.并查集的实现

并查集接口总览

首先需要明确的是，使用并查集的时候，我们为每个要存储的数据元素都进行了编号（从0开始），因此，我们在操作并查集的时候，主要通过编号来进行，也就是数组的下标。

class UnionFindSet
{
public:// 构造函数UnionFindSet(size_t n):_ufs(n, -1){}// 查找一个元素所在的集合int FindRoot(int x);// 判断两个元素是否在同一个集合中bool InSet(int x1, int x2);// 合并两个元素所在的集合void Union(int x1, int x2);// 获取集合的个数 注意：不是元素个数size_t SetSize();private:vector<int> _ufs;
};

并查集中最重要的接口就是 合并两个集合Union 和 判断两个元素是否在同一个集合中InSet，这两个函数都需要借助 查找根FindRoot来进行，最后还有一个获取集合的个数SetSize。

构造函数

构造函数只需要将并查集中的所有元素值设置为-1即可，表示当前每个元素都是一个集合，集合中有一个元素。

class UnionFindSet
{
public:// 构造函数：指定并查集的大小，将并查集中的元素值全部设置为-1UnionFindSet(size_t n):_ufs(n, -1){}private:vector<int> _set;
};

查找元素属于哪个集合

对于并查集中的每个元素来说，我们需要标识元素属于哪个集合，我们采用集合中编号最小的元素为集合的根，唯一标识一个集合。

  • 编号为0、6、7、8 的元素的根都是0，所以他们属于同一个集合。
  • 编号为1、4、9、2、3、5 的元素的根都是1，所以他们属于同一个集合。

因此，查找一个元素位于哪个集合中只需要查找该元素的根即可，那么如何找到一个元素所在集合的根呢？

  • 不要忘了，并查集中的元素值为负数，负号表示这是一个根，数字表示这个集合中有几个元素；因此，我们只需要沿着数组表示的树形关系一直往上找，直到找到元素的值为负数即可 (即：树中中元素为负数的位置)。

代码如下所示：

int FindRoot(int x)
{int root = x;// 直到_ufs[root] < 0 表示找到根while (_ufs[root] >= 0){root = _ufs[root];}return root;
}

我们可以分析一下： 当多个集合合并时，可能会出现元素到根的路径比较长的情况，路径比较长的话，查找根的效率就会降低，所以我们可以针对这种情况进行代码的优化 —— 路径压缩。

  • 路径压缩的优化可以放在FindRoot中进行。
  • 并且只能压缩当前结点到根结点中所涉及的结点。

优化后的代码如下所示：

int FindRoot(int x)
{int root = x;while (_ufs[root] >= 0){root = _ufs[root];}// 路径压缩while (_ufs[x] >= 0)       // 当前元素不是集合的根{int parent = _ufs[x];  // 保存当前结点的双亲结点的下标_ufs[x] = root;        // 更改当前结点的双亲结点x = parent;            // 继续更新保存的双亲结点的双清}return root;
}

路径压缩示意图：以查找编号为3的元素为例，四层路径变成三层了。

判断是否属于同一个集合

因为，我们通过集合的根来判断一个元素属于哪个集合，因此，我们只需要两个元素所在集合的根是否相同，即可判断两个元素是否位于同一个集合中。

bool InSet(int x1, int x2)
{return FindRoot(x1) == FindRoot(x2);
}

合并两个集合

准确来说应该是合并两个元素所在的集合，实现步骤如下：

  1. 判断两个元素所在的集合（通过FindRoot函数即可实现），如果本身就在同一个集合中就没有必要合并了。
  2. 把root2集合中的数据个数加到root1集合中去。
  3. 将root2集合的根修改为root1。

代码如下：

void Union(int x1, int x2)
{// 计算两个元素所在的集合int root1 = FindRoot(x1);int root2 = FindRoot(x2);// 如果本身就在一个集合就没必要合并了if (root1 == root2)return;// 把root2集合中的数据个数加到root1集合中去_ufs[root1] += _ufs[root2];// 将root2集合的根修改为root1_ufs[root2] = root1;
}

我们可以分析一下：我们将一个集合往另一个集合合并，意味着一个集合将变成另一个集合的孩子；两个集合中元素的个数有多有少，是把数据元素多的往数据元素少的合并好，还是把数据元素少的往数据元素多的合并好？

