前置知识：排列组合，暴力枚举基础知识。

小 Y 拼木棒

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题目背景

上道题中，小 Y 斩了一地的木棒，现在她想要将木棒拼起来。

题目描述

有 $n$ 根木棒，现在从中选 $4$ 根，想要组成一个正三角形，问有几种选法？

答案对 $10^9+7$ 取模。

输入格式

第一行一个整数 $n$。

第二行往下 $n$ 行，每行 $1$ 个整数，第 $i$ 个整数 $a_i$ 代表第 $i$ 根木棒的长度。

输出格式

一行一个整数代表答案。

输入输出样例

输入 #1

4 
1
1
2
2

输出 #1

1

提示

数据规模与约定

• 对于 $30\%$ 的数据，保证 $n\le 5\times 10^3$。
• 对于 $100\%$ 的数据，保证 $1\le n\le 10^5$，$1\le a_i\le 5\times 10^3$。

关于标题：因为一些不可抗力的原因，名称进行了更改。深表歉意。

1.题意简述

    找出四个数$a,b,c,d$，求出有多少组这样的数使得$a=b=c+d(c\le d)$。

2.思路解析

    大部分人第一时间想到的就是直接暴力枚举。使用枚举子集的方法，暴力枚举四条木棍的长度然后再判断。但是一看数据范围$n\le 10^5$，那么用$O(2^n)$的算法显然是不行的。要考虑优化。

    因为组成三角形跟相同长度的木棍有关，首先使用类似于基数排序的方法，用pail[i]储存长度为i的木棍的根数。

    我们可以考虑枚举$a$，得到其中两根相同长度的木棍的长度（即a和b）。然后再枚举c，通过c来算出$d$。这样只需要$O(n^2)$的时间复杂度就搞定了。

    枚举$c$的时候，分两种情况讨论。第一种情况是c=d。这个时候，就相当于从长度为$c$的木棍里选取两根，与在长度为$a$的木棍中选取的两根（$a$和$b$）组成一个三角形。这不就是计算组合数吗？即$C_{pail[a]}^2\ast C_{pail[c]}^2$。

    再来看看第二种情况，c!=d。这个时候，就是从长度为c的木棍中选取一根，再从长度为d的木棍中选取一根，与在长度为$a$的木棍中选取的两根组成一个三角形。即$C_{pail[a]}^2\ast pail[c]\ast pail[d]$。

    现在再来看看如何计算组合数。可以发现，上面的组合数$C_n^m$只计算了$m=2$的情况。我们可以据此化简，并将它封装成一个函数。
$$C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}$$
    代入$m=2$得：
$$\frac{n!}{2!(n-2)!}$$
    展开得：
$$\frac{1\times 2\times 3\times \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \times (n-1)\times n}{1\times 2\times 1\times 2\times 3\times \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \times (n-3)\times (n-2)}$$
    化简得：
$$\frac{n(n-1)}{2}=n(n-1)/2$$

    为了方便，我们在后续的代码中将其分装成一个宏函数，不要忘记宏函数的特性哦！

注意：

1. 因为我们是使用桶来存储数据的，所以$a$应当枚举到最大范围，即$5\times 10^3=5000$；
2. 根据我们上面的定义$c\le d$，为了避免重复，$c$只需要枚举到a/2；
3. 计算的每一步都要确保长为c和长为d的木棍存在，即pail[c]和pail[d]为真；
4. 记得运算中的每一步都要对1e9+7取模。

3.AC代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define C(a) ((a)*((a)-1)/2)//计算组合数C(n,2),记得勤加括号
const int mod=1e9+7;
int main()
{int n,pail[5010]={0},cnt=0;//用桶存下木棍的长度 cin>>n;for(int i=1;i<=n;i++){int tmp;cin>>tmp;pail[tmp]++;//放入桶中 }for(int a=2;a<=5000;a++)//从2开始枚举a {for(int c=1;c<=a/2;c++)//c不可能超过a/2{int d=a-c;//随时都要取模if(d==c&&pail[a]>=2&&pail[c]>=2)//c和d相同cnt+=((C(pail[a])%mod)*(C(pail[c])%mod))%mod;else if(d!=c&&pail[a]>=2&&pail[c]&&pail[d])//c和d不相同cnt+=((C(pail[a])%mod)*(pail[c]%mod)*(pail[d]%mod))%mod;cnt%=mod;}}cout<<cnt%mod;return 0;
}

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