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前言

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动态规划

动态规划（Dynamic Programming）其实是一个很聪明的“拆问题”的方法。我们常常会遇到一些很大的问题，比如要做很多选择，走很多步才能完成。动态规划就是把这些问题一步步拆成小问题来解决，每次解决小问题的时候，都记住这个问题的答案，以后如果再遇到这个问题，就不用重新计算了，直接用之前的答案。

动态规划常见形式

动态规划的一个常见形式就是求最值，也就是在一系列选择中找到最优解（比如最大值或最小值）。问题可以是找最短路径、最大利润、最少步骤等等。动态规划的核心思想是通过把大问题分解成小问题，然后一步步解决小问题，最终找到整个问题的最优解。

动态规划求最值的几个例子

1. 背包问题

想象你有一个背包，能装有限的重量，同时有许多物品，每个物品有不同的重量和价值。你想装入背包的物品总价值最大，但又不能超过背包的承重。动态规划可以帮助你在选择哪些物品时，找到一个最优方案，使背包内物品的总价值最高。

2. 最短路径问题

给定一张地图，其中每条路都有一定的长度，问从起点到终点的最短距离是多少。动态规划的思路是每次选择一条最短的路，并通过递推的方式一步步缩短问题规模，最终找到从起点到终点的最短路径。

3. 最小硬币找零问题

假设你有不同面值的硬币，现在需要找一定金额的零钱，问你最少需要多少个硬币。动态规划的思路是每次都考虑使用一枚硬币，然后递归地计算剩下的金额最少需要多少硬币，通过这样的递推方式，找到找零所需的最少硬币数量。

4. 最长递增子序列

给定一个数字序列，找出其中最长的递增子序列（子序列中的数字是递增的）。动态规划的思路是从头到尾扫描数组，每次都记录以当前数字为结尾的最长递增子序列长度，最终找到全局的最长递增子序列。

总结

动态规划通常用来解决那些“从多个选择中找到最优解”的问题，比如找最大值、最小值、最长路径、最短路径等。通过把问题一步步分解并保存中间结果，动态规划能让我们高效地解决这些问题。

最优子结构

最优子结构是动态规划的核心概念之一，它指的是一个问题的最优解可以通过其子问题的最优解来构造出来。换句话说，就是大问题的最优解由若干个小问题的最优解组成。

举个简单的例子

假设我们要从城市A到城市C，途中会经过城市B。我们想知道如何从A到C的最短路径。那么，如果我们知道从A到B的最短路径，再加上从B到C的最短路径，就可以得到从A到C的最短路径。这就是最优子结构的体现：从A到C的最优解可以通过两个子问题（A到B和B到C）的最优解得到。

其他例子

1. 背包问题
   在背包问题中，假设我们已经解决了重量为W的背包的最优解（最大价值），那么如果再给定一个物品，我们可以通过比较“放这个物品”和“不放这个物品”的两种情况，来决定最终的最优解。这里，每个背包容量的最优解都依赖于容量更小的背包的最优解。

2. 斐波那契数列
   计算斐波那契数列时，某个位置的值是前两个位置值的和，$$F(n)=F(n-1)+F(n-2)$$。每个位置的最优解（即数值）依赖于它前面两个子问题的最优解。

条件

要满足最优子结构，问题必须具有以下两个特征：

1. 重叠子问题：大问题可以分解成重复的小问题。
2. 子问题独立性：每个子问题的解都是独立的，不受其他子问题解的影响。

如果一个问题具备最优子结构，就可以用动态规划来高效地求解。

DP的核心就是穷举

DP的核心是穷举。这意味着在动态规划（DP）中，解决问题的关键步骤就是穷举所有可能的解法，然后通过一些技巧来优化穷举过程。

具体解释

1. 穷举存在“重叠子问题”：

   • 许多问题在求解时会遇到相同的子问题多次重复出现。如果不加优化，每次都要重新计算相同的子问题，导致时间浪费。
   • 动态规划的一个优化思路就是通过“备忘录”或“DP Table”的方式记录这些已经计算过的子问题结果，避免重复计算，从而提高效率。

