连续时间傅里叶变换

一、非周期信号的表示：连续时间傅里叶变换

傅里叶变换对：

$x\left ( t \right )=\frac{1}{2\pi }\int_{-\infty }^{\infty }X\left ( j\omega \right )e^{j\omega t}d\omega$

$X\left ( j\omega \right )=\int_{-\infty }^{\infty }x\left ( t \right )e^{-j\omega t}dt$

通常称 $X\left ( j\omega \right )$ 为 $x\left ( t \right )$ 的频谱

二、傅里叶变换的收敛

1、 $x\left ( t \right )$ 绝对可积

2、在任何有限区间内， $x\left ( t \right )$ 只有有限个最大值和最小值

3、在任何有限区间内， $x\left ( t \right )$ 有有限个不连续点，且在每个不连续点都是有限值

三、周期信号的傅里叶变换

$x\left ( t \right )=\sum_{k=-\infty }^{+\infty }a_{k}e^{jk\omega _{0}t}$

$X\left ( j\omega \right )=\sum_{k=-\infty }^{+\infty }2\pi a_{k}\delta \left ( \omega -k\omega _{0} \right )$

一个傅里叶级数系数为 $\left \{ a_{k} \right \}$ 的周期信号的傅里叶变换，可以看成出现在成谐波关系的频率上的一串冲激函数，发生于第 $k$ 次谐波频率 $k\omega _{0}$ 上的冲激函数的面积是第 $k$ 个傅里叶级数系数 $a_{k}$ 的 $2\pi$ 倍

四、连续时间傅里叶变换性质

1、线性性质

$ax\left ( t \right )+by\left ( t \right )\leftrightarrow aX\left ( j \omega \right )+bY\left ( j\omega \right )$

2、时移性质

$x\left ( t-t_{0} \right )\leftrightarrow e^{-j\omega t_{0}}X\left ( j\omega \right )$

3、共轭与共轭对称

$x^{*}\left ( t \right )\leftrightarrow X^{*}\left ( -j\omega \right )$

若 $x\left ( t\right )$ 为实数， $X\left ( -j\omega \right )=X^{*}\left ( j\omega \right )$

4、微分与积分

$\frac{dx\left ( t \right )}{dt}\leftrightarrow j\omega X\left ( j\omega \right )$

5、时间与频率的尺度变换

$x\left ( at \right )\leftrightarrow \frac{1}{\left | a \right |}X\left ( \frac{j\omega }{a} \right )$

6、对偶性

正变换和逆变换的式中形式上相似，导致对偶性

7、帕斯瓦尔定理

$\int_{-\infty }^{+\infty }\left | x\left ( t \right ) \right |^{2}dt=\frac{1}{2\pi }\int_{-\infty }^{+\infty }\left | X\left ( j\omega \right ) \right |^{2}d\omega$

$\left | X\left ( j\omega \right ) \right |^{2}$ 为信号 $x\left ( t \right )$ 的能谱密度

一个周期信号的平均功率等于他的各次谐波分量的平均功率之和

五、卷积性质
$y\left ( t \right )=h\left ( t \right )*x\left ( t \right )\leftrightarrow Y\left ( j\omega \right )=H\left ( j\omega \right )X\left ( j\omega \right )$

六、相乘性质

$r\left ( t \right )=s\left ( t \right )p\left ( t \right )\leftrightarrow R\left ( j\omega \right )=\frac{1}{2\pi }\int_{-\infty }^{+\infty }S\left ( j\theta \right )P\left ( j\left ( \omega -\theta \right ) \right )d\theta$