【C++ 差分数组前后缀分解】P7404家庭菜园

本文涉及知识点

C++差分数组
C++前后缀分解

P7404家庭菜园

出自洛谷，我简述一下。
已知数组a，长度为n(1<=n<=2e5),1 <=a[i] <=1e9。一次操作如下：将a[i…j]全+1。问最少操作多少次，使得a成为山形数组，即存在k，a[0…k]严格递增，a[k…]严格递减。

前后缀分解+差分数组（错误解法）

n = a.length
pre[i]记录将a长度为i的前缀转成严格递增需要的最少次数，np[i]记录此时a[i-1]的值。
suff[i]记录将a长度为i的后缀转成严格递减需要的最少次数，ns[i]类似np。可以转化成a的转置数组的前缀。
从0到n，枚举i。j = N-i。
如果np[i]== ns[i]，则转成左半长为i的山形数组需要的操作次数为：pre[i]+suff[j]+1
否则，转成左半长为i或i+1的山形数组需要的操作次数为：pre[i]+suff[i]。前缀的最后一个元素和后缀的第一个元素，谁大谁是山顶。

如何求前缀递增的次数

pre[0] = 0
如果a[i] > a[i-1] 不需要操作。否则 a[i…]都操作 a[i-1]+1-a[i]次。
为什么选择a[i…]而不是a[i…j]，如果后置是严格递增，前者也是。
由于a[i]后面的元素都增加了相同的数，所以后面的a[i]-a[i-1]都不变。
即求差分数组为正元素之和。
错误原因：{2,1,4,1,2} 直接将{2,1,4}提升两次。

正确解法

左边的操作是：[x1…i]加一，右边的操作是[ i…x2] ，一定可以合并成[x1 $\cdots$ x2]
i从1到n
令 j = n+1- i，cur = max(pre[i],suff[j])

代码

核心代码

#include <iostream>
#include <sstream>
#include <vector>
#include<map>
#include<unordered_map>
#include<set>
#include<unordered_set>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<functional>
#include<queue>
#include <stack>
#include<iomanip>
#include<numeric>#include <bitset>
using namespace std;class Solution {public:long long Cal(const vector<int> a) {auto PreSum = [](const vector<int>& nums) {vector<long long> ret = { 0,0 };			for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {const int iAdd = max(0,nums[i - 1]+1 - nums[i]);ret.emplace_back(ret.back() + iAdd);}return ret;};auto preSum = PreSum(a);auto suff = PreSum( vector<int>(a.rbegin(), a.rend()));long long  ret = 2e18;for (int i = 1; i <= a.size(); i++) {const int j = a.size()+1 - i;const auto cur = max(preSum[i],suff[j]);ret = min(ret, cur);}return ret;}};int main() {//freopen("./a.in", "r", stdin);//freopen("./output.txt", "a", stdout);int N;scanf("%d", &N);vector<int> a(N );	for (int i = 0; i < N; i++) {scanf("%d", &a[i]);}	auto res =  Solution().Cal(a);printf("%lld", res);return 0;
}

单元测试

vector<int> a;TEST_METHOD(TestMethod1){a = {1 };auto res = Solution().Cal(a);AssertEx(0LL, res);}TEST_METHOD(TestMethod2){a = { 1,2 };auto res = Solution().Cal(a);AssertEx(0LL, res);}TEST_METHOD(TestMethod3){a = { 2,1 };auto res = Solution().Cal(a);AssertEx(0LL, res);}TEST_METHOD(TestMethod4){a = {4,1,1 };auto res = Solution().Cal(a);AssertEx(1LL, res);}TEST_METHOD(TestMethod5){const int E9 = 1'000'000'000;a = { E9,1,E9,1,E9,1,E9,1,E9,1,E9 };auto res = Solution().Cal(a);AssertEx(3LL*E9, res);}TEST_METHOD(TestMethod11){a = { 3,2,2,3,1 };auto res = Solution().Cal(a);AssertEx(3LL, res);}TEST_METHOD(TestMethod12){a = { 9,7,5,3,1 };auto res = Solution().Cal(a);AssertEx(0LL, res);}TEST_METHOD(TestMethod13){a = { 2021, 2021 };auto res = Solution().Cal(a);AssertEx(1LL, res);}TEST_METHOD(TestMethod14){a = { 12,2,34,85,4,91,29,85 };auto res = Solution().Cal(a);AssertEx(93LL, res);}TEST_METHOD(TestMethod15){a = { 2,1,4,1,1 };auto res = Solution().Cal(a);AssertEx(2LL, res);}

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