2. 具备最优子结构：

   • 这是动态规划的另一个核心思想。如果一个问题的最优解可以通过它的子问题的最优解来得到，那就具备了最优子结构的性质。基于这一性质，动态规划通过递推或者递归的方式一步步求解子问题，最终获得问题的最优解。

3. 状态转移方程：

   • 状态转移方程是解决动态规划问题的关键之一。它描述了如何从一个状态转移到另一个状态，并通过合适的方式找到最优解。简而言之，状态转移方程规定了如何根据前面已知的状态推导出当前状态的解。

总结：
动态规划的核心就是通过穷举所有可能的方案，并结合备忘录来优化重叠的子问题，同时依靠最优子结构和状态转移方程来一步步构建最优解。

递归的算法时间复杂度

就是其子问题个数*子问题所需要的时间

dp数组的迭代解法

当我们在解决问题时，如果把已经算过的答案记下来，就可以避免重复计算，从而更快地找到答案。这个记录答案的地方叫做DP表，就像是一张我们专门用来记答案的表格。

通俗易懂的解释

• 备忘录就像做作业时，我们把每一步的答案写在纸上。以后如果再遇到相同的问题，就可以直接看之前写下的答案，而不用再重新算一次。

• DP表（动态规划表）就是这张专门的“纸”，我们会把每一步的答案都写在上面。这样，当我们需要计算后面的答案时，就可以根据前面写下的答案一步步推算出来，而不是每次从头开始。

• 自底向上推算的意思是，我们从最简单的、最小的问题开始解决，逐步解决更复杂的问题，就像搭积木一样，先搭好底部，再往上叠。

这就是「递推」的思路
这也是动态规划一般都脱离了递归，而是由循环迭代完成计算的原因

比喻

想象你在解一个迷宫，每走一步都记下路径。下一次走到同样的地方，你就可以看看之前的记录，直接走对的路，不用再迷路。这就是DP表的作用，把已经走过的路（答案）记下来，后面遇到类似的问题就可以轻松解决。

状态转移方程详解

在DP中，最重要的就是状态转移方程，它就类似于递归中的递推方程
所以我们需要详细来学它

状态转移方程中的状态概念

在动态规划的状态转移方程中，状态指的是问题在某个步骤或者某个阶段下的一个“局部解”或“情况”。每个状态代表了问题在特定条件下的当前结果。

通俗易懂的解释：

假设我们在玩一个游戏，每一步都可能会遇到不同的情况，这些“情况”就是状态。根据当前状态，你会选择不同的策略，然后转移到下一步，也就是下一个状态。

举个例子：

假设你要爬楼梯，总共有5级台阶，你每次可以选择迈1步或2步。

• 状态就是你现在站在哪一级台阶上。例如，你站在第3级台阶时，这就是一种状态。
• 你的状态转移可能是：如果你选择迈1步，你会到达第4级台阶；如果你选择迈2步，你就会到第5级台阶。这就是从第3级台阶（当前状态）到第4级或第5级台阶（下一个状态）的转移过程。

状态总结：

1. 状态描述了问题的当前情况或阶段（比如爬到某一级台阶上）。
2. 在每个状态下，都会根据某种规则转移到下一个状态（比如走一步或走两步）。
3. 最终的目标就是从初始状态逐步转移到目标状态（比如从第0级台阶到第5级台阶）。

在动态规划中，状态就是问题的每个阶段的描述。通过找到状态间的关系（状态转移方程），我们就能一步步求解问题。

DP的无后效性

DP的无后效性，简单来说，就是在动态规划中，当前状态的选择和结果只依赖于之前的状态，而不会受到更早之前的状态影响。也就是说，过去的决策一旦做出，就不会影响后续的状态转移。

通俗易懂的解释

无后效性就像是你做一道数学题，每一步的答案只需要看你前一步的结果，不需要再回头看更早的步骤。只要你知道了上一步的结果，就可以推算出下一步，不用管更前面的细节。

举个例子

假设你在走迷宫，你每一步的方向选择只取决于你现在站在哪个路口，不会因为你从哪个路口走到这里而影响接下来的选择。只要知道当前的位置，你就能决定下一步怎么走，不需要回顾整个走过的路径。

特点总结

• 只看当前，不看过去：当前的状态转移只取决于前一个状态，而不会回头依赖更早的状态。
• 每一步决策独立：当前状态的决策不会受到过去的具体路径影响，只要前一步的结果是正确的，就能继续往前推算。

