\?拉普拉斯到底在讲什么\?控制理论\?倒立摆/

在大学课程中，无疑控制理论难倒了一大堆同学，那么接下来，从实践中来分析这个控制理论。

首先上场的就是拉普拉斯变化。上篇文章说了一下傅里叶函数的作用和使用，简单回顾一下：

傅里叶变换就是将一个周期或非周期的信号，拆分成多个sin和cos相加的信号，也就是把时域上的信号拆分成频域上。

首先说明一下，只讲干货，不讲一些具体的方法，比如拉普拉斯的一些微分变换，积分变化等等，这篇文章主要是让大家知道控制理论这本书在实践中的应用。

注意：控制理论一般都是说线性系统哈。

那么拉普拉斯变化是什么呢？

简单来说就是说一个系统，其中的控制规律可以用一个复杂的数学公式来进行表示，（这个怎么理解，就比如在地球中都任何事物都摆脱不了牛顿定律一样，在任何位置的所受的重力都是 G = m* g）,这个数学公式很复杂，那么此时拉普拉斯就派上用场了，把这个时域上的复杂公式进行拉普拉斯变换成复频域上（s域），就可以把这个复杂的数学公式进行化简成一个代数方程，从而简化了求解的过程，并进行频域/时域分析和求解，求解之后在通过拉普拉斯反变换，将复频域的结果转换成时域内，得到了原始信号的解。分析可以知道信系统的性能。

（上课时老师能这么说该多好）

举一个例子：一个倒立摆的控制系统。

大家不要纠结这个怎么来的，主要是让大家知道这个流程。

传递函数？

好了，知道了拉普拉斯变化是干啥的，那么对于一个控制系统来说，最终实现的是什么？没有错稳定。比如对于倒立摆来说，他的稳定在什么，输入的车速让输出的角度在90度左右，保证摆杆不落下来，那么此时又来一个新的问题，如何知道求解输入与输出相对稳定呢？

在实际应用中，我们可能还需要考虑系统的稳定性、控制器设计等问题。通过拉普拉斯变换得到的传递函数Θ(s)/F(s) 可以用于进一步的系统分析和控制器设计。

传递函数：是一个系统输入与输出的关系。传递函数的概念主要适用于单输入、单输出的情况

若系统有多个输入信号,在求传递函数时，除了指定的输入量以外，其它输入量(包括常值输入量)一概视为零；对于多输入、多输出线性定常系统，求取不同输入和输出之间的传递函数将得到系统的传递函数矩阵。

性质：分子的阶数（输出）总是小于分母的阶数（输入），它反映了一个基本事实:一个物理系统的输出不可能立即复现输入信号,只有经过一段时间后, 输出量才能达到输入量所要求的数值。

举一个例子，比如分子式n^2,分母是n^3，在同一时刻下，n等于2时，此时分子为4，分母为8，在经过一段时间后，并相同规律运行，分子才能为8。

同时，传递函数还可以利用结构图进行表示。

注：这里不说一些反馈和加干扰的处理方法。

利用结构图分析和设计系统时,常常要对结构图进行简化和变换。对结构图进行简化和变换的基本原则是等效原则, 即对结构图任何部分进行变换时, 变换前后该部分的输入量、输出量及其相互之间的数学关系应保持不变。

嗯。。。这里还可以引出一个节点图流程图和梅逊公式的。

利用梅逊公式可以快速的通过节点流程图求出传递函数。并简化了传递函数的计算过程，特别适用于多输入多输出系统或多回路系统。

小结：这一章节中介绍了传递函数的由来，什么是传递函数，传递函数可以用结构图来表达，和利用节点图进行简化多输入和多输出的传递函数。

传递函数的复频域分析？

首先要确定的一点是，传递函数出现在复频域上的，也就是说对复频域上的传递函数进行分析，由于传递函数可以写成分数的形式，那么分析他无非就是分子等于0，分母等于0时。那么此时就会引出一个根轨迹。

根轨迹总得来说还是很简单的。

eg.

