Material Point Method (MPM 物质点法)是一种混合欧拉-拉格朗日视角物理仿真方法。

欧拉视角即网格视角，将空间划分为网格，通过表示网格表示仿真物体的信息，比如用网格存储该格子内或格点附近是否有液体，以及液体的速度，质量等。欧拉视角的优势在于其容易离散化，容易查找邻居网格，对于碰撞等处理更快速方便，但其精度受限于网格大小，并且空间开销很大，受限于格点信息的表示，容易造成能量损耗导致仿真精度问题。

拉格朗日视角即粒子视角，在物体上采样许多点作为粒子，通过仿真粒子的运动，模拟整个物体的运动。这种方式优点在于粒子表示更精确，但更难以离散化，必须用特殊手段对仿真物体采样，并且需要数据结构查找邻居处理相关信息以及碰撞等。

MPM将两种视角结合起来，通过将信息顺着“粒子-网格-粒子”的方向传输，结合两者的优点进行仿真。这种方法称作PIC (Particle-In-Cell)。

朴素的PIC方法仅传输粒子的动量$m\text{v}$和质量$m$到网格，再传输回粒子，但这样传输仍存在信息损失，能量损失的问题，于是APIC (Affine Particle-In-Cell) 方法通过添加仿射速度矩阵$C_p$改进了这一问题。再基于APIC方法，改进为MPM方法（这里的MPM是指2018年的MLS-MPM，其相比2013年MPM第一次被用在实际场景冰雪奇缘中更简单快捷先进）

本文主要参考GAMES201的第7讲和第8讲，并结合原论文进行了部分补充和错误修正

符号定义：

在文中所有以$i$为下标的表示网格点的数据，如$m_i,{\text{v}}_i$

所有以$p$ 为下标的表示粒子的数据，如$m_p,{\text{v}}_p$

右上角的$n$均表示算法迭代到第$n$步

Particle-In-Cell (PIC)

PIC算法需要的流程：

1. 对动量或速度进行时间积分（如$m{\text{v}}^{n+1}=m{\text{v}}^n+f\Delta t$）后，将粒子上的信息（如质量，动量等）传递到网格上
2. 在网格上处理网格方便处理的事，如边界碰撞，液体不可压缩性等，计算好网格的数据（质量、动量）
3. 将数据从网格传回粒子，并对粒子进行时间积分（如${\text{x}}^{n+1}={\text{x}}^n+{\text{v}}^{n+1}\Delta t$）

在传递数据时，粒子需要将自己的数据按照一定权重加到网格上，越远的粒子权重越低，并且需要保证每个粒子到其周围所有格点的权重之和为1

B-Spline（B样条曲线）正好解决了这一问题。B-Spline原本是用于通过函数插值若干个控制点得到一个平滑的曲线，这里的插值方法确保了曲线上每个点由周围控制点贡献的权重和一定为1，并且B-Spline的平滑性确保了离控制点越远，权重越小，权重导数也越小，使得数值计算更加稳定。

在这里我们一般使用2阶(Quadratic，下图红色)或3阶(Cubic，下图蓝色)的B-Spline核函数。

这里的2阶B-Spline核函数实际上是通过3阶B样条参数改造得来，在使用Quadratic时：$N(x)=B_{0,3}(\frac{x}{2}+1)$

Quadratic B-Spline:
$$N(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{3}{4}-{|x|}^2& 0\le |x|<\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}{\left(\frac{3}{2}-|x|\right)}^2& \frac{1}{2}\le |x|<\frac{3}{2}\\ 0& \frac{3}{2}\le |x|\end{array}$$
Cubic B-Spline:
$$N(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2}{|x|}^3-{|x|}^2+\frac{2}{3}& 0\le |x|<1\\ \frac{1}{6}{\left(2-|x|\right)}^3& 1\le |x|<2\\ 0& 2\le |x|\end{array}$$
其中$|x|$根据格点距离进行了归一化处理，即保证两个格点的距离为 1

计算粒子到格点的权重时，需要将每一维(x,y,z轴)的距离按照B-Spline计算权重，再乘起来

即令权重$w_{ip}$即格子$i$对粒子$p$的权重，则$w_{ip}=N_i({\text{x}}_p/\Delta x)$，$\Delta x$为格点距离

因此B-Spline确保了${\sum }_i{w}_{ip}=1$

于是PIC的流程为：

1. P2G：

   ${\left(m\text{v}\right)}_i^{n+1}={\sum }_p{w}_{ip}{\left(m\text{v}\right)}_p^n$

   $m_i^{n+1}={\sum }_p{w}_{ip}{m}_p$

2. Grid opertaions

   ${\hat{\text{v}}}_i^{n+1}={\left(m\text{v}\right)}_i^{n+1}/m_i^{n+1}$

   处理网格操作，如边界等：${\text{v}}_i^{n+1}=\text{Project}\left({\hat{\text{v}}}_i^{n+1}\right)$

