二叉树——数据结构

这次我们来学习一下数据结构中的二叉树

1. 二叉树的概念及结构

1.1 二叉树的定义

定义：所有结点的度小于等于2的树。

上图中可以看出

二叉树不存在度大于2的结点
二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树。

任意二叉树都是由以下几种情况复合而成的

1.2 特殊的几种二叉树

完全二叉树

完全二叉树。一棵高度为h的二叉树，除最后一层以外的其他所有层上的结点数都达到最大值，而最后一层上的所有结点分布在该层最左边的连续的位置上。
完全二叉树有如下特点，叶子结点只能在层次最大和次大的两个层次上出现。对任一结点，如果其左子树的高度为m，则其右子树的高度必为m或者m-1。

满二叉树

满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是2^k -1，则它就是满二叉树。

注意：满二叉树一定是完全二叉树，但完全二叉树不一定是满二叉树！！！

扩充二叉树

把原二叉树所有结点中出现空的子树的位置都增加特殊的结点--空树叶，得到的二叉树就是扩充二叉树。

2.二叉树的性质

1.若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有 2⁽ⁱ⁻¹⁾ 个结点。
2.若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是 2ʰ-1。
3.对任何一棵二叉树，如果度为0其叶结点个数为n₀，度为2的分支结点个数为n₂,，则有n₀=n₂+1
4.若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度， h=log₂(n+1)。

(ps:log₂(n+1))是 log以2为底，n+1为对数)
5.对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有结点从0开始编号，则对于序号为 i 的结点有：

若i>0,i 位置节点的双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根节点编号，无双亲节点
若2l+1<0，左孩子序号：2i+1，2i+1 >=n 否则无左孩子
若2i+2<0，右孩子序号：21+2,2l+2>=n否则无右孩子

3. 二叉树的存储结构

二叉树一般可以使用两种结构存储，一种顺序结构，一种链式结构。

1. 顺序存储

顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储。二叉树顺序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。

2. 链式存储

二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。通常的方法是 链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所在的链结点的存储地址。链式结构又分为二叉链和三叉链，当前学习中一般都是二叉链，高阶数据结构如红黑树等会用到三叉链。

typedef int BTDataType;
// 二叉链
struct BinaryTreeNode
{struct BinTreeNode* _pLeft; // 指向当前节点左孩子struct BinTreeNode* _pRight; // 指向当前节点右孩子BTDataType _data; // 当前节点值域
}
// 三叉链
struct BinaryTreeNode
{struct BinTreeNode* _pParent; // 指向当前节点的双亲struct BinTreeNode* _pLeft; // 指向当前节点左孩子struct BinTreeNode* _pRight; // 指向当前节点右孩子BTDataType _data; // 当前节点值域