这篇博文主要讲解关于线性代数中矩阵的逆的那些事。

没看过前几篇博客的朋友先去看一看。

首先，方阵(n*n)才有单位矩阵和逆的概念。所以下面提到的都会是矩阵都指方阵。

单位矩阵

矩阵的逆与单位矩阵的概念息息相关。

如单位长度，单位1，等等这些前缀是单位的概念们一样，矩阵里的单位矩阵同样特殊。
简而言之，任何矩阵 A 乘以单位矩阵 I 等于它自身。即
$AI=A$

下面的便是一个三乘三的单位矩阵：

$$\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}$$

有兴趣的小伙伴可以试试矩阵乘法，将单位矩阵与其他同样大小的方阵相乘，看是不是会得到同一个方阵。

总结，单位矩阵即为正对角线上元素为1，其余元素为0的方阵。

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矩阵的逆

矩阵的逆的概念为，如果
$$AB=I(单位矩阵)$$
那么，矩阵B是矩阵A的逆。说实话，看到这个概念第一个想到的是倒数(ab=1)，虽然书上没写。

有一个特殊的点是矩阵与其逆满足交换律，矩阵乘逆等于单位矩阵，逆乘矩阵也等于单位矩阵。

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判断矩阵是否有逆

$$\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 6\end{array}$$
如何快速知道这个矩阵是否有逆呢？

法一 瞪眼 观察法

我们知道，矩阵右乘即为矩阵的列的线性组合。

那么，在一些特殊情况下，我们很明显就能看出这个矩阵的列的线性组合能否得到单位矩阵。

比如上面的矩阵，很明显，因为两列成倍数，或者说在同一条直线上（这一点值得细品），他们的线性组合不能覆盖整个空间，而单位矩阵也不在他们所在的直线上，所以没有逆。

这个方法写在这里与其说是用来判断逆，不如说是为了更好帮助你理解线性组合这一概念，并引出了矩阵可能在图像上的这种思路，我想我们后面一定会用到的。

法二 利用单位矩阵

$$AB=I(单位矩阵)$$
首先，矩阵有逆说明存在矩阵B，能使A满足这个关系式。

那么，我们可以推出这个结论：

$如果存在AX=0,X不为非零矩阵,那么矩阵A没有逆$

推导逻辑如下：

$$\begin{gathered} AX=0, \\ 两边同时乘B\to ABX=0\to IX=0\to X=0 \end{gathered}$$

可以看到，矩阵A存在逆和AX=0这两个命题矛盾，因此如果能找到矩阵X使AX=0便能证明矩阵A没有逆。

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求解矩阵的逆——高斯-若尔单消元法

$$\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 7\end{array}$$

矩阵A如上。

已知矩阵A有逆，要求矩阵的逆，我们第一次想到的应该是如下方法：

$$\left[\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 7\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(1)}$$

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简言之，解方程，根据这个等式能知道如下方程，原理讲解见矩阵乘法。

$$\begin{gathered} a+3c=1 \\ 2a+7c=0 \\ b+3d=0 \\ 2b+7d=1 \end{gathered}$$

然而，这种解法的确有些繁琐。于是，我们便引入上篇文章所提的矩阵消元法：

先将方程写为如下增广炬阵：

$$\left|\begin{array}{lccc}1& 3& 1& 0\\ 2& 7& 0& 1\end{array}\right|$$

进行消元处理后得到如下矩阵：

$$\left|\begin{array}{lccc}1& 3& 1& 0\\ 0& 1& -2& 1\end{array}\right|$$

这时，高斯停下了脚步，在这里开始进行消元，回到解方程组的步骤。

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然而，后来出现了个名为若尔丹的数学家，说，这里还可以再进一步：

若尔单在高斯停下脚步上的矩阵继续操作，对第一行也进行消元，得到如下矩阵：

$$\left|\begin{array}{lccc}1& 0& 7& -3\\ 0& 1& -2& 1\end{array}\right|$$

这时，右边的矩阵就变成了我们所求的矩阵A的逆。

脑袋是不是没转过来？有兴趣的小伙伴可以将这个矩阵乘乘上原矩阵A看是否等于单位矩阵看看。

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经验证，我们发现右边的矩阵的确是单位矩阵，下面我们来分析为什么。

根据上篇博文对消元矩阵的解释，消元操作等同于矩阵乘一个矩阵E1，再进行一次消元矩阵将左边部分变为单位矩阵，写成等式如下：

$A{E}_1{E}_2=I$

同样的，因为增广炬阵右边进行了同样的操作，可得：

$I{E}_1{E}_2=E_1{E}_2$

此时，观察这两个等式，我想，不难发现，E1E2即为矩阵的逆。这就是高斯-若尔单消元法。