   边界处理的操作将在本文末尾讲述

3. G2P

   ${\text{v}}_p^{n+1}={\sum }_i{w}_{ip}{\text{v}}_i^{n+1}$

   ${\text{x}}_p^{n+1}={\text{x}}_p^n+{\text{v}}_p^{n+1}\Delta t$

Affine Particle-In-Cell (APIC)

注：APIC原作者发了两篇文章，一篇在2015年，一篇在2017年，2015年的简单易懂，2017年的详细证明但是复杂，建议一定要先从2015年那篇看。

在PIC方法中，粒子的信息被传输到格点时，是一种加权平均的操作。在格点信息传回粒子时，同样是加权平均的操作。多次平均的操作会使得信息在传输中损失，同时造成能量损耗。在实践过程中可以看到PIC仅能维持整体动量守恒，但整体角动量守恒会损耗，因为相邻粒子之间的动量差在传输过程中变得更加平均。

要解决这一问题就需要一种表示方法来确保相邻粒子之间的动量差能够保持，APIC的解决方法是添加一个仿射速度矩阵$C_p$。对每一个粒子$p$，我们希望表示粒子以及其领域的速度：$\text{v}(\text{x})={\text{v}}_p+C_p(\text{x}-{\text{x}}_p)$，其中$\text{x}$为粒子邻域内的一个位置，可以理解为$C_p$为速度场关于位置的导数。

仿射矩阵$C_p$将会从粒子周围的格点来估计，从直观上理解，2维情况下的该矩阵每个位置的意义如下图：

但是在实践过程中，求速度场关于位置的导数过于复杂并且低效，所以用了一种近似的方法，通过格点的速度与到粒子位移的张量积来估计：(这里以Quadratic B-Spline为例)
$$C_p=\frac{4}{\Delta x^2}\sum _i{w}_{ip}{\text{v}}_i({\text{x}}_i-{\text{x}}_p{)}^T$$

其中系数$\frac{4}{\Delta x^2}$是在Quadratic B-Spline插值权重生效，对于Cubic形式，系数为$\frac{3}{\Delta x^2}$

APIC原论文作者在2017年的论文第20页5.6.3节进行了非常复杂的推导得出该系数。我推测作者是最初是通过实现了一个更复杂的基础版本$C_p=B_p{\left(D_p\right)}^{-1}$，通过观察得出的一个简洁的系数版本，再去推出证明。

有了仿射矩阵$C_p$后，将粒子动量传输到网格上时，就需要通过仿射矩阵计算邻域速度的形式，来计算粒子贡献给格点的速度

于是，APIC算法的流程如下：

1. P2G：

   ${\left(m\text{v}\right)}_i^{n+1}={\sum }_p{w}_{ip}\left[m{\text{v}}_p^n+m_p{C}_p^n\left({\text{x}}_i-{\text{x}}_p^n\right)\right]$

   $m_i^{n+1}={\sum }_p{w}_{ip}{m}_p$

2. Grid opertaions

   ${\hat{\text{v}}}_i^{n+1}={\left(m\text{v}\right)}_i^{n+1}/m_i^{n+1}$

   处理网格操作，如边界等：${\text{v}}_i^{n+1}=\text{Project}\left({\hat{\text{v}}}_i^{n+1}\right)$

3. G2P

   ${\text{v}}_p^{n+1}={\sum }_i{w}_{ip}{\text{v}}_i^{n+1}$

   $C_p^{n+1}=\frac{4}{\Delta x^2}{\sum }_i{w}_{ip}{\text{v}}_i^{n+1}({\text{x}}_i-{\text{x}}_p^n{)}^T$

   ${\text{x}}_p^{n+1}={\text{x}}_p^n+{\text{v}}_p^{n+1}\Delta t$

Material Point Method (MPM)

这里的MPM方法将着重处理弹性体。

首先定义弹性体初始每个点的位置为$X$，弹性体每个点变化后当前的位置为$\text{x}=\varphi (X)$，一个重要的参数是应变张量$F=\frac{\partial \varphi (X)}{\partial X}=\frac{\partial \text{x}}{\partial X}$。 对于弹性体，整体移动并不会产生内部弹力，所以函数$\varphi$的梯度，即表示相邻位置移动的不同会产生形变，所以弹性体的内部能量一般根据$F$来定义。

定义弹性体的能量密度为$\Psi (\varphi ,X)$，即位置$X$在形变为$\varphi$函数时的能量密度。在各种弹性物质模型下，往往直接用应变张量定义能量密度$\Psi (F)$。此时弹性体总能量为$E(\varphi )=\int \Psi (F)\mathrm{d}X$

在弹性力学中有时候为了表示某一截面微元上的应力，定义了PK1数（The First Piola-Kirchhoff stress tensor），$P(F)=\frac{\partial \Psi (F)}{\partial F}$。这在3维下是一个3×3的矩阵，其乘一个法向量之后就可以表示$X$位置与法向量垂直截面微元的应力。PK1的推导是在计算内力时，用能量对位置求导的中间变量，不在这里详细叙述，只需知道许多弹性体模型会直接定义出$P(F)$，抄公式就可以了。

