前言

编辑距离问题是字符串处理中的经典问题之一，广泛应用于拼写纠正、DNA序列比对等领域。通过计算将一个字符串转换为另一个字符串所需的最小操作数，能够帮助我们评估它们之间的相似度。本文将详细分析编辑距离问题的基本思路，提供动态规划的实现方法，并展示 Python 和 C++ 的代码示例。

题目描述

基本思路

1. 问题定义

编辑距离（Edit Distance）是衡量两个字符串之间相似度的一种方法，定义为将一个字符串转换为另一个字符串所需的最少操作次数。允许的操作包括插入字符、删除字符和著换字符。

2. 理解问题和递推关系

• 设定两个字符串 word1 和 word2，其长度分别为 $m$ 和 $n$ 。
• 定义 $dp[i][j]$ 为将 word1 的前 $i$ 个字符转换为 word2 的前 $j$ 个字符所需的最小操作次数。
• 递推关系：
  • 如果 $word1[i-1]==word2[j-1]$, 则 $dp[i][j]=dp[i-1][j-1]$ (不需要任何操作)。
  • 如果不相等，考虑三种操作：
    • 插入： $dp[i][j-1]+1$
    • 删除： $dp[i-1][j]+1$
    • 替换：$dp[\mathrm{i}-1][j-1]+1$
• 综合以上情况，得到：
  $$dp[i][j]=\min (dp[i-1][j]+1,dp[i][j-1]+1,dp[i-1][j-1]+1)$$

3. 解决方法

3.1 动态规划方法

1. 创建一个二维数组 $dp$ ，其大小为 $(m+1)\times (n+1)$ ，用于存储不同状态的结果。
2. 初始化 dp 数组的边界条件:
   • $dp[i][0]=i$ ， 表示将 word1 的前 $i$ 个字符转换为空字符串的操作次数（全部删除）。
   • $dp[0][j]=j$ ，表示将空字符串转换为 word2 的前 $j$ 个字符的操作次数（全部插入）。
3. 使用双重循环填充 dp 数组，利用上述递推关系。
4. 最终结果为 $dp[m][n]$ ，即将整个 word1 转换为 word 2 的最小操作次数。

3.2 空间优化的动态规划

• 由于 $dp[i][j]$ 只依赖于 $dp[i-1][j]、dp[i][j-1]$ 和 $dp[i-1][j-1]$ ，可以将空间复杂度优化到 $O(n)$ ，只使用一维数组。

4. 进一步优化

• 空间复杂度优化：通过使用一维数组来存储当前行的结果，减少内存占用。
• 时间复杂度：动态规划的时间复杂度为 $O(m\ast n)$ ，适合中等规模的字符串比较。

5. 小总结

• 编辑距离问题利用动态规划有效地解决了字符串转换的最优方案。
• 通过合理的状态设计和空间优化，能够显著提高算法在处理大规模输入时的性能。
• 理解该问题不仅有助于掌握动态规划的基本思想，还能应用于实际的文本处理和相似度计算等领域。

以上就是问题的基本思路。

代码实现

Python

Python3代码实现

class Solution:def minDistance(self, word1: str, word2: str) -> int:m, n = len(word1), len(word2)# 创建dp数组dp = [[0] * (n + 1) for _ in range(m + 1)]# 初始化边界条件for i in range(m + 1):dp[i][0] = i  # word1 到空字符串的距离for j in range(n + 1):dp[0][j] = j  # 空字符串到 word2 的距离# 填充dp数组for i in range(1, m + 1):for j in range(1, n + 1):if word1[i - 1] == word2[j - 1]:dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]  # 字符相同else:dp[i][j] = min(dp[i - 1][j] + 1,    # 删除dp[i][j - 1] + 1,    # 插入dp[i - 1][j - 1] + 1)  # 替换# 返回最小编辑距离return dp[m][n]

Python 代码解释

• 初始化：创建 dp 数组并设置边界条件，分别表示将一个字符串转换为空字符串的操作次数。
• 填充 dp 数组：使用双重循环计算每个子问题的最小操作次数，依赖于之前的结果。
• 返回结果：最终返回 dp[m][n]，即将整个 word1 转换为 word2 所需的最小操作次数。

C++

C++代码实现

class Solution {
public:int minDistance(string word1, string word2) {int m = word1.size(), n = word2.size();// 创建dp数组vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int>(n + 1, 0));// 初始化边界条件for (int i = 0; i <= m; i++) {dp[i][0] = i;  // word1 到空字符串的距离}for (int j = 0; j <= n; j++) {dp[0][j] = j;  // 空字符串到 word2 的距离}// 填充dp数组for (int i = 1; i <= m; i++) {for (int j = 1; j <= n; j++) {if (word1[i - 1] == word2[j - 1]) {dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];  // 字符相同} else {dp[i][j] = min({dp[i - 1][j] + 1,    // 删除dp[i][j - 1] + 1,    // 插入dp[i - 1][j - 1] + 1});  // 替换}}}// 返回最小编辑距离return dp[m][n];}
};

C++ 代码解释

• 初始化：创建 dp 数组并设置边界条件，分别表示将一个字符串转换为空字符串的操作次数。
• 动态规划填充：使用双重循环遍历每个可能的子问题，依据字符是否相同来更新 dp 数组。
• 返回结果：返回 dp[m][n]，即将整个 word1 转换为 word2 所需的最小操作次数。

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总结:

• 编辑距离问题通过动态规划有效地解决了字符串之间的相似性评估，具有重要的实际应用价值。
• 理解并掌握该问题的解决方法，不仅对学习动态规划有帮助，还为处理更复杂的字符串匹配问题提供了基础。
• 通过对空间复杂度的优化，能够在处理更大规模输入时，保持算法的高效性。