传递函数塑造噪声

图 1 显示了假设噪声源的频谱，该噪声源在所有频率下均表现出相同的平均功率，即

，其中 η 是常数。

假设噪声源的频谱。

图 1. 假设噪声源的频谱。

如果我们将此噪声应用于 LTI 系统，系统的传递函数将决定不同频率下的输出平均功率。例如，如果系统是直流增益为1的理想低通滤波器，则滤波器阻带中的所有噪声频率分量将被完全抑制。然而，通带中的频率分量将不受影响（图 2）。

该示例显示通带中的频率分量如何保持不受影响。

图 2. 显示通带中的频率分量如何保持不受影响的示例。

一般来说，可以证明给定频率处的功率电平将被等于该频率处传递函数幅度的平方的因子修改。这在数学上用以下等式表示：

\[S_{输出}(f)=S_{输入}(f) \times \left | H(f)\右|^2\]

公式1

其中 H(f) 表示系统传递函数。在此等式中，

\[S_{输出}(f)=S_{输入}(f) \times \left | H(f)\右|^2\]

是以 V 2 /Hz 为单位的噪声功率谱密度（而不是以 \(V / \ sqrt{Hz}\)) 。该方程揭示了系统传递函数如何塑造噪声。

使用这个基本方程，我们可以分析噪声对 LTI 系统输出的影响。

从功率谱密度 (PSD) 中查找 RMS 噪声

我们知道 S X (f) 指定了 f 周围 1 Hz 带宽中噪声波形 X 的功率。既然我们知道这一点，我们就可以通过计算该频带中S X (f)下的总面积来计算给定带宽上的总噪声功率。

对于图 3 所示的功率谱密度，阴影区域 (A 1 ) 给出了从 f 1到 f 2频带内的总噪声功率。

显示功率谱密度的示例图，其中阴影区域是频带 f1 至 f2 中的总噪声功率。

图 3. 显示功率谱密度的示例图，其中阴影区域是频段 f 1至 f 2中的总噪声功率。

我们假设 A 1可以用面积 A 2 来近似， 如图 4 所示。

类似图3； 然而，我们正在近似 A2 的面积。

图4. 与图3类似的图；但是，我们正在近似A 2的面积 。

如果图 4 中的纵轴以 Ptot=(f2?f1)

Ptot=(f2f1)η

为单位，则从 f 1到 f 2的总噪声功率将为：

Vn,RMS=√(f2f1)η

这是就V 2而言的。噪声 RMS（单位：V）可通过计算上述值的平方根得出：

Vn,RMS=η√f2f1

然而，制造商通常通过提供 PSD 的平方根来指定其产品的噪声性能。

对于图 3 所示的示例，我们计算了 f 1到 f 2频率范围内的噪声功率，并完全忽略了该范围之外的所有频率分量。

在实践中，我们通常需要计算受滤波器带宽限制的频率范围内的噪声功率。现实世界的滤波器不能有从通带到阻带的突然转变。因此，我们必须考虑滤波器滚降区域中频率分量的功率。

图 5 显示了实际的低通滤波器如何只能部分抑制滚降区域中的噪声分量。

显示低通滤波器如何部分抑制滚降区域的噪声分量的示例。

图 5. 示例显示低通滤波器如何部分抑制滚降区域的噪声分量。

让我们看看如何考虑这些部分抑制的组件。假设图 5 中的滤波器是一阶低通滤波器，具有以下传递函数：H(f)=11+jff?3dB

滤波器输出端的噪声频谱为：

S输出(f)=S输入(f)×|H(f)|2=η×1(1+ff?3dB)2

S输出(f)=S输入(f)×|H(f)|2=η×1(1+ff?3dB)2

滤波器输出处的总噪声功率可以通过在 0 到 ∞ 的整个频率范围内积分

Ptot=∫∞0η×11+(ff?3dB)2df

并表现出从通带到阻带的理想突变，这等于我们将拥有的总噪声功率。

因此，为了计算一阶低通滤波器输出端的总噪声功率，我们可以假设滤波器滚降是突然的，并将滤波器带宽增加 1.571 倍。我们通常将

。因子 1.571 有时是称为形状因子。

随着滤波器阶数的增加，其从通带到阻带的过渡变得越来越突然。这就是为什么我们期望高阶滤波器具有更小的形状因子。下面的表 1 显示了不同滤波器阶数的形状因子。

过滤顺序 形状系数

1 1.57

2 1.11

3 1.05

4 1.03

5 1.02

在下一节中，我们将看到一个使用这些形状因子来计算信号链中不同源的噪声贡献的示例。

多级级联时的噪声带宽

当我们有多个级联级，每个级具有不同的带宽时，我们应该考虑给定噪声源所经历的带宽。

作为示例，请考虑图 6 中所示的信号链。

示例信号链，包括带宽、增益和 PSD。

图 6. 示例信号链，包括带宽、增益和 PSD。

该图给出了每个级的增益和带宽。此外，它还指定了每个级贡献的噪声频谱，单位为\(nV/\sqrt{Hz}\)。放大器产生的噪声在放大器带宽 (100 kHz) 上为 \(100 nV/\sqrt{Hz}\)。当该噪声通过级联级时，其带宽可能进一步受到不同级带宽的限制。

链中的第二级是三阶滤波器。由于三阶传递函数的形状因子为 1.05，因此该级的噪声带宽将为 1 kHz × 1.05 = 1.05 kHz 。这比驱动器和 RC 滤波器的带宽（分别为 100 MHz 和 3 MHz）小得多。因此，对于级产生的噪声，我们应该考虑1.05kHz的噪声带宽。

源自该级的 RMS 噪声为

同样，我们可以计算信号链中其他噪声源的有效带宽。

请注意，具有噪声频谱密度的组件不一定是系统主要的噪声贡献者。例如，放大器的PSD比驱动器的PSD大几倍。因此，人们可能会错误地认为放大器产生的噪声比驱动器产生的噪声大得多。然而，情况并非一定如此。在此示例中，驱动器噪声经历的带宽是 RC 滤波器的带宽。

它比放大器产生的 RMS 噪声大得多。