注意的一点是：闭环系统系统根轨迹起点是（），终点是（）。根轨迹的分支数与（）相等。根轨迹的渐近线有（）条。系统根轨迹在实轴上如何分布？大家可以想一想。

答案：开环系统的极点，开环系统的零点，开环系统有限零点数m和有限极点数n中的大者，n-m条，实轴上的某一区域，若其右边实数零、极点个数之和为奇数，则该区域必是根轨迹。

eg.

自动控制原理-＞根轨迹-CSDN博客文章浏览阅读1.8w次，点赞30次，收藏203次。根轨迹习题自测根轨迹基本概念判断题根轨迹的绘制方法判断题计算题根轨迹根轨迹的基本概念根轨迹方程和约束条件根轨迹的绘制方法根轨迹的分支数（开环极点个数）根轨迹的对称性根轨迹的起点（开环极点）根轨迹的终点（开环零点）实轴上的根轨迹段(右边开环零极点奇数个)分离点（会和点）渐进线与虚轴的交点（对应劳斯表为0的时候）出射角和入射角习题自测根轨迹基本概念判断题1.根轨迹是特征方程 1+KG(s)=01+\mathrm{KG}(s)=01+KG(s)=0 的根，随着 K\mathrm{K}K 从 0 变化到 +_根轨迹https://blog.csdn.net/qq_45379724/article/details/109691614?ops_request_misc=%257B%2522request%255Fid%2522%253A%25229CBCA227-6104-4E6F-BDD1-CAC774338D3E%2522%252C%2522scm%2522%253A%252220140713.130102334..%2522%257D&request_id=9CBCA227-6104-4E6F-BDD1-CAC774338D3E&biz_id=0&utm_medium=distribute.pc_search_result.none-task-blog-2~all~sobaiduend~default-2-109691614-null-null.142%5Ev100%5Epc_search_result_base1&utm_term=%E6%A0%B9%E8%BD%A8%E8%BF%B9&spm=1018.2226.3001.4187

你在说啥，我不懂，根轨迹这样子计算，完后呢？能干啥？对系统咋的了？这普遍是大学老师讲完这块有最大的疑问。

传递函数时域分析？

传递函数的时域分析简单的来说，就是利用拉普拉斯的反变换，把传递函数进行拉普拉斯反变换到时域上，在进行分析。

那么，此时又有人会问了，这不是多次一举呢，把一个微分方程通过拉普拉斯变化到复频域上，在通过拉普拉斯反变换把复频域上的传递函数再一次转换成时序上，得到一个代数方程（时域响应函数）。其实仔细阅读这句话就能理解，这样就把一个复杂的微分方程变化成了一个代数方程（时域响应函数）。

这里的微分方程其实就是一些运动学方程，动力学方程等等。

此时在进行分析一些特性，是不是就简单了许多。其实老师在讲的时候并为剖析这里面的关系，仅仅就告诉了，怎么使用，应付考试，应付考研，并非从一个制作一个实物的角度进行分析。在当时学的时候脑袋大的很。

是不是很熟悉，没有错就是一个PID的曲线图特性。

其实对系统的时域分析主要分析的是输入信号在系统中的响应，比如阶跃响应，脉冲响应，斜坡响应，正弦信号等。每种输入信号可以揭示系统在不同条件下的响应特性。

其次还有：

系统的稳定性

稳定性：时域分析可以帮助判断系统的稳定性。例如，通过观察系统的阶跃响应，如果输出信号最终趋于一个稳定值，则系统是稳定的；如果输出信号发散，则系统是不稳定的。

系统的性能指标。

上升时间：输出信号从其稳态值的10%上升到90%所需的时间。
峰值时间：输出信号达到其最大值所需的时间。
超调量：输出信号的最大值与其稳态值之间的差值，通常以百分比表示。
稳定时间：输出信号进入并保持在稳态值的某个误差范围内所需的时间。

eg.

