文章目录
- 什么是高斯积分
- 高斯积分与误差函数的关系
- 求值证明过程
- 技巧1 两个相互独立的积分的乘积转为双重积分
- 技巧2 富比尼定理
- 技巧3 坐标系转换
- 总结
什么是高斯积分
高斯积分的公式如下：
高斯积分与误差函数的关系
参考wiki，误差函数的定义如下：
当z趋近于正无穷时，其值为1。
The error function at +∞ is exactly 1 (see Gaussian integral).
可以发现，当z趋近于正无穷时，erf(z)与高斯积分有着紧密联系，可以相互转化，公式如下：
I = ∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x （高斯积分的定义） = 2 ∫ 0 ∞ e − x 2 d x （积分函数是偶函数） = π ∗ ( 2 π ∫ 0 ∞ e − x 2 d x ) （凑出误差函数的形式） = π ∗ lim z → + ∞ erf ( z ) \begin{align} I &= \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \, dx \quad & \text{（高斯积分的定义）} \\ &= 2 \int_{0}^{\infty} e^{-x^2} \, dx \quad & \text{（积分函数是偶函数）} \\ &= \sqrt{\pi} * (\frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_{0}^{\infty} e^{-x^2} \, dx) \quad & \text{（凑出误差函数的形式）} \\ &= \sqrt{\pi} * \lim_{z \to +\infty} \text{erf}(z) \end{align} I=∫−∞∞e−x2dx=2∫0∞e−x2dx=π∗(π2∫0∞e−x2dx)=π∗z→+∞limerf(z)（高斯积分的定义）（积分函数是偶函数）（凑出误差函数的形式）
求值证明过程
高斯积分的证明过程可以参考wiki 高斯积分的"通过极限计算"一节，利用了双重积分，正方形的内切圆和外切圆面积，以及夹逼定理。
技巧1 两个相互独立的积分的乘积转为双重积分
第一个技巧在于，把求 I ( a ) I(a) I(a)转换为求双重积分，如下：
在这里，积分的平方被转化为双重积分，再加以整理。为什么能做这种转换？因为两个相互独立的积分相乘可以化为双重积分，具体证明过程，参考How the product of two integrals is iterated integral? ∫⋅∫=∬的答案如下：
简单来说，常数项是可以直接移到积分符号内的。
技巧2 富比尼定理
Fubini定理的原理可以参考富比尼定理｜二次积分公式｜二重积分｜马同学图解数学，但是个人感觉wiki证明中的"根据富比尼定理"这句话没什么作用，因为本来就可以把所说的双重积分看作是一个正方形区域上的积分。
技巧3 坐标系转换
文中的积分运算从直角坐标系转化到极坐标系，坐标系转换基础可参考Section 15.4 : Double Integrals in Polar Coordinates。文中提到有两种证明方法，方法1是使用画图假设，方法2是使用变量变换。
方法2可参考Section 15.8 : Change of Variables，包含积分区域的变换，以及积分函数的变换。其中积分区域的变换可以看文章上半部分。积分函数的变换则遵循如下公式：
这个公式叫做雅可比变换，也叫Jacobian transform。其证明过程暂时略过吧。
总结
这个证明分为两部分：
- 不去计算高斯积分本身，而是计算其积分的平方，然后转换为双重积分。
- 不去计算正方形区域上的双重积分，而是先计算其内切圆、外切圆的面积，然后用夹逼定理求值。