  • 分析可知：肯定是把数据元素少的集合往数据元素多的集合中合并好。比如：A集合往B集合上合并，A集合的根变成B集合的孩子，A集合中剩余的元素变成B集合的后代，如果后代越多，查找根的时间变长，并查集的效率变低。

因此，我们可以对代码进行优化：

void Union(int x1, int x2)
{// 计算两个元素所在的集合int root1 = FindRoot(x1);int root2 = FindRoot(x2);// 如果本身就在一个集合就没必要合并了if (root1 == root2)return;// 优化：控制数据量小的集合往数据量大的集合合并// 保证root2集合中的数据量总是小于root1集合中的数据量if (abs(_ufs[root1]) < abs(_ufs[root2]))swap(root1, root2);// 把root2集合中的数据个数加到root1集合中去_ufs[root1] += _ufs[root2];// 将root2集合的根修改为root1_ufs[root2] = root1;
}

集合的个数

当并查集中的元素的值小于0的时候，说明这是一个集合，遍历查找即可。

size_t SetSize()
{size_t size = 0;// 遍历并查集for (size_t i = 0; i < _ufs.size(); ++i){// _ufs[i] < 0 说明这是一个集合if (_ufs[i] < 0){++size;}}return size;
}

4.并查集完整代码附录

#include <vector>class UnionFindSet
{
public:// 构造函数UnionFindSet(size_t n):_ufs(n, -1){}// 查找指定编号的元素属于哪个集合int FindRoot(int x){int root = x;while (_ufs[root] >= 0){root = _ufs[root];}// 路径压缩while (_ufs[x] >= 0)       // 当前元素不是集合的根{int parent = _ufs[x];  // 保存当前结点的双亲结点的下标_ufs[x] = root;        // 更改当前结点的双亲结点x = parent;            // 继续更新保存的双亲结点的双清}return root;}// 判断两个元素是否属于同一个集合bool InSet(int x1, int x2){return FindRoot(x1) == FindRoot(x2);}// 合并两个元素所在的集合void Union(int x1, int x2){// 计算两个元素所在的集合int root1 = FindRoot(x1);int root2 = FindRoot(x2);// 如果本身就在一个集合就没必要合并了if (root1 == root2)return;// 控制数据量小的集合往数据量大的集合合并// 保证root2集合中的数据量总是小于root1集合中的数据量if (abs(_ufs[root1]) < abs(_ufs[root2]))swap(root1, root2);// 把root2集合中的数据个数加到root1集合中去_ufs[root1] += _ufs[root2];// 将root2集合的根修改为root1_ufs[root2] = root1;}// 获取并查集中集合的个数 注意：不是元素的个数size_t SetSize(){size_t size = 0;// 遍历并查集for (size_t i = 0; i < _ufs.size(); ++i){// _ufs[i] < 0 说明这是一个集合if (_ufs[i] < 0){++size;}}return size;}private:vector<int> _ufs;  // 底层空间复用vector
};

5.并查集在OJ中的应用

省份数量

题目链接：

LCR 116. 省份数量 - 力扣（LeetCode）icon-default.png?t=O83Ahttps://leetcode.cn/problems/bLyHh0/submissions/584995509/

题目描述：

有 n 个城市，其中一些彼此相连，另一些没有相连。如果城市 a 与城市 b 直接相连，且城市 b 与城市 c 直接相连，那么城市 a 与城市 c 间接相连。

省份 是一组直接或间接相连的城市，组内不含其他没有相连的城市。

给你一个 n x n 的矩阵 isConnected ，其中 isConnected[i][j] = 1 表示第 i 个城市和第 j 个城市直接相连，而 isConnected[i][j] = 0 表示二者不直接相连。