传递函数频域分析？

这里有人会问了，频域？不对吧，传递函数不是在复频域上的呢，咋还能对其进行频域分析呢？是不是有点迷茫了？现在出现了三个，时域，频域，s域（复频域/拉普拉斯域），慢慢来。

信号域系统简明教程（42复频域与频域互换的条件）_哔哩哔哩_bilibili本节的内容是研究拉普拉斯变换与傅里叶变换的互换关系以及互换的条件。拉普拉斯变换是解微分方程、分析电路的有力工具，在一定的条件下还可以将所求的象函数转换成频域函数。, 视频播放量 2325、弹幕量 2、点赞数 68、投硬币枚数 34、收藏人数 36、转发人数 5, 视频作者讲信号与系统的潘老师, 作者简介世上无难事，只怕有心人。，相关视频：数字信号处理教程（超浓缩版），小白都可以学会的数字信号处理教程（合集-持续更新中），信号与系统简明教程（27实信号的傅里叶变换），信号与系统简明教程（第18讲周期信号的频谱），信号与系统简明教程（49有初始储能的电容电感的s域电路分析），信号与系统简明教程（47周期信号的拉普拉斯变换），信号与系统简明教程（第19讲周期信号的功率），信号域系统简明教程（38单边拉普拉斯变换及其性质），信号与系统简明教程第13讲线性非时变系统的响应，南理工818考纲更新啦！南京理工大学818信号、系统与数字电路考纲解读与参考书目划重点之数字电路篇|蒋立平https://www.bilibili.com/video/BV14B4y1B7uK/?spm_id_from=333.337.search-card.all.click&vd_source=c0f0446e22649eeb5ab253cb77c744c7

直接上大招，传递函数的频域分析就是把传递函数转换成傅里叶变化的形式。问一下，傅里叶变换在什么域上？思考一下，没有错就是频域上，那么就能进行对其频域分析。需要注意的一点是拉普拉斯变换和傅里叶变换是有一定条件的。

这个幅频特性和相频特性很重要，具体讲的是：

eg. 求出了这个，就可以利用一些稳定性的方法进行判断系统的稳定性。比如使用Bode图。

线性系统的稳定性？

在控制理论中，线性系统的稳定性是指系统在受到扰动后，是否能够恢复到平衡状态的能力。线性系统的稳定性可以通过多种方法进行分析，包括时域分析、频域分析和特征值分析等。

此时刚好形成一个闭环，稳定性分析的方法是时域分析，频域分析，在上面都说过了。那么什么是特征值分析呢？

这里求解特征值的方法主要有三种：

1.直接对微分方程（运动学，动力学等等）进行求解，得到特征值，但是难度相对较大。

2.对传递函数进行求解，把微分方程通过拉普拉斯变换成传递函数，之后在进行求解，得到特征值，求解，得到的特征值相对于来说简单。

3.对传递函数在进行拉普拉斯逆变换，在变换回一个代数方程（时域响应函数），在进行求解，得到特征值，相对来说也是很简单。

简单的来说，特征值全部分布在坐标系的左边平面上，哎，系统就稳定~~

除了特征值，还有Routh稳定判据，Nyquist稳定性判据，Bode稳定性判据，都是在频域上进行分析的方法。

Routh稳定判据其实实际上是对特征值里面系数在什么范围让系统稳定的一种方法，是在复频域：

Nyquist稳定性判据是一种用于判断线性时不变系统稳定性的频域方法。

Bode图

哎哟~说了这么多，介绍了几种方法到底能干撒啊？雨里雾里的。

首先是一些运动学方程比如倒立摆的，之后把这个运动学方程进行化简成传函的形式，进行分析，看他在那一块稳定（有一定干扰，会产生K这个系数）- Routh判据，如果都知道了系数，没有未知量，这个系统稳不稳定，也就是可不可控，如果不可控没有办法进行控制，加一些常用的算法pid也稳定不了，而判断的方法就是Nyquist稳定性判据，那么这个系统是稳定的，可控的，但是现在在不是平衡的时候，想要输入一些信号，保持系统的稳定，那么输入的信号对整个系统的影响比如稳定性，响应性能，就需要Bode图来进行判别。