【数学分析笔记】第4章第1节微分和导数（1）

4. 微分

4.1 微分和导数

考虑一个函数 $y = f (x)$ ，当 $x$ 做一些微小的变动，函数值也会有微小的变动，比如： $x\to x+\bigtriangleup x$ ，则 $f(x)\to f(x+\bigtriangleup x)$ ，函数值的变动用 $\bigtriangleup y$ 来便是，即 $\bigtriangleup y =f(x+\bigtriangleup x)-f(x)$
【例】导出第一宇宙速度 $7.9\text{km/s}$
画一个很大的球，有一个宇宙飞船绕地球做圆周运动，

它的速度永远是圆的切线方向，假设 $\bigtriangleup t=1\text{s}$ 应该从A点跑到B点（没有地球引力的前提下），结果 $\bigtriangleup t=1\text{s}$ 它从A点运动到C点（有地球引力），所以BC是自由落体的路程， $\text{BC}=\frac{1}{2}gt^{2}=4.9\text{m}$ ，，将 $\text{OA}=\text{OC}=6371000\text{m}$ （近似为地球半径）
$\text{AB}^{2}=\text{OB}^{2}-\text{OA}^{2}=(6371000+4.9)^{2}-(63710000)^{2}$
所以 $\text{AB}\approx 7900\text{m}$
这相当于 $y=f(x)=x^2$ ，考虑 $x = 6371000$ ， $\bigtriangleup x=4.9$ ， $\text{AB}^{2}=f(x+\bigtriangleup x)-f(x)$

4.1.1 微分的定义

【定义4.1.1】 $x_{0}\in\textbf{D}_{f}$ （ $f$ 的定义域），若存在只与 $x_{0}$ 有关，与 $\bigtriangleup x$ 无关的 $g(x_{0})$ ，使得当 $\bigtriangleup x\to 0$ 的时候， $f(x_0+\bigtriangleup x)-f(x_0)=\bigtriangleup y=g(x_{0})\bigtriangleup x+o(\bigtriangleup x)$ ，则称 $f (x)$ 在 $x_{0}$ 可微，若 $f (x)$ 在区间 $\textbf{X}$ 的没一点可微，则称 $f (x)$ 在区间 $\textbf{X}$ 可微，将 $g(x_{0})\bigtriangleup x$ 称为 $\bigtriangleup y$ 的线性主要部分（线性主部），记 $\bigtriangleup x$ 为 $d x$ ，若 $f (x)$ 在 $x$ 点可微，则有 $\bigtriangleup y=g(x)\bigtriangleup x+o(\bigtriangleup x),(\bigtriangleup x\to 0,\bigtriangleup y\to 0)$ ，记 $\bigtriangleup y$ 为 $d y$ ，并将上式写为 $d y = g (x) d x$ （把高阶无穷小丢掉了）
【例4.1.1】 $y=f(x)=x^{2}$ ，对 $\forall x\in(-\infty,+\infty), \bigtriangleup y=(x+\bigtriangleup x)^{2}-x^{2}=2x\bigtriangleup x+{\bigtriangleup x}^{2}$ ，所以 $y=f(x)=x^{2}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上可微，记为 $d y = 2 x d x$ .
取 $x_{0}=3$ ，在 $x_{0}=3$ 这一点的微分表示是 $d y = 6 d x$

【例4.1.2】 $y=f(x)=\sqrt[3]{x^2}=x^{\frac{2}{3}}$ ，定义域为 $(-\infty,+\infty)$ ，考虑 $f (x)$ 在 $x_{0}=0$ 是否可为微。
【解】 $\bigtriangleup y=f(0+\bigtriangleup x)-f(0)={\bigtriangleup x}^{\frac{2}{3}}$ ，当 $\bigtriangleup x\to0$ 的时候， ${\bigtriangleup x}^{\frac{2}{3}}$ 是比 $\bigtriangleup x$ 的低阶无穷小，因而 $\bigtriangleup y$ 不能写成 $\bigtriangleup x$ 的线性项与高阶项之和，由可微的定义可知， $y=f(x)=\sqrt[3]{x^2}=x^{\frac{2}{3}}$ 在 $x = 0$ 处不可微。它在 $(-\infty,0)$ 和 $(0,+\infty)$ 上可微。

【结论】需要注意的是，若函数 $f (x)$ 在 $x$ 处是可微的，那么当 $\bigtriangleup x \to 0$ 必有 $\bigtriangleup y=f(x+\bigtriangleup x)-f(x)\to 0$ （ $f(x+\bigtriangleup x)\to f(x)$ ），即 $f (x)$ 在 $x$ 处连续，所有我们有可微必定连续的结论，但是连续不一定可微，比如例4.1.2

4.1.2 微分与导数

若 $y = f (x)$ 在 $x_0$ 可微，则 $\bigtriangleup y=g(x_{0})\bigtriangleup x+o(\bigtriangleup x),(\bigtriangleup x\to 0,\bigtriangleup x\ne 0)$ ，在这个式子两边除 $\bigtriangleup x$ ，得到 $\frac{\bigtriangleup y}{\bigtriangleup x}=g(x_0)+\frac{o(\bigtriangleup x)}{\bigtriangleup x}$ ，令 $\bigtriangleup x\to 0$ ，得到 $\lim\limits_{\bigtriangleup x\to 0}\frac{\bigtriangleup y}{\bigtriangleup x}=g(x_0)$ .
【定义4.1.2】 $x_0\in\textbf{D}_{f}$ （ $f$ 的定义域），若极限 $\lim\limits_{\bigtriangleup x\to 0}\frac{\bigtriangleup y}{\bigtriangleup x}=\lim\limits_{\bigtriangleup x\to 0}\frac{f(x_{0}+\bigtriangleup x)-f(x_0)}{\bigtriangleup x}$ 存在，则称 $f (x)$ 在 $x_0$ 可导，记该极限值为 $f'(x_0)$ 或 $y'(x_0)$ 或 $\frac{dy}{dx}|_{x=x_0},\frac{df}{dx}|_{x=x_0}$ ， $f (x)$ 可导的范围是 $\textbf{D}_f$ 的子集（即在这个子集上没一点都有 $f (x)$ 对应的导数值），因此，我们得到在子集上的一个新的函数，称为 $f$ 的导数所产生的函数，将它称为 $f$ 的导函数，记为 $f^{'} (x)$ 或 $y^{'} (x)$ 或 $\frac{dy}{dx}$ 或 $\frac{df}{dx}$ .
【结论】一元函数的可微 $\Leftrightarrow$ 可导且 $f'(x_0)=g(x_0)$ 换句话说就是 $dy=f'(x_0)dx$ .
【证】可导： $\lim\limits_{\bigtriangleup x\to 0}\frac{\bigtriangleup y}{\bigtriangleup x}=f'(x_0)$ ，即 $\lim\limits_{\bigtriangleup x\to 0}(\frac{\bigtriangleup y}{\bigtriangleup x}-f'(x_0))$ ，所以 $\frac{\bigtriangleup y}{\bigtriangleup x}-f'(x_0)=o(1),(\bigtriangleup x\to 0)$
即 $\bigtriangleup y=f'(x_0)\bigtriangleup x+o(1)\bigtriangleup x$ ，将 $o(1)\bigtriangleup x$ 看作一个函数，它除 $\bigtriangleup x$ 后，趋于0，则 $o(1)\bigtriangleup x=o(\bigtriangleup x)$
所以 $\bigtriangleup y=f'(x_0)\bigtriangleup x+o(\bigtriangleup x)$
所以可导和可微是等价的。
【注】多元函数的可导和可微是不等价的。