常用的最小生成树的算法主要有两种,一种是Prim算法,一种是Kruskal算法。题目链接:KamaCoder 53. 寻宝(第七期模拟笔试)
这里假设有V个节点,因为我们的节点的标号是1~V,这样我们直接使用标号作为索引,不用额外的+1或者-1操作。
1. Prim算法
Prim算法基本的思路是按点来遍历,适合点比较少边比较多的稠密图,步骤是:
- 初始化minDist(最小生成树到每个节点的最小值),grid(图里的边权),visited(是否加入最小生成树),我们把minDist设置为长度V+1,把grid设置为长和宽分别为V+1和V+1,visited长度也是V+1。
- minDist初始化,初始化均为一个很大的值,这里的节点的数量小于等于10000,设置为10001:
vector<int> minDist(V+1, 10001);
- grid初始化,一开始我们设置为一个很大的值,表示任意的两个点u和v是不可达的,因为我们后面要计算节点到最小生成树的最小值,所以我们初始化为最大值,后面求最小值才是有效的:
vector<vector<int>> grid(V+1, vector<int>(V+1, 10001));
- visited初始化,一开始所有的节点都是没有访问过的,所以我们初始化为0,表示没有访问过,后面访问过加入了最小生成树以后我们要把节点visited对应的节点的值设置为1
vector<int> visited(V+1, 0);
- 求离最小生成树最近的点cur,定义初始距离minVal = INT_MAX,然后遍历所有的节点 j ∈ [ 1 , V ] j\in[1,V] j∈[1,V],如果 m i n V a l < m i n D i s t [ j ] minVal<minDist[j] minVal<minDist[j],minVal赋值为minDist[j],cur赋值为j,所有节点遍历结束以后,我们找到了离最小生成树最近的那个点,第一个找到的cur其实是1:
int minVal = INT_MAX;
int cur = -1;
for (int j = 1; j <= V; ++j)
{if (!visited[j] && minDist[j] < minVal) // j不在最小生成树中并且j节点到最小生成树的距离比minVal更小{minVal = minDist[j];cur = j;}
}
- 把节点cur加入到最小生成树里,其实就是将visited[cur]标记为1
visited[cur] = 1;
- 更新cur加入最小生成树以后得minDist:遍历所有节点 j ∈ [ 1 , V ] j\in[1,V] j∈[1,V],如果grid[cur][j] < minDist[j],那么更新minDist[j]为grid[cur][j]:
for (int j = 1; j <= V; ++j)
{if (!visited[j] && grid[cur][j] < minDist[j])// j不在最小生成树中并且cur到j的距离比j到最小生成树上一次距离小minDist[j] = grid[cur][j];
}
因为一个最小生成树有V个节点我们需要添加V-1条边,那么我们就需要遍历V-1次(minDist更新V-1次,回想我们的更新minDist使用了grid[cur][j],表示从cur到j,因为第一个顶点是没有父亲节点的,所以第一个顶点对应的minDist[1]是不会更新的,j不会为1,更新的minDist的索引是从2到V的),那我们就可以写出完整的代码了:
#include <iostream>
#include <climits>
#include <vector>
using namespace std;int main()
{int V, E;cin >> V >> E;vector<int> visited(V+1, 0);vector<int> minDist(V+1, 10001);vector<vector<int>> grid(V+1, vector<int>(V+1, 10001));for (int i = 0; i < E; ++i){int x, y, v;cin >> x >> y >> v;grid[x][y] = v;grid[y][x] = v;}for (int i = 1; i < V; ++i){int minVal = INT_MAX; int cur = -1;for (int j = 1; j <= V; ++j){if (!visited[j] && minDist[j] < minVal){minVal = minDist[j];cur = j;}}visited[cur] = 1;for (int j = 1; j <= V; ++j){if (!visited[j] && grid[cur][j] < minDist[j])minDist[j] = grid[cur][j];}}int ans = 0;for (int i = 2; i <= V; ++i)ans += minDist[i];cout << ans << endl;
}
Kruskal算法
Prim算法基本的思路是按边来遍历,适合边比较少点比较多的稀疏图,步骤是:
- 对所有的边权排序,小的边权排前面,大的排后面
- 遍历所有边权,如果边权的起点和终点不在同一集合(属于最小生成树和不属于最小生成树),那么连接这两个起点和终点到最小生成树里,记录最小生成树的边的答案,遍历完所有边记得到答案。
判断是不是在同一集合和链接两个点到同一个集合,我们使用并查集来做。
#include <iostream>
#include <climits>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;class UnionSet
{vector<int> father;int pathLength = 0;
public:UnionSet(int n): father(n, 0){for (int i = 0; i < n; ++i)father[i] = i;}int find(int u){return u == father[u] ? u : father[u] = find(father[u]); // 路径压缩}void Union(int u, int v){int uRoot = find(u);int vRoot = find(v);if (uRoot == vRoot)return;father[vRoot] = uRoot;}bool isSame(int u, int v){int uRoot = find(u);int vRoot = find(v);return uRoot == vRoot;}void addPathLength(int val){pathLength += val;}int GetPathLength(){return pathLength;}};
struct Edge
{int start, end, val;
};
int main()
{int V, E;cin >> V >> E;vector<Edge> edges;for (int i = 0; i < E; ++i){int x, y, v;cin >> x >> y >> v;edges.push_back({x, y, v});}sort(edges.begin(), edges.end(), [](Edge& e1, Edge& e2){return e1.val < e2.val;});UnionSet unionSet(V+1);for (int i = 0; i < edges.size(); ++i){int x = edges[i].start;int y = edges[i].end;int val = edges[i].val;if (!unionSet.isSame(x, y)){unionSet.Union(x, y);unionSet.addPathLength(val);}}cout << unionSet.GetPathLength() << endl;
}