例子

比如你在计算爬楼梯的方式：

• 如果你站在第3级台阶上，你的下一步可以选择迈1步到第4级，或者迈2步到第5级。
• 这时，你的选择只依赖于当前第3级台阶，而不需要回顾你之前是从第1级台阶还是第2级台阶到的第3级。

无后效性是动态规划的核心之一，它保证了我们可以通过递推、一步步从前向后计算每个状态，而不用担心更早的状态对结果的影响。

DP的本质

动态规划（DP）为什么快？

动态规划之所以快，是因为它解决了重叠子问题。通过记录（缓存）已经计算过的子问题结果，避免重复计算，从而大大提高了效率。这种记录的方式叫做备忘录或DP表。动态规划通过这些优化，使得原本指数级的复杂度问题可以降低到多项式级别，大大加快了求解速度。

通俗解释

假设你在爬山，每次爬到某个高度，你会把这个高度的路线记录下来。下次再到这个高度时，就不用再重新走一遍所有可能的路线，只需要直接看之前记下的路线就可以继续往前走。这样省去了重复走老路的时间和精力，整体速度就快了很多。

动态规划的核心是什么？

动态规划的核心是穷举，但它通过记忆化和状态转移来减少重复计算，从而使得穷举变得可行和高效。核心概念包括：

1. 重叠子问题：问题可以被分解成多个重复的小问题，解决一次就不需要再解决第二次。DP通过记忆（比如用表格记录）已经解决的子问题，避免重复计算。

2. 最优子结构：当前问题的最优解可以通过子问题的最优解来构造，这意味着我们可以一步步构建出整个问题的最优解。

3. 状态转移方程：这是描述如何从一个状态转移到另一个状态的公式，它是动态规划的核心步骤，指导如何从已知解推导出未知解。

设计动态规划（DP）算法通常可以分为几个关键步骤，每个步骤都帮助我们一步步明确如何通过状态转移来求解问题。根据你上传的图片，可以简化为几个核心问题：

如何设计DP算法

1. 我是谁？（设计状态）

• 状态代表了问题在某一个时刻或某一局部的情况，通常用一个变量或一组变量来描述。
• 你需要明确在这个问题的解法中，每一个状态要代表什么，例如当前已经完成了哪些任务或已经走到了哪一步。

2. 我从哪里来？（状态表示：f(x)）

• 这里是设计递推关系，定义如何从之前的状态推导出当前状态的值。
• 也就是状态转移方程，它告诉我们如何从小规模的问题一步步推导到大规模的解。例如，在求解某个问题时，当前状态可能是由前一个状态或几个前面的状态决定的。

3. 我要到哪里去？（设计状态转移）

• 这一步要明确最终的目标，也就是最优解的状态是什么。通常是你要求解的问题的最优答案或者目标状态，比如走到终点、获得最大收益等。

设计 DP 算法的一般步骤：

1. 定义状态：明确问题的每一步局部的情况，用状态表示出来。
2. 确定状态转移方程：找出如何通过子问题的解来推导出当前状态的解。
3. 设定边界条件：初始化一些最基础的状态，也就是边界条件。
4. 最终解：找到你要的最终目标，这个目标通常是状态中的一个解。

举个例子：

假设我们要求一个阶梯问题，问你走到第 (n) 级台阶有多少种走法，规则是每次你可以选择走 1 级或 2 级。

• 设计状态：令 (f(n)) 表示到达第 (n) 级台阶的走法总数。
• 状态转移方程：你可以从第 (n-1) 级台阶走一步到 (n)，也可以从第 (n-2) 级台阶走两步到 (n)。因此，状态转移方程是：
  $$f(n)=f(n-1)+f(n-2)$$
• 边界条件：第 0 级台阶（地面）只有一种走法，站在那里不动，因此 (f(0) = 1)，而第 1 级台阶只有一种走法，从第 0 级走一步，(f(1) = 1)。
• 最终解：目标是求 (f(n))，即到达第 (n) 级台阶的所有走法。

通过这些步骤，你就能把原本复杂的问题拆解成小问题，逐步递推解决。

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总结