返回矩阵中 省份 的数量。

解题思路：我们使用并查集，将相连的城市添加到同一个集合中，最后，并查集中集合的个数就是省份的数量。

解题代码：我们可以把前面写的并查集代码拷贝一份过去，直接使用即可。

  • 需要注意的是：该题目中，采用二维数组存储城市之间的关系，此时，也就天然的为每个城市从0开始编号了，也就符合使用我们所写的并查集的前提的。
class UnionFindSet
{
public:// 构造函数UnionFindSet(size_t n):_ufs(n, -1){}// 查找指定编号的元素属于哪个集合int FindRoot(int x){int root = x;while (_ufs[root] >= 0){root = _ufs[root];}// 路径压缩while (_ufs[x] >= 0)       // 当前元素不是集合的根{int parent = _ufs[x];  // 保存当前结点的双亲结点的下标_ufs[x] = root;        // 更改当前结点的双亲结点x = parent;            // 继续更新保存的双亲结点的双清}return root;}// 判断两个元素是否属于同一个集合bool InSet(int x1, int x2){return FindRoot(x1) == FindRoot(x2);}// 合并两个元素所在的集合void Union(int x1, int x2){// 计算两个元素所在的集合int root1 = FindRoot(x1);int root2 = FindRoot(x2);// 如果本身就在一个集合就没必要合并了if (root1 == root2)return;// 控制数据量小的集合往数据量大的集合合并// 保证root2集合中的数据量总是小于root1集合中的数据量if (abs(_ufs[root1]) < abs(_ufs[root2]))swap(root1, root2);// 把root2集合中的数据个数加到root1集合中去_ufs[root1] += _ufs[root2];// 将root2集合的根修改为root1_ufs[root2] = root1;}// 获取并查集中集合的个数 注意：不是元素的个数size_t SetSize(){size_t size = 0;// 遍历并查集for (size_t i = 0; i < _ufs.size(); ++i){// _ufs[i] < 0 说明这是一个集合if (_ufs[i] < 0){++size;}}return size;}private:vector<int> _ufs;  // 底层空间复用vector
};class Solution {
public:int findCircleNum(vector<vector<int>>& isConnected) {// 定义一个并查集UnionFindSet ufs(isConnected.size());// 遍历isConnect矩阵for(int i = 0; i < isConnected.size(); ++i){for(int j = 0; j < isConnected[0].size(); ++j){// 如果相连，就将这两个城市添加到一个集合中if(isConnected[i][j] == 1){ufs.Union(i,j);}}}// 返回并查集中集合的个数即可return ufs.SetSize();}
};

运行结果：

等式方程的可满足性

题目链接：

990. 等式方程的可满足性 - 力扣（LeetCode）icon-default.png?t=O83Ahttps://leetcode.cn/problems/satisfiability-of-equality-equations/submissions/584992038/

题目描述：

给定一个由表示变量之间关系的字符串方程组成的数组，每个字符串方程 equations[i] 的长度为 4，并采用两种不同的形式之一："a==b" 或 "a!=b"。在这里，a 和 b 是小写字母（不一定不同），表示单字母变量名。

只有当可以将整数分配给变量名，以便满足所有给定的方程时才返回 true，否则返回 false。

示例 1：

输入：["a==b","b!=a"]
输出：false
解释：如果我们指定，a = 1 且 b = 1，那么可以满足第一个方程，但无法满足第二个方程。没有办法分配变量同时满足这两个方程。

示例 2：

输入：["a==b","b==c","a==c"]
输出：true

解题思路：我们遍历字符串数组，将判断相等的字符添加到同一个集合中；然后再次遍历字符串数组，如果两个字符不相等就不能出现在同一个集合中，如果出现在同一个集合中说明不符合等式方程的可满足性。

  • 需要注意的是，对于该题目，使用我们编写的并查集存储的元素应该是字符，所以需要为字符编号，好在题目中的字符只能是小写字母，所以，我们可以定义一个并查集，开辟26个空间，并全部初始化为-1。
  • 在使用并查集的时候，对小写字符进行编号的映射即可。比如 字符 b -> b - 'a' = 1，映射出的下标即使1了。
  • 但是，我们总不能每次需要并查集的时候都手搓一个并查集吧！因此，我们可以开辟一个vector，借助并查集的思想在vector上进行操作即可。

解题代码：

class Solution {
public:bool equationsPossible(vector<string>& equations) {vector<int> ufs(26,-1);// 查找元素位于哪个集合中auto findRoot = [&](int x){int root = x;while(ufs[root] >= 0)root = ufs[root];return root;};// 先处理判断相等的字符串for(auto& str : equations){// 如果相等就添加到同一个集合中// 相当于并查集中的合并两个结合的操作if(str[1] == '='){int root1 = findRoot(str[0]-'a');int root2 = findRoot(str[3]-'a');// 不在一个集合中就合并if(root1 != root2){ufs[root1] += ufs[root2];ufs[root2] = root1;}}}// 再处理判断不想的的字符串for(auto& str : equations){// 此时不能再一个集合中// 相当于并查集中的 判断是否在同一个集合中的操作if(str[1] == '!'){int root1 = findRoot(str[0]-'a');int root2 = findRoot(str[3]-'a');if(root1 == root2)return false;}}return true;}
};

运行结果：

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