在MPM中，我们的粒子不仅存储质量$m_p$，动量$(m\text{v}{)}_i$，还需要存储应变张量$F_p$。在迭代过程中，应变张量可以按如此迭代$F_p^{n+1}=(I+\Delta t\nabla \text{v})F_p^n$。由于我们使用了$C_p$来近似粒子$p$邻域的速度梯度，则可以使用这个公式迭代：$F_p^{n+1}=(I+\Delta t{C}_p^n)F_p^n$

在粒子将动量传递给网格时，应先将弹性内力处理了，因为这是粒子更容易操作的事情。所以我们需要通过粒子计算周围格点所受的内力${\text{f}}_i$，内力一般用弹性势能对位置的梯度来求。

粒子能量：$U_i={\sum }_p{V}_p^0{\Psi }_p(F_p^{n+1})$，其中$V_p^0$为该粒子在初始状态代表的弹性体部分体积

格点内力计算时用弹性势能对位置求梯度，注意格点位置本来是不变的，但我们现在需要的位置是其在弹性体上的位置，可以假定其会根据格点的速度变化${\hat{\text{x}}}_i={\text{x}}_i+\Delta t{\text{v}}_i$
$$\begin{array}{rl}{\text{f}}_i& =-\frac{\partial U}{\partial {\hat{\text{x}}}_i}\\ & =-\sum _p{V}_p^0\frac{\partial \Psi (F_p^{n+1})}{\partial {\hat{\text{x}}}_i}\\ & =-\sum _p\frac{V_p^0}{\Delta t}\frac{\partial \Psi (F_p^{n+1})}{\partial {\text{v}}_i}\\ & =-\sum _p\frac{V_p^0}{\Delta t}\frac{\partial \Psi (F_p^{n+1})}{\partial F_p^{n+1}}\frac{\partial F_p^{n+1}}{\partial C_p^n}\frac{\partial C_p^n}{\partial {\text{v}}_i}\\ & =-\sum _p\frac{V_p^0}{\Delta t}\cdot P_p(F_p^{n+1})\cdot \Delta t{\left(F_p^n\right)}^T\cdot \frac{4w_{ip}}{\Delta x^2}({\text{x}}_i-{\text{x}}_p^n)\\ & =-\frac{4}{\Delta x^2}\sum _p{V}_p^0\cdot P_p(F_p^{n+1})\cdot {\left(F_p^n\right)}^T\cdot w_{ip}({\text{x}}_i-{\text{x}}_p^n)\end{array}$$
在更新格点动量时，即可这样更新：${\left(m\text{v}\right)}_i^{n+1}={\sum }_p{w}_{ip}\left[m{\text{v}}_p^n+\left(m_p{C}_p^n+\Delta t{\text{f}}_i\right)\left({\text{x}}_i-{\text{x}}_p^n\right)\right]$

于是MPM的总流程为：

1. P2G：

   $F_p^{n+1}=(I+\Delta t{C}_p^n)F_p^n$

   ${\left(m\text{v}\right)}_i^{n+1}={\sum }_p{w}_{ip}\left[m{\text{v}}_p^n+\left(m_p{C}_p^n+\Delta t{\text{f}}_i\right)\left({\text{x}}_i-{\text{x}}_p^n\right)\right]$

   $m_i^{n+1}={\sum }_p{w}_{ip}{m}_p$

2. Grid opertaions

   ${\hat{\text{v}}}_i^{n+1}={\left(m\text{v}\right)}_i^{n+1}/m_i^{n+1}$

   处理网格操作，如边界等：${\text{v}}_i^{n+1}=\text{Project}\left({\hat{\text{v}}}_i^{n+1}\right)$

3. G2P

   ${\text{v}}_p^{n+1}={\sum }_i{w}_{ip}{\text{v}}_i^{n+1}$

   $C_p^{n+1}=\frac{4}{\Delta x^2}{\sum }_i{w}_{ip}{\text{v}}_i^{n+1}({\text{x}}_i-{\text{x}}_p^n{)}^T$

   ${\text{x}}_p^{n+1}={\text{x}}_p^n+{\text{v}}_p^{n+1}\Delta t$

关于边界投影等额外操作

对于边界，直接找到边界的格点，找到边界的法向量$\text{n}$，把冲出边界的速度消掉即可${\text{v}}_i^{n+1}={\hat{\text{v}}}_i^{n+1}+\text{n}\cdot \min ({\text{n}}^T{\hat{\text{v}}}_i^{n+1},0)$

或者使用各种动量守恒的反射操作也可以

对于外力，重力的添加，可以将其直接添加到粒子或者格点上：${\hat{\text{v}}}_i^{n+1}+=\Delta tg$